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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici 19


La cosa più interessante in tutto questo è l’esistenza di figure duali che si corrispondono con parallelismo di elementi corrispondenti e la conseguente dimostrazione del principio di dualità senza considerazione dell’assoluto.

Ma per brevità io ne dimostrerò l’esistenza, appunto partendo dall’assoluto; presa una figura , consideriamone la figura polare , che uno scorrimento qualsiasi porti in . Le figure sono appunto due figure duali che si corrispondono nel modo anzidetto.


Il parallelismo di Clifford e la teoria delle curve.

§. 7. Il prof. Bianchi (loc. cit.) dimostrò le seguenti formule che sono la generalizzazione delle formule di Frenet per le curve di uno spazio piano:

dove rappresentano rispettivamente l’arco, la prima e la seconda curvatura nel punto generico di una curva, e dove con , , si indicano rispettivamente i coseni di direzione della tangente, della normale principale e della binormale alla curva nel punto .

Nei calcoli che seguono, come anche in tutto il resto del lavoro, noi, partendo da quanto s’è visto al §. 3, faremo i calcoli con una sola terna di parametri di scorrimento. Tiriamo dal punto le parallele alle tangenti fino a incontrare il piano polare; l’arco della così ottenuta indicatrice delle tangenti è dato da

Sostituiamo in queste formule ai differenziali i valori dati dalle succitate formule del prof. Bianchi; e sviluppiamo, ricordando le identità (8) del §. 3. Otterremo