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G. Fubini

determinato dalla serie rigata (α)) alla nostra retta, si deduce subito che deve essere:

$(a_{1}b_{3}-b_{1}a_{3}+a_{2}b_{4}-b_{2}a_{4}):(a_{1}b_{4}-b_{1}a_{4}+b_{2}a_{3}-a_{2}b_{3}):(a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4})=$

$=(a'_{1}b'_{3}-b'_{1}a'_{3}+a'_{2}b'_{4}-b'_{2}a'_{4}):(a'_{1}b'_{4}-b'_{1}a'_{4}+b'_{2}a'_{3}-a'_{2}b'_{3}):(a'_{1}b'_{2}-b'_{1}a'_{2}+a'_{4}b'_{3}-a'_{3}b'_{4}).$

Analogamente si procederebbe per l’altra serie di generatrici dell’assoluto; le formule precedenti non solo ridimostrano il nostro teorema, ma danno l’espressione dei parametri di scorrimento di una retta in funzione delle coordinate di due piani perpendicolari passanti per la retta.

Noi spesso dovremo trovare le traccie su un piano $\alpha$ delle parallele tirate per il suo polo $A$ a una retta; e le chiameremo le “immagini di Clifford„ della retta relative al piano stesso; dette $S_{i}$ e $Z_{i}$ le coordinate delle due traccie, avremo, dalle (3) e (3') quando si prenda per punto $A$ il punto $(1,0,0,0)$

10)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}S_{1}=0,S_{2}=B=[\xi x]_{2},S_{3}=C=[\xi x]_{3},S_{4}=D=[\xi x]_{4}\\Z_{1}=0,Z_{2}=\beta =[\xi x]'_{2},Z_{3}=\gamma =[\xi x]'_{3},Z_{4}=\delta =[\xi x]'_{4}.\end{array}}\right.$

Per mezzo di queste uguaglianze e indicando con $\varphi$ la distanza dei due punti $S,Z$ definita da $\cos \varphi =\Sigma S_{i}Z_{i},$ le (9) diventano

9')	$x_{1}=0\,x_{i}={\frac {S_{i}+Z_{i}}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}\,[i=2,3,4]$

che per mezzo delle (3) o delle (3') ci danno:

11)	$\xi _{1}=-\cos {\frac {\varphi }{2}},\,\xi _{2}={\frac {1}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}{\begin{vmatrix}S_{3}&S_{4}\\Z_{3}&Z_{4}\end{vmatrix}},\,\xi _{3}={\frac {1}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}{\begin{vmatrix}S_{4}&S_{2}\\Z_{4}&Z_{2}\end{vmatrix}},\,$

$\xi _{4}={\frac {1}{2\cos {\frac {\varphi }{2}}}}{\begin{vmatrix}S_{2}&S_{3}\\Z_{2}&Z_{3}\end{vmatrix}}$