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G. Fubini

“Le rette di un complesso lineare sono quelle e tutte quelle, per cui è costante ${\frac {\cos \varphi }{\cos \psi }}$, dove $\varphi$ e $\psi$ sono gli angoli che una di esse forma con una retta fissa„.

Questa retta colle notazioni precedenti sarebbe la retta i cui parametri sono $\left({\frac {l}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\right.$, ${\frac {m}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$, ${\frac {n}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}$, $\left.{\frac {p}{\sqrt {l^{2}+m^{2}+n^{2}}}}\right)$

Anche nello spazio curvo vale dunque il teorema:

“Un complesso lineare ammette sempre una retta tale che i movimenti elicoidali attorno a essa riportano il complesso in sè stesso„.

Si vedrebbe pure facilmente che il luogo dei punti tali che l’angolo delle parallele tirate per uno di essi a una retta fissa è costante, è una rigata di Clifford, e si avrebbe così una generazione delle rigate di Clifford, per mezzo dei movimenti elicoidali attorno a una retta; generazione identica in fondo a quella data dal prof. Bianchi nella memoria più volte citata; essa però, vista in questa forma differente, si può interpretare proiettivamente così:

“Le proiettività che lasciano fissa una quadrica e due suoi punti $A,B$ portano un punto qualunque dello spazio nei punti di una quadrica che ha comuni con la precedente le generatrici per $A,B$„.

Oss. Non è possibile, a mio credere, definire il parallelismo di piani, che, per la legge di dualità, porterebbe a definire insieme il parallelismo di punti; si può però definire il parallelismo di elementi (insieme di punto e piano che si appartengono). Diremo così che l’elemento $(A,\alpha )$ definito dal punto $A$ e del piano $\alpha$ è parallelo all’elemento $(B,\beta )$ quando esiste uno scorrimento che porti in $A$ in $B$, $\alpha$ in $\beta$.

Il piano $\beta$ è generato dalle parallele tirate per $B$ alle rette di $\alpha$ passanti per $A$.

La distanza da $A$ a $B$ è uguale all’angolo di $\alpha$ con $\beta$.

Le normali in $A$ ad $\alpha$ e in $B$ a $\beta$ sono parallele.