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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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Infatti in tal caso esiste uno scorrimento che le fa scorrere tutte e due sopra sè stesse. Questo teorema, che scaturisce immediatamente dalle nostre considerazioni, è per noi fondamentale; e non sarà perciò male stabilirlo in modo diretto sia a riprova dei calcoli, sia perchè così otterremo alcune formule che ci saranno assai utili in seguito.

Sia una retta intersezione di due piani $(a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4})$ e $(b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\,b_{4})$ che per semplicità supporremo ortogonali. L’assoluto essendo definito da

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=0$

un sistema delle sue generatrici si può immaginare definito da

α)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}(x_{1}+ix_{2})+\lambda (x_{3}+ix_{4})=0\\(x_{3}-ix_{4})-\lambda (x_{1}-ix_{2})=0\\\end{array}}\right.$

dove $\lambda$ varia da generatrice a generatrice. Ogni punto che appartenga ai due piani $(a_{i}),(b_{i})$ soddisfa alle:

β)	$\sum a_{i}x_{i}=0,\sum b_{i}x_{i}=0$

cosicchè per trovare a quali generatrici della serie (α) si appoggia la nostra retta basta eliminare le $(x_{i})$ fra le (α) e le (β); otteniamo così

${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&a_{4}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{4}\\1&i&\lambda &i\lambda \\-\lambda &i\lambda &1&-i\end{vmatrix}}=0$

ossia:

$\lambda ^{2}{[(a_{1}b_{3}-b_{1}a_{3})+(a_{2}b_{4}-b_{2}a_{4})]+i[(b_{4}a_{1}-a_{4}b_{1})+(b_{2}a_{3}-a_{2}b_{3})]}+$ $+2i\lambda (a_{4}b_{3}-b_{4}a_{3}+b_{2}a_{1}-b_{1}a_{2})+[(b_{3}a_{1}-a_{3}b_{1}+a_{2}b_{4}-b_{2}a_{4})-i(b_{4}a_{1}-a_{4}b_{1}+b_{2}a_{3}-a_{2}b_{3})]=0.$

Affinchè la retta di intersezione dei piani $(a'_{i})$ e $(b'_{i})$ si appoggi alla medesima coppia di generatrici, sia cioè parallela (nel senso