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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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qualunque e le coordinate $(\xi _{i})$ piano normale in $(x_{i})$ alla retta stessa; quindi in una maniera che, sebbene sia molto comoda in alcuni studii, pure è tutt’altro che simmetrica. È principio fondamentale del presente lavoro l’introduzione di un nuovo sistema di coordinate, che, come spero, apparirà per le sue applicazioni assai appropriato alla natura dello spazio ellittico.

Sia dunque una retta definita al modo di Weierstrass, e ne siano $(x_{i})$ e $(\xi _{i})$ due punti coniugati $\left({\text{distanti}}\,{\frac {\pi }{2}}\right)$ tali cioè $\sum _{i=1}^{4}x_{i}\xi _{i}=0.$ Di scorrimenti che portino il punto $(x_{i})$ nel punto $(\xi _{i})$ ne abbiamo uno destrorso e uno sinistrorso; e, indicando con $A,B,C,D$ le costanti relative all’uno e con $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ le costanti relative all’altro, sarà intanto

$A=\alpha =0$

perchè

$\sum x\xi =0$

e quindi

$B^{2}+C^{2}+D^{2}=\beta ^{2}+\gamma ^{2}+\delta ^{2}=1.$

Noi assumeremo le $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ (che subito calcoleremo) come coordinate di una retta nello spazio ellittico e daremo loro il nome di “parametri di scorrimento„ della retta stessa. Essi, si vede subito, saranno indipendenti dalla coppia di punti $(x_{i}),(\xi _{i})$ coniugati scelti sulla retta.

Osserviamo intanto che una retta è individuata, appena ne siano dati i parametri di scorrimento (e lo dimostreremo del resto effettivamente col calcolo); infatti essi definiscono due scorrimenti di specie diversa che lasciano fissa la retta, e quindi definiscono insieme le quattro generatrici dell’assoluto cui essa si appoggia, ciò che basta a individuare la retta insieme alla sua retta polare; questa indeterminazione, che può anche essere utile quando si studiino insieme due figure polari, si toglierà più sotto con considerazioni di segni.

Per il calcolo effettivo dei sei parametri di scorrimento si osservi