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G. Fubini

nelle quali formule intendiamo con $(B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta )$ i parametri di una retta e con $(B',C',D',\beta ',\gamma ',\delta ')$ i parametri omologhi dell’altra. Questa definizione scaturisce spontanea dal seguente teorema:

“L’angolo di una coppia di rette complanari e quello delle parallele tirate ad esse da un punto $A$ qualunque sono uguali, purchè le due parallele siano tirate in un medesimo verso„.

Infatti, esiste allora uno scorrimento (destrorso o sinistrorso a secondo del senso del parallelismo) che porta il punto comune alla prima coppia di rette nel punto $A$, e la prima coppia di rette nella coppia di parallele per il punto $A$.

Il teorema si può dimostrare anche analiticamente: Se le rette date sono le rette $(x,\xi ),(x,\eta )$ il loro angolo $\varphi$ è definito da $\cos \varphi =\Sigma \xi \eta$; l’angolo $\varphi '$ delle parallele tirate dal punto $(1,0,0,0)$ è dato da

$\cos \varphi '=\sum [x\xi ]_{i}[x\eta ]_{i}$

oppure da

$\cos \varphi '=\sum [x\xi ]'_{i}[x\eta ]'_{i}$

a seconda del verso del parallelismo; l’identità (8) ci dimostra che è in ambi i casi $\cos \varphi '=\cos \varphi$.

E allora si vede che gli angoli $\varphi$ definiti dalle

12)	$\left\lbrace {\begin{array}{c}\cos \varphi =BB'+CC'+DD'\\\cos \varphi =\beta \beta '+\gamma \gamma '+\delta \delta '\end{array}}\right.$

non sono altro per le (10) che gli angoli formati dalle due coppie di parallele tirate dal punto $(1,0,0,0)$ alle due rette date in un verso o nell’altro; e per teor. precedente si vede che invece di tirare queste parallele dal punto $(1,0,0,0)$ si possono tirare queste parallele da un punto qualunque dello spazio, senza che per questo muti la determinazione dell’angolo.

Se le due rette sono le rette $(x,\xi )$ e $(y,\eta )$ abbiamo per l’angolo delle due rette la seguente formula:

$\cos \varphi =\sum [x\xi ]_{i}[y\eta ]_{i}$ oppure la $\cos \varphi =\sum [x\xi ]'_{i}[y\eta ]'_{i}$