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Il parallelismo di Clifford negli spazii ellittici

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È facile ora riconoscere ciò che distingue i paramenti di scorrimento di due rette polari. Prendiamo per es. la retta normale nel punto (1, 0, 0, 0) al piano (0, 1, 0, 0) e la retta polare normale nel punto (0, 0, 1, 0) al piano (0, 0, 0, 1).

Per l’una avremo

$B=1,C=D=0,\beta =1,\gamma =\delta =0;$

per l’altra

$B'=1,C'=D'=0,\beta =-1,\gamma '=\delta '=0.$

Quindi:

Cambiando i segni a una delle due terne dei parametri di scorrimento di una retta, si ottiene la retta polare.

Noi vedremo spesso che le rette polari hanno nello spazio ellittico l’uffizio che nello spazio piano hanno le direzioni opposte.

Il cangiare contemporaneamente i segni a tutti e 6 i parametri di scorrimento non muta la retta corrispondente, perchè ciò equivale a cambiare $(x_{i})$ in $(-x_{i})$ oppure $(\xi _{i})$ in $(-\xi _{i})$, oppure scambiando i punti $(x_{i})$, $(\xi _{i})$. (Cfr. le osservazioni finali).

§. 3. Ma i calcoli con le $B,C,D,\beta ,\gamma ,\delta$ riuscirebbero faticosissimi, se noi non introducessimo un algoritmo semplice, che ci permetterà di trattare poi con la massima sicurezza e facilità queste nuove coordinate di retta e di passare da queste alle usuali formole in coordinate di Weierstrass. Osserviamo perciò che si può scrivere:

6)

$\left\lbrace {\begin{array}{c}B={\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{1}\\x_{2}&x_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{3}\\x_{4}&x_{3}\end{vmatrix}}\\C={\begin{vmatrix}\xi _{2}&\xi _{4}\\x_{2}&x_{4}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{1}\\x_{3}&x_{1}\end{vmatrix}}\\D={\begin{vmatrix}\xi _{3}&\xi _{2}\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\xi _{4}&\xi _{1}\\x_{4}&x_{1}\end{vmatrix}}\\\end{array}}\right.$