Principii di geometria/Principii di geometria

by Giuseppe Peano

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Giuseppe Peano - Principii di geometria (1889)

Principii di geometria

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Note

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PRINCIPII DI GEOMETRIA

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§ 1. Punto e segmento.

Il segno 1 leggasi punto.

Il segno =, fra due punti, indica la loro identità (coincidenza).

Se a, b sono punti, con ab intenderemo la classe formata dai punti interni al segmento ab. Quindi la formula c ∈ ab significa «c è un punto interno al segmento ab».

Assiomi sul segno =.

1. a = a.
2. a = b . = . b = a.
3. a = b . b = c : ⊃ . a = c.

Assiomi sui segmenti.

4. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ∈ K 1.
5. a, b, c, d ∈ 1 . a = b . c = d : ⊃ . ac = bd.

§ 2. Definizioni.

1. a, b ∈ 1 . ⊃ ∴ a′b = : 1 . [x ∈] (b ∈ ax).
2. a, b ∈ 1 . ⊃ ∴ ab′ = : 1 . [x ∈] (a ∈ xb).
3. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ ∴ ak = : 1 . [x ∈] (y ∈ k . x ∈ ay : − =_y Λ).
4. »: ⊃ ∴ a′k = : 1 . [x ∈] (y ∈ k . x ∈ a′y : − =_y Λ).
5. »: ⊃ ∴ ak′ = : 1 . [x ∈] (y ∈ k . x ∈ ay′ : − =_y Λ).
6. h, k ∈ K 1 : ⊃ ∴ hk = : 1 . [x ∈] (y ∈ h . x ∈ yk : − =_y Λ).
7. »: ⊃ ∴ h′k = : 1 . [x ∈] (y ∈ h . x ∈ y′k : − =_y Λ).
8. »: ⊃ ∴ hk′ = : 1 . [x ∈] (y ∈ h . x ∈ yk′ : − =_y Λ).
9. h ∈ K 1 . ⊃ . h″ = hh′.
10. 2 = [x ∈] (a, b, c ∈ 1 . a − = b . x = (ab)″ : − =_{a, b} Λ).
11. a, b, c ∈ 1 . ⊃ ∷ a, b, c ∈ Cl . = ∴ r ∈ 2 . a, b, c ∈ r : − =_r Λ.
12. 3 = [x ∈] (a, b, c ∈ 1 . a, b, c − ∈ Cl . x = (abc)″ : − =_{a, b, c} Λ).

13. a, b, c, d ∈ 1 . ⊃ ∷ a, b, c, d ∈ Cp . = ∴ p ∈ 3 . a, b, c, d ∈ p : − =_p ∧.
14. Cnv . = . [x ∈] (x ∈ K 1 : a, b ∈ x . ⊃_{a, b} . ab ⊃ x).

Abbreviazioni.

abc = a(bc) . a′bc = a′(bc) . a′b′c = a′(b′c) . abcd = a(bcd) . ecc.

§ 3. Teoremi.

Sulle definizioni 1 e 2.

1. a, b ∈ 1 . ⊃ ∴ c ∈ a′b . = : c ∈ 1 . b ∈ ac. {P1 = §2 P1}
2. a, b, c ∈ 1 . ⊃ : c ∈ a′b . = . b ∈ ac.{P1 ⊃ P2}
3. a, b, c ∈ 1 . ⊃ : c ∈ ab′ . = . a ∈ cb.{§2 P2 ⊃ P3}
4. a, b, c ∈ 1 . ⊃ : a ∈ bc . = . b ∈ ac′ . = . c ∈ b′a.{P4 = : P2 . P3}

Sulle definizioni 3, 4, 5.

5. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ ::: x ∈ ak . = ∷ x ∈ 1 ∴ y ∈ k . x ∈ ay : − =_y ∧.
   {P5 = §2 P3}
6. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ ∴ x ∈ ak . = : x ∈ 1 . k ∩ a′x − = ∧.{P6 = P5}
7. »: ⊃ ∴ x ∈ a′k . = : x ∈ 1 . k ∩ ax − = ∧.{P7 = §2 P4}
8. »: ⊃ ∴ x ∈ ak′ . = : x ∈ 1 . k ∩ x′a − = ∧.{P8 = §2 P5}
9. a, b ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ : b ∈ ak . = . a ∈ bk′.{P6 . P8 : ⊃ P9}
10. a ∈ 1 . h, k ∈ K 1 . h ⊃ k : ⊃ . ah ⊃ ak.
11. » » : ⊃ . a′h ⊃ a′k.
12. » » : ⊃ . ah′ ⊃ ak′.

{Hp . P8 : ⊃ ∴ x ∈ ah′ . = : x ∈ 1 . h ∩ x′a − = ∧ : ⊃ : x ∈ 1 . k ∩ x′a − = ∧ : = . x ∈ ak′ : ⊃ Ts.}

13. a ∈ 1 . h, k. ∈ K 1 : ⊃ . a (h ∪ k) = ah ∪ ak.
14. »: ⊃ . a′ (h ∪ k) = a′h ∪ a′k.
15. »: ⊃ . a (h ∪ k)′ = ah′ ∪ ak′.
16. a ∈ 1 . k ∈ K 1 . k = ∧ : ⊃ : ak = ∧ . a′k = ∧ . ak′ = ∧.

Sulle definizioni 6, 7, 8.

17. h, k ∈ K 1 : ⊃ ::: x ∈ hk . = ∷ x ∈ 1 ∴ y ∈ h . z ∈ k . x ∈ yz : − =_{y, z} ∧.
18. »::: x ∈ h′k . = » » x ∈ y′z »
19. »::: x ∈ hk′ . = » » x ∈ yz′ »

20. h, k, l ∈ K 1 . h ⊃ k : ⊃ hl ⊃ kl . h′l ⊃ k′l . hl′ ⊃ kl′.
21. h, k, l ∈ K 1 : ⊃ : (h ∪ k)l = hl ∪ kl . (h ∪ k)′l = h′l ∪ k′l . (h ∪ k)l′ = hl′ ∪ kl′.
22. h, k ∈ K 1 . h = ∧ : ⊃ . hk = h′k = hk′ = ∧.

Sulla definizione 9.

23. k ∈ K 1 . ⊃ ∷ x ∈ k″ . = ∴ y, z ∈ k . x ∈ y′z : − =_{y, z} ∧.
24. h, k ∈ K 1 . h ⊃ k : ⊃ . h″ ⊃ k″.
25. a ∈ 1 . k ∈ K 1 . b ∈ k : ⊃ . (ab)″ ⊃ (ak)″.

Sulle definizioni 10 e 12.

26. x ∈ 2 . = ∴ a, b ∈ 1. a − = b . x ∈ (ab)″ : − =_{a, b} ∧.
27. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . (ab)″ ∈ 2.
28. x ∈ 3 . = ∴ a, b, c ∈ 1 − Cl. x ∈ (abc)″ : − =_{a, b, c} ∧.
29. a, b, c ∈ 1 − Cl. ⊃ . (abc)″ ∈ 3.

Sulla definizione 14.

30. h ∈ Cnv. = ∴ h K 1 : a, b ∈ h . ⊃_{a, b} . ab ⊃ h.
31. h, k ∈ Cnv. ⊃ . h ∩ k ∈ Cnv.

{Hp. ⊃ ∴ h, k ∈ K 1 : a, b ∈ h . ⊃_{a, b} . ab ⊃ h : a, b ∈ k . ⊃_{a, b} . ab ⊃ k ∴ ⊃ ∴ h ∩ k ∈ K 1 : a, b ∈ h ∩ k . ⊃_{a, b} . ab ⊃ hk ∴ ⊃ . Ts}.

32. k ∈ Cnv. l ∈ K 1 . l ⊃ k . a ∈ k : ⊃ . al ⊃ k.
33. k ∈ Cnv. a, b, c ∈ k : ⊃ . abc ⊃ k.
34. k ∈ Cnv. a, b, c, d ∈ k : ⊃ . abcd ⊃ k.
35. k ∈ Cnv. a, b ∈ k : ⊃ . (ab)″ ⊃ k″.

§ 4. Assiomi I, II, III, IV.

Assioma I.

1. 1 − = ∧.

Assioma II.

2. a ∈ 1 . ⊃ ∴ x ∈ 1 . x − = a : − =_x ∧.

Assioma III.

3. a ∈ 1 . ⊃ . aa = ∧.

Teoremi.

4. a, b ∈ 1 . a = b : ⊃ . ab = ∧.{Hp . ⊃ . ab = aa = ∧}
5. a, b ∈ 1 . ab − = ∧ : ⊃ . a − = b.{P5 = P4}
6. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . a − = b.{Hp . ⊃ : ab − = ∧ . P5 : ⊃ Ts.}
7. a, b, c ∈ 1 . b ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ a′k.{P7 = P6}
8. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ a′k.

Assioma IV.

9. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . ab − = ∧.

Teoremi.

10. a, b ∈ 1 . ab = ∧ : ⊃ . a = b.{P10 = P9}
11. a, b ∈ 1 . ⊃ : a = b . = . ab = ∧.{P11 = : P4 . P10}
12. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . b ∈ a′ab.

{Hp . ⊃ . ab − = ∧ . ⊃ . ab ∩ ab − = ∧ . ⊃ . Ts.}

§5. Assiomi V, VI, VII.

Assioma V.

1. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab = ba.

Teoremi.

2. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b = ba′.

{Hp : ⊃ : x ∈ a′b . = . b ∈ ax . = . b ∈ xa . = . x ∈ ba′ : ⊃ Ts}

3. a, b ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ : b ∈ a′k . = . a ∈ b′k.{Hp . §3 P7 : ⊃ : b ∈ a′k . = . k ∩ ab − = ∧ . = . k ∩ ba − = ∧ . = a ∈ b′k : ⊃ . Ts.}
4. a, b, c, d ∈ 1 . ⊃ : ab ∩ cd − = ∧ . = . a ∈ b′cd . = . b ∈ a′cd . = . c ∈ d′ab . = . d ∈ c′ab.
5. ». ⊃ : a′b ∩ cd − = ∧ . = . a ∈ b(cd)′ . = . b ∈ acd . = . c ∈ d′a′b . = . d ∈ c′a′b.
6. ». ⊃ : a′b ∩ c′d − = ∧ . = . a ∈ b(c′d′)′ . = . b ∈ ac′d . = . c ∈ d(a′b)′ . =. d ∈ ca′b.
7. h, k ∈ K 1 . ⊃ . hk = kh.
8. ». ⊃ . h′k = kh′.

Assioma VI.

9. a, b ∈ 1 . ⊃ . a − ∈ ab.

Teoremi.

10. a, b ∈ 1 . ⊃ . b − ∈ ab.{Hp . P9 . P1 : ⊃ : b − ∈ ba . ba = ab : ⊃ Ts}
11. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ : c − = a . c − = b.{P11 = : P9 . P10}
12. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ : c − = . a . c − = b.{P12 = : P11 . §4 P7}

13. a ∈ 1 . ⊃ . a′a = ∧.
14. a ∈ 1 . ⊃ . a″ = ∧.
15. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a − ∈ ak.

Assioma VII.

16. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . a′b − = ∧.

Teoremi.

17. a, b ∈ 1 . ⊃ : a′b = ∧ . = . a = b.{P17 = : P16 . P13}
18. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . b ∈ aa′b.

{Hp . ⊃ . a′b − = ∧ . ⊃ . a′b ∩ a′b − = ∧ . ⊃ . Ts}

§ 6. Assioma VIII.

1. a, b, c, d ∈ 1 . c ∈ ad . b ∈ ac : ⊃ . b ∈ ad.

Teoremi.

2. a, c, d ∈ 1 . c ∈ ad : ⊃ . ac ⊃ ad{P2 = P1}
3. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . ac ⊃ ab.{P3 = b [d] P2}
4. » » : ⊃ . cb ⊃ ab.{P4 = (a, b) [b, a] P3}
5. » » : ⊃ . ac ∪ c ∪ cb ⊃ ab.{P5 = : P3 . P4}
6. a, b ∈ 1 . c ∈ ab . d ∈ ac : ⊃ . cd ⊃ ab.

{Hp . P3 . P4 : ⊃ . cd ⊃ ac . ac ⊃ ab : ⊃ . Ts}

7. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . c ∈ a′ab.{Hp . ⊃ : c − = a : ⊃ : ac − = ∧ . ac ⊃ ab . ⊃ : ac ∩ ab − = ∧ : ⊃ . Ts}
8. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ⊃ a′ab.{P8 = P7}

9. a, c ∈ 1 . b ∈ a′c : ⊃ . b ∈ a′ac.{P9 = P8}
10. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ a′ab.{P10 = P9}
11. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . ab ∪ b ∪ a′b ⊃ a′ab.

{P11 = : P8 . P10 . §4 P12}

12. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . a′c ⊃ a′b.{P12 = P1}
13. a, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . b ∈ aa′c.

{Hp . §4 P6 : ⊃ : c − = a . §5 P16 : ⊃ : a′c − = ∧ . ⊃ a′c ⊃ a′b : ⊃ . Ts}

14. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ⊃ aa′b.{P14 = P13}
15. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . c ∈ aa′b.{P15 = P13}
16. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ aa′b.{P16 = P15}
17. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . ab ∪ b ∪ a′b ⊃ aa′b.

{P14 . P16 . §5 P18 : ⊃ P17}

18. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ac . c ∈ ab : = ∧.

{Hp . (b) [d] P1 : ⊃ : b ∈ ab . §5 P10 : ⊃ ∧}

19. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ∩ a′b = ∧.{P19 = P18}
20. b, c ∈ 1 . ⊃ . c′b ∩ b′c = ∧.{P20 = P18}
21. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ∩ b′a = ∧.{P21 = P20}
22. a, b, d ∈ 1 . a′b ∩ ad − = ∧ : ⊃ . b ∈ ad.{P22 = P1}
23. a, b, d ∈ 1 . b ∈ aad : ⊃ . b ∈ ad.{P23 = P22}
24. a, b ∈ 1 . ⊃ . aab ⊃ ab.{P24 = P23}
25. a, b, d ∈ 1 . d ∈ a′a′b : ⊃ . d ∈ a′b.{P25 = P22}
26. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′a′b ⊃ a′b.{P26 = P25}
27. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . b ∈ (ab)″.

{Hp . §4 P9 . §5 P10 : ⊃ ∴ c ∈ ab . d ∈ cb : − =_{c, d} ∧ ∴ ⊃ ∴ c, d ∈ ab . b ∈ c′d : − =_{c, d} ∧ ∴ ⊃ Ts}

28. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ⊃ (ab)″.{Hp . x ∈ ab : ⊃ : x − = a . x ∈ (ax)″ . ax ⊃ ab . (ax)″ ⊃ (ab)″ : ⊃ . x ∈ (ab)″}

§ 7. Assioma IX.

1. a, d ∈ 1 . b, c ∈ ad : ⊃ : b = c . ∪ . b ∈ ac . ∪ . b ∈ cd.

Teoremi.

2. a, d ∈ 1 . c ∈ ad : ⊃ . ad ⊃ ac ∪ c ∪ cd.{P2 = P1}
3. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . ab ⊃ ac ∪ c ∪ cb.{P3 = P2}
4. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . ab = ac ∪ c ∪ cb.{P4 = : P3 . §6 P5}

5. a, d ∈ 1 . b ∈ ad . c ∈ bd : ⊃ . b ∈ ac.{Hp . §6 P1 P18 : ⊃ : a, d ∈ 1 . b , c ∈ ad . b − = c . b − ∈ cd . P1 : ⊃ . Ts}
6. a, d ∈ 1 . b ∈ ad : ⊃ . bd ⊃ a′b.{P6 = P5}
7. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . bc ⊃ a′b.{P7 = (c) [d] P6}
8. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . bc ∪ c ∪ a′c ⊃ a′b{P8 = : P7 . §6 P12}
9. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . bc ∩ a′b − = ∧.

{Hp . ⊃ : c − = b . bc − = ∧ . bc ⊃ a′b : ⊃ Ts}

10. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . c ∈ b′a′b.{P10 = P9}
11. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ b′a′b.{P11 = P10}
12. a, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . ac ∩ a′b − = ∧.

{Hp . P9 : ⊃ : bc ⊃ ac . bc ∩ a′b − = ∧ : ⊃ . Ts}

13. a, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . b ∈ aac.{P13 = P12}
14. a, c ∈ 1 . ⊃ . ac ⊃ aac.{P14 = P13}
15. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ⊃ aab{P15 = b [c] P14}
16. a, b ∈ 1 . ⊃ aab = ab.{P16 = : P15 . §6 P24}
17. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . c ∈ a′a′b.{P17 = P12}
18. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ a′a′b.{P18 = P17}
19. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′a′b = a′b.{P19 = : P18 . §6 P26}
20. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ . aak = ak.
21. » » : ⊃ . a′a′k = a′k.
22. b, d ∈ 1 . c ∈ bd : ⊃ . d′b ⊃ c′b.{P22 = P5}
23. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . a′c ⊃ b′c.{P23 = (a, b, c} [b, c, d] P22}
24. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . b′c ∩ a′b − = ∧.

{Hp . P23 . §6 P12 : ⊃ : a′c − = ∧ . a′c ⊃ b′c . a′c ⊃ a′b : ⊃ . Ts}

25. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . c ∈ bba′.{P25 = 24}
26. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ bba′.{P26 = P25}
27. a, b, c ∈ 1 . a′b ∩ b′c − = ∧ : ⊃ . b ∈ ac.{P27 = P5}
28. a, b ∈ 1 . c ∈ bba′ : ⊃ . c ∈ ba′.{P28 = P27}
29. a, b ∈ 1 . ⊃ . bba′ ⊃ ba′.{P29 = P28}
30. a, b ∈ 1 . ⊃ . bba′ = ba′.{P30 = : P29 . P26}
31. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ . aak′ = ak′.
32. a, e ∈ 1 . c ∈ ae . b ∈ ac . d ∈ ce : ⊃ . c ∈ bd.

{Hp . P5 : ⊃ : c ∈ be . b ∈ ce : ⊃ . Ts}

33. a, e ∈ 1 . c ∈ ae . b ∈ ac . b ∈ ce : = ∧.

{Hp . b [d] P32 : ⊃ : c ∈ bb . §4 P3 : ⊃ ∧}

34. a, e ∈ 1 . c ∈ ae : ⊃ . ac ∩ ce = ∧.{P34 = P33}
35. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . ac ∩ cb = ∧.{P35 = P34}
36. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ (ab)″.{Hp . x ∈ a′b : ⊃ ∴ c ∈ ab . d ∈ bc : − =_{c, d} ∧ ∴ ⊃ ∴ c, d ∈ ab . x ∈ c′d : − =_{c, d} ∧ ∴ ⊃ . x ∈ (ab)″}
37. a , b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . b′a ∪ a ∪ ab ∪ b ∪ a′b ⊃ (ab)″.

{P36 . §6 P27 P28 : ⊃ P37}

38. a ∈ 1 . k ∈ K 1 . a − ∈ k : ⊃ . k′a ∪ a ∪ ak ∪ k ∪ a′k ⊃ (ak)″.
39. a, b, c ∈ 1 . a − ∈ bc : ⊃ . (bc)′a ∪ a ∪ abc ∪ bc ∪ a′bc ⊃ (abc)″.
40. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b . d ∈ ac : ⊃ . d ∈ ab ∪ b ∪ a′b.

{Hp . P1 . P7 : ⊃ : d ∈ ab ∪ b ∪ bc . bc ⊃ a′b : ⊃ . Ts}

41. a, b ∈ 1 . d ∈ aa′b : ⊃ . d ∈ ab ∪ b ∪ a′b.{P41 = P40}
42. a, b ∈ 1 . ⊃ . aa′b ⊃ ab ∪ b ∪ a′b.{P42 = P41}
43. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . aa′b = ab ∪ b ∪ a′b.

{P42 . §6 P17 : ⊃ P43}

44. a ∈ 1 . k ∈ K 1 . a − ∈ k : ⊃ . aa′k = ak ∪ k ∪ a′k.
45. a, b ∈ 1 . c, d ∈ ab : ⊃ . cd ⊃ ab.

{Hp . d = c . §4 P4 : ⊃ . Ts.(α)
Hp . d ∈ ac . §6 P6 : ⊃ . Ts.(β)
Hp . d ∈ cb . (a, b) [b, a] (β) : ⊃ Ts.(γ)
Hp . P1 . (α) (β) (γ) : ⊃ . Ts.}

46. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ∈ Cnv.{P46 = P45}
47. a, b ∈ 1 . ⊃ . a ∪ ab ∈ Cnv.
48. ». ⊃ . a ∪ ab ∪ b ∈ Cnv.

§ 8. Assioma X.

1. a, b ∈ 1 . c, d ∈ a′b : ⊃ : c = d . ∪ . d ∈ bc . ∪ . c ∈ bd.

Teoremi.

2. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . a′b ⊃ bc ∪ c ∪ b′c.{P2 = P1}
3. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . a′b ⊃ bc ∪ c ∪ a′c.{P2 . §7 P23 : ⊃ P3}
4. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . a′b = bc ∪ c ∪ a′c.{P4 = : P3 . §7 P8}
5. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . a′b ⊃ ac ∪ c ∪ a′c.

{Hp . P4 . §6 P3 : ⊃ : a′b = bc ∪ c ∪ a′c . bc ⊃ ac : ⊃ . Ts}

6. a, b ∈ 1 . c, d ∈ a′b : ⊃ . d ∈ ac ∪ c ∪ a′c.{P6 = P5}

7. a, c, d ∈ 1 . ac ∩ ad − = ∧ : ⊃ . d ∈ ac ∪ c ∪ a′c.{P7 = P6}
8. a, c ∈ 1 . d ∈ a′ac : ⊃ . d ∈ ac ∪ c ∪ a′c.{P8 = P7}
9. a, c ∈ 1 . ⊃ . a′ac ⊃ ac ∪ c ∪ a′c.{P9 = P8}
10. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′ab ⊃ ab ∪ b ∪ a′b.{P10 = P9}
11. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . a′ab = ab ∪ b ∪ a′b.

{P10 . §6 P11 : ⊃ P11}

12. a, b ∈ 1 : ⊃ . a′ab = aa′b.{P11 . §7 P43 : ⊃ P12}
13. a ∈ 1 . k ∈ K 1 : ⊃ . a′ak = aa′k.
14. a, b ∈ 1 . c, d ∈ a′b : ⊃ . cd ⊃ a′b.

{Hp . c = d : ⊃ : cd = ∧ : ⊃ Ts.(α)
Hp . d ∈ bc . §6 P3 . §7 P7 : ⊃ : cd ⊃ bc . bc ⊃ a′b : ⊃ Ts.(β)
Hp . c ∈ bd . (c, d) [d, c] (β) : ⊃ . Ts.(γ)
Hp . P1 . (α) (β) (γ) : ⊃ . Ts.}

15. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ∈ Cnv.{P15 = P14}
16. a, b ∈ 1 . ⊃ . b ∪ a′b ⊃ Cnv.{P16 = : P15 . §7 P7}
17. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ca : ⊃ . c′ca = c′cb.

{Hp . P11 . §7 P4 . P3 : ⊃ : c′ca = ca ∪ a ∪ c′a = cb ∪ b ∪ ba ∪ a ∪ c′a = cb ∪ b ∪ c′cb : ⊃ Ts}

18. a, b, c ∈ 1 . b ∈ c′a : ⊃ . c′ca = c′cb.{P18 = (b, a) [a, b] P17}
19. a, c ∈ 1 . b ∈ c′ca : ⊃ . c′ca = c′cb.{P19 = : P17 . P18}

§ 9. Assioma XI.

1. a, b, c, d ∈ 1 . b ∈ ac . c ∈ bd : ⊃ . c ∈ ad.

Teoremi.

2. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . b′c ⊃ a′c.{P2 = P1}
3. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . b′c = a′c.{P3 = : P2 . §7 P23}
4. a, b, c ∈ 1 . b ∈ c′a : ⊃ . b′c = a′c.{P4 = (b, a) [a, b] P3}
5. a, c ∈ 1 . b ∈ c′ca : ⊃ . b′c = a′c.{P3 . P4 . §8 P11 : ⊃ . P5}
6. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . c′ab ⊃ b′a ∪ a ∪ ab ∪ b ∪ a′b.

{Hp . §7 P4 . §8 P11 . P3 : ⊃ : ab = ac ∪ c ∪ cb . c′ab = c′ac ∪ c′cb . c′ac = ca ∪ a ∪ c′a . c′cb = cb ∪ b ∪ c′b . c′a = b′a . c′b = a′b : ⊃ . Ts}

7. a, b ∈ 1 . ⊃ . (ab)″ ⊃ b′a ∪ a ∪ ab ∪ b ∪ a′b.{P7 = P6}

8. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . (ab)″ = b′a ∪ a ∪ ab ∪ b ∪ a′b.

{P7 . §7 P37 : ⊃ . P8}

9. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . (ab)″ = b′ba ∪ b ∪ a′b.

{P8 . §8 P11 : ⊃ . P9}

10. a, c ∈ 1 . b ∈ c′ca : ⊃ . (ac)″ = (bc)″.{P9 . P5 . §8 P19 : ⊃ P10}
11. a, c ∈ 1 . b ∈ a′c : ⊃ . b′c = c′ca.

{Hp . §8 P4 . P3 . §8 P11 : ⊃ : b′c = ca ∪ a ∪ b′a . b′a = c′a . c′ca = ca ∪ a ∪ c′a : ⊃ Ts.}

12. a, c ∈ 1 . b ∈ a′c : ⊃ . (ac)″ = (bc)″.

{Hp . P11 : ⊃ : b′c = c′ca . a′c = c′ca . a′c = c′cb : ⊃ : c′ca ∪ c ∪ a′c = b′c ∪ c ∪ c′cb : ⊃ Ts}

13. a, c ∈ 1 . b ∈ (ac)″ . b − = c : ⊃ . (ac)″ = (bc)″.

{P13 = : P10 . P12}

14. a, b ∈ 1 . c, d ∈ (ab)″ . c − = d : ⊃ . (ab)″ = (cd)″.(P13 ⊃ P14}
15. r ∈ 2 . c, d ∈ r . c − = d : ⊃ . r = (cd)″.{P15 = P14}
16. r, s ∈ 2 . a, b ∈ 1 . a, b ∈ r ∩ s . a − = b : ⊃ . r = s.

{Hp. P15 : ⊃ : r = (ab)″ . s = (ab)″ : ⊃ Ts}

17. a, b ∈ 1 . ⊃ . (ab)″ Cnv.{P14 ⊃ P17}
18. 2 ⊃ Cnv.
19. a, b, c ∈ 1 . a − = b : ⊃ : a, b, c ∈ Cl . = . c ∈ (ab)″.
20. a, b, c ∈ 1 . ⊃ ∴ a, b, c ∈ Cl : = : a = b . ∪ . a = c . ∪ . b = c . ∪ . a ∈ bc . ∪ . b ∈ ac . ∪ . c ∈ ab.
21. a, b, c ∈ 1 . d ∈ bc : ⊃ : a, b, c ∈ Cl . = . a, b, d, ∈ Cl.
22. a, b, c ∈ 1 . e ∈ abc : ⊃ : a, b, c ∈ Cl . = . a, b, e ∈ Cl.

§ 10. Assiomi XII e XIII.

Assioma XII.

1. r ∈ 2 . ⊃ ∴ x ∈ 1 . x − ∈ r : − =_x ∧.

Assioma XIII.

2. a, b, c ∈ 1 . a, b, c − ∈ Cl . d ∈ bc . e ∈ ad : ⊃ ∴ f ∈ ac . e ∈ bf : − =_f ∧.

Teoremi.

3. a, b, c, e ∈ 1 . a, b, c − ∈ Cl . bc ∩ a′e − = ∧ : ⊃ . ac ∩ b′e − = ∧.

{P3 = P2}

4. a, b, c, e ∈ 1 . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ : bc ∩ a′e − = ∧ . = . ac ∩ b′e − = ∧.

{P4 = : P3 . (b, a) [a, b] P3}

5. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ : e ∈ abc . = . e ∈ bac.{P5 = P4}
6. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ . abc = bac.{P6 = P5}
7. ». ⊃ . abc = (ab)c.

{Hp . ⊃ . a(bc) = a(cb) = c(ab) = (ab)c}

8. a, b, e ∈ 1 − Cl . ⊃ : c ∈ b′a′e . = . c ∈ a′b′e . = . c ∈ (ab)′e.

{P8 = : P5 . P7}

9. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ . b′a′c = a′b′c = (ab)′c.{P9 = P8}
10. a, b, c ∈ 1 − Cl . p ∈ ab . q ∈ ac : ⊃ . pq ⊃ abc.

{Hp . ⊃ : pq ⊃ pac . pa ⊃ ab . pac ⊃ abc : ⊃ Ts}

11. a, b, c ∈ 1 . a − ∈ bc . p ∈ ab . q ∈ ac : ⊃ . pq ⊃ abc.

{P10 . §6 P1 : ⊃ . P11}

12. k ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ k . b, c ∈ k . p ∈ ab . q ∈ ac : ⊃ . pq ⊃ ak.

{Hp . ⊃ : bc ⊃ k . a − ∈ bc . pq ⊃ abc . abc ⊃ ak : ⊃ . Ts}

13. k ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ k : ⊃ . ak Cnv.{P13 = P12}
14. a, b, c ∈ 1 . a − ∈ bc : ⊃ . abc ∈ Cnv.
15. a, b, c, d ∈ 1 . b − ∈ cd . a − ∈ bcd : ⊃ . abcd ∈ Cnv.
16. k ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ k : ⊃ . ak ∪ k ∈ Cnv.
17. k ∈ Cnv . a ∈ 1 : ⊃ . a ∪ ak ∈ Cnv.
18. k ∈ Cnv . a ∈ 1 : ⊃ . a ∪ ak ∪ k ∈ Cnv.
19. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc . e ∈ ad . x ∈ b′e : ⊃ . x ∈ adc ∪ ac ∪ b′ac.

{Hp . P2 : ⊃ ∴ f ∈ ac : e ∈ bf : − =_f ∧.(α)

Hp . f ∈ ac . f ∈ b′e : ⊃ : b′e = ef ∪ f ∪ b′f . ef ⊃ abc . f ⊃ ac . b′f ⊃ b′ac : ⊃ . Ts(β)

Hp . (α) (β) : ⊃ . Ts}

20. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . b′ad ⊃ adc ∪ ac ∪ b′ac.{P20 = P19}
21. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ . bc′ ⊃ (abc)″.

{Hp . ⊃ . ab − = ∧.(α)

Hp . p ∈ ab . x ∈ bc′ : ⊃ . x′p ∩ ac − = ∧.(β)

Hp . p ∈ ab . x ∈ bc′ . q ∈ ac . q ∈ x′p : ⊃ : pq ⊃ abc . x ∈ (pq)″ . (pq)″ ⊃ (abc)″ : ⊃ . x ∈ (abc)″.(γ)

Hp . x ∈ bc′ . (α) (β) (γ) : ⊃ . x ∈ (abc)″.}

22. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ . a ∪ b ∪ c ∪ ab ∪ ... ∪ a′b ∪ ... ∪ abc ∪ a′bc ∪ ... ∪ a′b′c ∪ ... ⊃ (abc)″.{P21 . §7 P39 : ⊃ P22}

23. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ . (bc)″ ⊃ (abc)″.
24. a, b, c ∈ 1 − Cl . r = (bc)″ : ⊃ . a′r ⊃ (abc)″.
25. p ∈ 3 . r ∈ 2 : ⊃ ∴ x ∈ p . x − ∈ r : − =_x ∧.

{Hp . a, b, c ∈ 1 − Cl . p = (abc)″ . a − ∈ r : ⊃ . Ts.(α)

»». a ∈ r . b − ∈ r : ⊃ . Ts.(β)

»». a ∈ r . b ∈ r : ⊃ : c − ∈ r : ⊃ . Ts.(γ)

Hp . (α) (β) (γ) : ⊃ Ts.}

26. a, b, c ∈ 1 − Cl . p ∈ abc : ⊃ . abc = p ∪ pa ∪ pab ∪ pb ∪ pbc ∪ pc ∪ pca.

{Hp . ⊃ . bc ∪ a′p − = ∧.(α)

Hp . d ∈ bc . d ∈ a′p : ⊃ : bc = bd ∪ d ∪ dc . abc = abd ∪ ad ∪ adc . p ∈ ad . ad = ap ∪ p ∪ pd . abd = bap ∪ bp ∪ bpd . adc = cap ∪ cp ∪ cpd . pbc = pbd ∪ pd ∪ pdc : ⊃ . Ts.(β)

Hp . (α) (β) : ⊃ Ts.}

27. a, b, c ∈ 1 − Cl . p, q ∈ abc . p − = q : ⊃ . p′q ∩ (a ∪ ab ∪ b ∪ bc ∪ c ∪ ca) − = ∧.

{Hp . P26 : ⊃ : q ∈ p (a ∪ ab ∪ b ∪ bc ∪ c ∪ ca) : ⊃ Ts.}

28. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r . b ∈ r . c ∈ b′a . d ∈ a′r : ⊃ . d ∈ c′r.

{Hp . ⊃ . r ∩ ad − = ∧.(α)

Hp . e ∈ r . e ∈ ad . e = b : ⊃ : d ∈ a′b . a′b = c′b : ⊃ . Ts.(β)

Hp . e ∈ r . e ∈ ad . e − = b : ⊃ . a, b, d − ∈ Cl . r = (be)″ . b′e ∩ dc − = ∧ : ⊃ : r ∩ dc = ∧ : ⊃ . Ts.(γ)

Hp . (α) (β) (γ) : ⊃ Ts.}

29. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r . b ∈ r . c ∈ b′a : ⊃ . a′r ⊃ c′r.{P29 = P28}
30. r ∈ 2 . c ∈ 1 . c − ∈ r . a ∈ cr : ⊃ . a′r ⊃ c′r.{P30 = P29}
31. a, b, c ∈ 1 . − Cl . p ∈ abc : ⊃ . p′abc ⊃ a ∪ ... ∪ ab ∪ ... ∪ a′b ∪ ... ∪ abc ∪ a′bc ∪ ... ∪ a′b′c ∪ ...

{Hp . ⊃ . p′pa = pa ∪ a ∪ p′a ⊃ abc ∪ a ∪ b′c′a.(α)

Hp . ⊃ . p′pab = pab ∪ ab ∪ p′ab ⊃ abc ∪ ab ∪ p′(ab)″.(β)

Hp . ⊃ . p′(ab)″ ⊃ c′(ab)″.(γ)

Hp . (α) (β) (γ) : ⊃ Ts.}

32. a, b, c ∈ 1 − Cl : ⊃ . (abc)″ = a ∪ b ∪ c ∪ ab ∪ ac ∪ bc ∪ a′b ∪ ab′ ∪ b′c ∪ cb′ ∪ c′a ∪ ac′ ∪ abc ∪ a′bc ∪ b′ca ∪ c′ab ∪ a′b′c ∪ b′c′a ∪ c′a′b.{P22 . P31 : ⊃ . P32}

33. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ ∴ x ∈ (abc)″ : = : a, b, x ∈ Cl . ∪ . a, c, x ∈ Cl . ∪ . b, c, x ∈ Cl . ∪ . x ∈ abc . ∪ . a ∈ bcx . ∪ . b ∈ acx . ∪ . c ∈ abx . ∪ . ax ∩ bc − = ∧ . ∪ . bx ∩ ac − = ∧ . ∪ . cx ∩ ab − = ∧.

§ 11. Assioma XIV.

1. a, b, c ∈ 1 . a, b, c − ∈ Cl . d ∈ bc . f ∈ ac : ⊃ ∴ e ∈ ad . e ∈ bf : − =_e ∧.

Teoremi.

2. a, b, d, f ∈ 1 . a, b, d − ∈ Cl . b′d ∩ a′f − = ∧ : ⊃ . ad ∩ bf − = ∧.

{P2 = P1}

3. a, b, d ∈ 1 − Cl . f ∈ a′bd : ⊃ . f ∈ b′ad.{P3 = P2}
4. a, b, c ∈ 1 − Cl . ⊃ . ab′c ⊃ b′ac.
5. a, b, c ∈ 1 − Cl . p ∈ a′b . q ∈ a′c : ⊃ . pq ⊃ a′bc.

{Hp . ⊃ : pq ⊃ pa′c . pa′c ⊃ a′pc . pc = cp ⊃ ca′b . ca′b ⊃ a′cb : ⊃ : pq ⊃ a′pc . pc ⊃ a′cb . a′pc ⊃ a′cb : ⊃ Ts.}

6. h ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ h : ⊃ a′h ∈ Cnv.
7. h ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ h : ⊃ . ah ∪ h ∪ a′h ∈ Cnv.

{Hp . P6 . §10 P13 : ⊃ : aa′h ∈ Cnv . §7 P44 : ⊃ Ts}

8. h ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ h : ⊃ . h ∪ a′h ∈ Cnv.
9. a, b, c ∈ 1 − Cl . p ∈ b′a . q ∈ c′a : ⊃ . pq ⊃ b′c′a.

{Hp : ⊃ : pq ⊃ pc′a ⊃ c′pa ⊃ c′b′a : ⊃ Ts.}

10. h ∈ Cnv . a ∈ 1 . a − ∈ h : ⊃ . h′a ∈ Cnv.
11. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . adc ⊃ b′ad.

{Hp . ⊃ : c ∈ b′d . dc ⊃ b′d . adc ⊃ ab′d ⊃ b′ad : ⊃ . Ts.}

12. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . ac ⊃ b′ad.

{Hp . ⊃ : c ∈ b′d . ac ⊃ ab′d ⊃ b′ad : ⊃ Ts.}

13. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . b′ac ⊃ b′ad.

{Hp . ⊃ . ac ⊃ b′ad . ⊃ . b′ac ⊃ b′b′ad = b′ad . ⊃ . Ts}

14. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . adc ∪ ac ∪ b′ac ⊃ b′ad.

{P14 = : P11 . P12 . P13}

15. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . b′ad = adc ∪ ac ∪ b′ac.

{P15 = : P14 . §10 P20}

16. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . d′ab = c′ab ∪ c′a ∪ c′d′a.

{Hp : ⊃ : x ∈ d′ab . = . a ∈ b′xd . = . a ∈ (xdc ∪ xc ∪ b′xc) . = . x ∈ (c′d′a ∪ c′a ∪ c′ab) : ⊃ . Ts.}

17. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ bc : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.

{Hp . ⊃ : bc = bd ∪ d ∪ dc . abc = abd ∪ ad ∪ adc . a′bc = a′bd ∪ a′d ∪ a′dc . b′c′a = b′d′a ∪ d′a ∪ d′c′a.

». ⊃ : d′b = c′b . a′d′b = a′c′b.

». ⊃ : b′d = bd ∪ d ∪ b′c . a′b′d = a′bd ∪ a′d ∪ a′b′c.

». ⊃ : b′ad = adc ∪ ac ∪ b′ac.

». ⊃ : d′ab = c′ab ∪ c′a ∪ c′d′a.

Hp . ⊃ . Ts.}

18. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ (bc)″ . d − = b : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
19. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ abc : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.

{Hp . p ∈ bc . d ∈ ap : ⊃ . (abc)″ = (abp)″ = (abd)″}

20. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ a′bc : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
21. a, b, c ∈ 1 − Cl . d ∈ (abc)″ . d − ∈ (ab)″ : ⊃ . (abc)″ = (abd)″.
22. a, b, c ∈ 1 − Cl . d, e ∈ (abc)″ . a, d, e − ∈ Cl : ⊃ . (abc)″ = (ade)″.
23. a, b, c ∈ 1 − Cl . d, e, f ∈ (abc)″ . d, e, f − ∈ Cl : ⊃ . (abc)″ = (def)″.
24. p ∈ 3 . a, b, c ∈ p . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ . p = (abc)″.
25. p, q ∈ 3 . a, b, c ∈ p ∩ q . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ . p = q.
26. 3 ⊃ Cnv.
27. a, b, c, d ∈ 1 . a, b, c − ∈ Cl : ⊃ . a, b, c, d ∈ Cp . = . d ∈ (abc)″.
28. a, b, c, d ∈ 1 . ⊃ ∴ a, b, c, d ∈ Cp . = : a, b, c ∈ Cl . ∪ . a, b, d ∈ Cl . ∪ . a, c, d ∈ Cl . ∪ . b, c, d ∈ Cl . ∪ . a ∈ bcd . ∪ . b ∈ acd . ∪ . c ∈ abd . ∪ . d ∈ abc . ∪ . ab ∩ cd − = ∧ . ∪ . ac ∩ bd − = ∧ . ∪ . ad ∩ bc − = ∧.
29. p ∈ 3 . r ∈ 2 . a, b ∈ p ∩ r . a − = b : ⊃ . r ⊃ p.
30. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r . c ∈ b′a . d ∈ c′r : ⊃ . d ∈ a′r.
31. r ∈ 2 . c ∈ 1 . c − ∈ r . a ∈ cr : ⊃ . c′r ⊃ a′r{P31 = P30}
32. r ∈ 2 . c ∈ 1 . c − ∈ r . a ∈ cr : ⊃ . a′r = c′r.

{P32 = : P31 . §10 P30}

33. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r . b ∈ r′ra : ⊃ . a′r = b′r.
34. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r . c ∈ a′r . b ∈ c′r : ⊃ . b ∈ r′ra.
35. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r . b ∈ r′ra : ⊃ . r′ra = r′rb.
36. r ∈ 2 . a ∈ 1 . a − ∈ r : ⊃ . (ar)″ ∈ 3.
37. »»: ⊃ . (ar)″ = r ∪ ra′ ∪ r′ra.
38. p ∈ 3 . a ∈ 1 . a − ∈ p . b ∈ p′pa : ⊃ . a′p = b′p.
39. »». c ∈ a′p . b ∈ c′p : ⊃ . b ∈ p′pa.
40. »». b ∈ p′pa : ⊃ . p′pa = p′pb.

§ 12. Assiomi XV e XVI.

Assioma XV.

1. p ∈ 3 . ⊃ ∴ a ∈ 1 . a − ∈ p : − =_a ∧.

Assioma XVI.

2. p ∈ 3 . a ∈ 1 . a − ∈ p . b ∈ a′p . x ∈ 1 : ⊃ : x ∈ p . ∪ . ax ∩ p − = ∧ . ∪ . bx ∩ p − = ∧.

Teoremi.

3. p ∈ 3 . a ∈ 1 . a − ∈ p . b ∈ a′p . c ∈ 1 : ⊃ . p ∩ (ac ∪ c ∪ cb) − = ∧.

{P3 = P2}

4. p, q ∈ 3 . a ∈ p ∩ q : ⊃ ∴ r ∈ 2 . r ⊃ p ∩ q : − =_r ∧.

{Hp . ⊃ ∴ b ∈ q . b − = a : − =_b ∧.(α)

Hp . b ∈ q . b − = a . b ∈ p : ⊃ : (ab)″ ∈ 2 . (ab)″ ⊃ p ∩ q : ⊃ Ts.(β)

Hp . b ∈ q . b − ∈ p : ⊃ ∴ c ∈ q . c − ∈ (ab)″ : − =_c ∧.(γ)

Hp . b − = a : ⊃ : d ∈ b′a . − =_d ∧.(δ)

Hp . b ∈ 1 . b − ∈ p . d ∈ b′a . c ∈ 1 : ⊃ ∴ x ∈ p . x ∈ (bc ∪ c ∪ cd) : − =_x ∧.(η)

Hp . b ∈ q . b − ∈ p . c ∈ q . c − ∈ (ab)″ . d ∈ b′a . x ∈ p . x ∈ (bc ∪ c ∪ cd) : ⊃ : d ∈ q . bc ∪ c ∪ cd ⊃ q . x ∈ q . a − ∈ (bc ∪ c ∪ cd) . x − = a . (ax)″ ∈ 2 . (ax)″ ⊃ p ∩ q : ⊃ . Ts,(θ)

Hp . b ∈ q . b − ∈ p . (γ) (δ) (η) (θ) : ⊃ . Ts.(λ)

Hp . (α) (β) (λ) : ⊃ . Ts.}