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9. a, c ∈ 1 . b ∈ a′c : ⊃ . b ∈ a′ac.{P9 = P8}
10. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ a′ab.{P10 = P9}
11. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . ab ∪ b ∪ a′b ⊃ a′ab.

{P11 = : P8 . P10 . §4 P12}

12. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . a′c ⊃ a′b.{P12 = P1}
13. a, c ∈ 1 . b ∈ ac : ⊃ . b ∈ aa′c.

{Hp . §4 P6 : ⊃ : c − = a . §5 P16 : ⊃ : a′c − = ∧ . ⊃ a′c ⊃ a′b : ⊃ . Ts}

14. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ⊃ aa′b.{P14 = P13}
15. a, b ∈ 1 . c ∈ a′b : ⊃ . c ∈ aa′b.{P15 = P13}
16. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ⊃ aa′b.{P16 = P15}
17. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . ab ∪ b ∪ a′b ⊃ aa′b.

{P14 . P16 . §5 P18 : ⊃ P17}

18. a, b, c ∈ 1 . b ∈ ac . c ∈ ab : = ∧.

{Hp . (b) [d] P1 : ⊃ : b ∈ ab . §5 P10 : ⊃ ∧}

19. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ∩ a′b = ∧.{P19 = P18}
20. b, c ∈ 1 . ⊃ . c′b ∩ b′c = ∧.{P20 = P18}
21. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′b ∩ b′a = ∧.{P21 = P20}
22. a, b, d ∈ 1 . a′b ∩ ad − = ∧ : ⊃ . b ∈ ad.{P22 = P1}
23. a, b, d ∈ 1 . b ∈ aad : ⊃ . b ∈ ad.{P23 = P22}
24. a, b ∈ 1 . ⊃ . aab ⊃ ab.{P24 = P23}
25. a, b, d ∈ 1 . d ∈ a′a′b : ⊃ . d ∈ a′b.{P25 = P22}
26. a, b ∈ 1 . ⊃ . a′a′b ⊃ a′b.{P26 = P25}
27. a, b ∈ 1 . a − = b : ⊃ . b ∈ (ab)″.

{Hp . §4 P9 . §5 P10 : ⊃ ∴ c ∈ ab . d ∈ cb : − =_{c, d} ∧ ∴ ⊃ ∴ c, d ∈ ab . b ∈ c′d : − =_{c, d} ∧ ∴ ⊃ Ts}

28. a, b ∈ 1 . ⊃ . ab ⊃ (ab)″.{Hp . x ∈ ab : ⊃ : x − = a . x ∈ (ax)″ . ax ⊃ ab . (ax)″ ⊃ (ab)″ : ⊃ . x ∈ (ab)″}

§ 7. Assioma IX.

1. a, d ∈ 1 . b, c ∈ ad : ⊃ : b = c . ∪ . b ∈ ac . ∪ . b ∈ cd.

Teoremi.

2. a, d ∈ 1 . c ∈ ad : ⊃ . ad ⊃ ac ∪ c ∪ cd.{P2 = P1}
3. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . ab ⊃ ac ∪ c ∪ cb.{P3 = P2}
4. a, b ∈ 1 . c ∈ ab : ⊃ . ab = ac ∪ c ∪ cb.{P4 = : P3 . §6 P5}