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Finalmente per accertarsi in quali circostanze il grado di approssimazione è maggiore, allorchè alla frazione proposta si sostituisce il numero decimale approssimato per eccesso, in luogo di quello approssimato per difetto, si osservi, che la unità aggiunta alla ultima cifra di questo, potendosi riguardare come la somma dell’eccesso dell’uno sopra la frazione proposta e dell’eccesso di questa sull’altro, nella ipotesi che il primo di questi eccessi sia minore del secondo, bisognerà che cotesta unità abbia un valore più piccolo del doppio di questo secondo eccesso, e però un tal secondo eccesso, moltiplicato per 10, acquisterà un valore superiore a quello di 5 unità simili alla precedente.
Ora l’eccesso di una frazione proposta sopra un numero decimale, approssimato per difetto, è visibilmente il resto della parzial divisione, che si fà per ottener l’ultima cifra di un tal decimale, resto però da dividersi poi pel denominatore della frazione stessa. D’onde si vede, che nella operazione scrivendo di seguito a cotesto resto uno zero (con che si fà una moltiplicazione per 10), se la cifra ulteriore resultante al quoziente è 5, o supera 5, quando si aumenti di una unità la cifra precedente, siamo sicuri, che il nuovo numero decimale esprimerà per eccesso più da vicino di quello per difetto il valore della proposta frazione.
