Di un sistema di formole per lo studio delle linee e delle superficie ortogonali

by Eugenio Beltrami

Eugenio Beltrami

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Di un sistema di formole per lo studio delle linee e delle superficie ortogonali

Eugenio Beltrami

1872

DI UN SISTEMA DI FORMOLE

PER LO STUDIO

DELLE LINEE E DELLE SUPERFICIE ORTOGONALI.

NOTA

del prof. EUGENIO BELTRAMI

SOCIO CORRISPONDENTE DEL REALE ISTITUTO LOMBARDO,

letta nell'adunanza del 16 maggio 1872.

Rappresentiamo con $a_{1}$, $b_{1}$, $\dots c_{1}$, (nel modo indicato dalla tavoletta che segue) i nove coseni degli angoli che tre rette ortogonali 1, 2, 3, spiccate da uno stesso punto $(x,y,z)$ dello spazio, fanno con tre assi ortogonali:

	$x$	$y$	$z$
1	$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
2	$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{2}$
3	$a_{3}$	$b_{3}$	$c_{3}$

Ammettiamo che le direzioni delle tre rette 1, 2, 3 variino con continuità (mantenendosi sempre ortogonali), mentre la loro comune origine $(x,y,z)$ cambia di posizione nello spazio, qualunque sia il moto di questo punto; ammettiamo cioè che i nove coseni anzidetti siano funzioni continue delle tre variabili indipendenti $x$, $y$, $z$. In tale ipotesi le rette 1 relative ai varj punti dello spazio sono tangenti ad un sistema doppiamente infinito di linee, che diremo $(s_{1})$. Si ottiene una di queste linee immaginando un punto il quale, partendo da una posizione qualunque, si muova sempre nella direzione 1 corrispondente a ciascuna delle posizioni che va successivamente occupando; ed il sistema completo di queste linee è rappresentato dal sistema differenziale

$dx:dy:dz=a_{1},:b_{1}:c_{1}$.

Analogamente si ottengono due altri sistemi ($s_{2}$) ed ($s_{3}$). Quando i punti dello spazio si considerano in relazione al sistema ($s_{i}$), le coordinate $x$, $y$, $z$ di uno qualunque di essi si possono riguardare come funzioni di due parametri indipendenti (le costanti d’integrazione del corrispondente sistema differenziale) atti ad individuare la linea passante per esso nel sistema ($s_{1}$), e dell’arco di questa linea compreso fra un punto individuato e quello che si considera. Indicando per semplicità con $s_{i}$ quest’arco, si può dunque porre, in talsenso,

${\frac {dx}{ds_{1}}}=a_{i}$,

${\frac {dy}{ds_{1}}}=b_{i}$,

${\frac {dz}{ds_{1}}}=c_{i}$.

(1)

Ma in generale i primi membri di queste equazioni designeranno semplici rapporti differenziali fra l’elemento lineare $ds_{i}$ uscente dal punto $(x,y,z)$ e le sue projezioni $dx$, $dy$, $dz$ sui tre assi coordinati.

Ciò premesso, consideriamo le nove espressioni $K$ che si deducono dalla seguente

$K_{ij}=a_{i}{\bigg (}{\frac {dc_{j}}{dy}}-{\frac {db_{j}}{dz}}{\bigg )}+b_{i}{\bigg (}{\frac {da_{j}}{dz}}-{\frac {dc_{j}}{dx}}{\bigg )}+c_{i}{\bigg (}{\frac {db_{j}}{dx}}-{\frac {da_{j}}{dy}}{\bigg )}$

col dare tanto ad $i$ quanto a $j$ i tre valori 1, 2, 3¹.

Dalla forma di queste espressioni si deducono immediatamente, in virtù delle notissime relazioni sussistenti fra i nove coseni, le tre equazioni seguenti:

$\left.{\begin{matrix}{\frac {da_{1}}{dx}}+{\frac {db_{1}}{dy}}+{\frac {dc_{1}}{dz}}=K_{32}-K_{23},\\{\frac {da_{2}}{dx}}+{\frac {db_{2}}{dy}}+{\frac {dc_{2}}{dz}}=K_{13}-K_{31},\\{\frac {da_{3}}{dx}}+{\frac {db_{3}}{dy}}+{\frac {dc_{3}}{dz}}=K_{21}-K_{12}.\end{matrix}}\right\}$

(2)

In forza delle medesime relazioni si ha pure:

$c_{1}{\frac {db_{i}}{dx}}-b_{1}{\frac {dc_{i}}{dx}}$
$=a_{2}\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{dx}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{dx}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{dx}}\right)-a_{3}\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{dx}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{dx}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{dx}}\right)$,
$a_{1}{\frac {dc_{i}}{dy}}-c_{1}{\frac {da_{i}}{dy}}$
$=b_{2}\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{dy}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{dy}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{dy}}\right)-b_{3}\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{dy}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{dy}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{dy}}\right)$,
$b_{1}{\frac {da_{i}}{dz}}-a_{1}{\frac {db_{i}}{dz}}$
$=c_{2}\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{dz}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{dz}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{dz}}\right)-c_{3}\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{dz}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{dz}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{dz}}\right)$,

come si verifica a colpo d’occhio. Sommando queste tre identità, ed osservando che in base alle (1) si può scrivere, per es.,

${\frac {da_{i}}{dx}}a_{j}+{\frac {da_{i}}{dy}}b_{j}+{\frac {da_{i}}{dx}}c_{j}={\frac {da_{i}}{ds_{j}}}$,

si ottiene

$K_{1i}=\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{ds_{2}}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{ds_{2}}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{ds_{2}}}\right)-\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{ds_{3}}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{ds_{3}}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{ds_{3}}}\right)$.

Ponendo dunque

$a_{3}{\frac {da_{2}}{ds_{i}}}+b_{3}{\frac {db_{2}}{ds_{i}}}+c_{3}{\frac {dc_{2}}{ds_{i}}}=w_{1i}$,
$a_{1}{\frac {da_{3}}{ds_{i}}}+b_{1}{\frac {db_{3}}{ds_{i}}}+c_{1}{\frac {dc_{3}}{ds_{i}}}=w_{2i}$,	$(i=1,2,3)$
$a_{2}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{2}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{2}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=w_{3i}$,

si hanno le seguenti espressioni per le nove funzioni $K$:

$\left.{\begin{matrix}-K_{11}=w_{22}+w_{33},&K_{12}=w_{12},&K_{13}=w_{13},\\K_{21}=w_{21},&-K_{33}=w_{22}+w_{11},&K_{23}=w_{23},\\K_{31}=w_{31},&K_{32}=w_{32},&-K_{33}=w_{11}+w_{22}.\end{matrix}}\right\}$

(3)

È noto che, supponendo che l’origine $(x,y,z)$ della terna $(1\;2\;3)$ percorra l’elemento $ds_{i}$ con velocità $v_{i}={\frac {ds_{i}}{dt}}$, le tre espressioni

$v_{i}w_{1i}$,

$v_{i}w_{2i}$,

$v_{i}w_{3i}$.

rappresentano le componenti, secondo le tre rette 1, 2, 3, di quella rotazione istantanea che, associata alla traslazione $v_{i}$, è atta a produrre nel tempuscolo $dt$ lo spostamento della terna (123) dovuto al passaggio del punto $(x,y,z)$ dal primo al secondo termine dell’elemento $ds_{i}$.

Dalle tre equazioni

$a_{1}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{1}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{1}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=0$,

$a_{2}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{2}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{2}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=w_{3i}$,

$a_{3}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{3}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{3}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=-w_{2i}$,

si ricava

$\left.{\begin{matrix}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}=a_{2}w_{3i}-a_{3}w_{2i},\\{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}=b_{2}w_{3i}-b_{3}w_{2i},\\{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=c_{2}w_{3i}-c_{3}w_{2i}.\end{matrix}}\right\}$

(4)

Insieme con questa terna di formole ne sussistono altre due, che si ricavano dalla precedente permutando circolarmente gli indici 1, 2, 3.

I primi membri di queste ultime equazioni, al pari di quelli delle (1), non sono in generale vere derivate rispetto ad $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$, (perchè in generale non si ha, per una stessa linea del sistema ($s_{1}$), $s_{2}=cost.$, $s_{3}=cost.$). Ma se si considera una linea individuata di uno dei tre sistemi, per esempio di ($s_{1}$), tanto le (1) quanto le (4) danno, per $i=1$, le espressioni delle vere derivate delle coordinate $x,y,z$ di questa linea rispetto al suo arco. Si ha dunque

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{ds_{1}}}=a_{1},\\{\frac {dy}{ds_{1}}}=b_{1},\\{\frac {dz}{ds_{1}}}=c_{1},\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}=a_{2}w_{31}-a_{3}w_{21},\\{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}=b_{2}w_{31}-b_{3}w_{21},\\{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}=c_{2}w_{31}-c_{3}w_{21},\end{matrix}}\right.$

e quindi

$\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}={\frac {dy}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}-{\frac {dz}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}=a_{2}w_{21}+a_{3}w_{31},\\\delta _{1}={\frac {dz}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}-{\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}=b_{2}w_{21}+b_{3}w_{31},\\\Upsilon _{1}={\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}-{\frac {dy}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}=c_{2}w_{21}+c_{3}w_{31}.\end{matrix}}\right.$

Queste formole definiscono la direzione: della tangente, della normale principale e della normale al piano osculatore della linea $s_{1}$ nel punto $(x,y,z)$. Chiamando $\rho _{1}$ il raggio di curvatura , si ha dalle stesse formole

${\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}={\bigg (}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}^{2}=\omega _{21}^{2}+\omega _{31}^{2}$,

e chiamando $\theta _{1}$, l’angolo che la normale principale fa colla retta 2 (angolo misurato da 2 verso 3), se ne trae pure

$\cos \theta _{1}=+\rho _{1}\omega _{31}$,

$\operatorname {sen} \theta _{1}=-\rho _{1}\omega _{21}$.

Di qui risulta che, decomponendo la curvatura ${\frac {1}{\rho _{1}}}$ nelle due

${\frac {1}{\rho _{12}}}={\frac {\cos \theta _{1}}{\rho _{1}}}$,

${\frac {1}{\rho _{13}}}={\frac {\operatorname {sen} \theta _{1}}{\rho _{1}}}$.

secondo le rette 2 e 3, si ha

$\omega _{31}={\frac {1}{\rho _{12}}}$,

$\omega _{21}={\frac {1}{\rho _{13}}}$.

Colla permutazione circolare degli indici si ottiene in tal modo il seguente gruppo d’equazioni:

$\left.{\begin{matrix}\omega _{23}={\frac {1}{\rho _{31}}},&\omega _{31}={\frac {1}{\rho _{12}}},&\omega _{12}={\frac {1}{\rho _{23}}},\\\omega _{32}={\frac {1}{\rho _{21}}},&\omega _{13}={\frac {1}{\rho _{32}}},&\omega _{21}={\frac {1}{\rho _{13}}},\end{matrix}}\right\}$

(5)

nelle quali ${\frac {1}{\rho _{ij}}}$ rappresenta la componente secondo $j$ della curvatura dell’arco $s_{i}$. In virtù delle (3) queste equazioni danno il significato geometrico delle sei funzioni $K_{ij}$ (per $i$ diverso da $j$).

Dalle precedenti espressioni delle derivate seconde di $x$, $y$, $z$ si deducono, coll’ajuto delle (4) , le seguenti espressioni delle derivate terze:

${\frac {d^{3}x}{ds_{1}^{3}}}=\alpha _{1}\omega _{11}+a_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-a_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {a_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$,

${\frac {d^{3}y}{ds_{1}^{3}}}=\beta _{1}\omega _{11}+b_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-b_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {b_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$,

${\frac {d^{3}z}{ds_{1}^{3}}}=\gamma _{1}\omega _{11}+c_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-c_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {c_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$.

Moltiplicando ordinatamente queste equazioni per $\alpha _{1}$, $\delta _{1}$, $\gamma _{1}$, sommando si ottiene

$D_{1}={\frac {\omega _{11}}{\rho _{1}^{2}}}+\omega _{21}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-\omega _{31}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}$,

dove $D_{1}$ rappresenta il determinante

$\sum \left(\pm {\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}{\frac {d^{3}z}{ds_{1}^{3}}}\right)$.

Ora è noto che, designando con ${\frac {1}{r_{1}}}$ la torsione dell’arco $s_{1}$, si ha

${\frac {1}{r_{1}}}=D_{1}\rho _{1}$;

dunque

${\frac {1}{r_{1}}}=\omega _{11}+{\frac {\omega _{2}1{\frac {d\omega {31}}{ds_{1}}}-\omega _{31}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}}{\omega _{21}^{2}+\omega _{31}^{2}}}$

(6)

formola che, in virtù di relazioni dianzi notate, si può scrivere cosi

${\frac {1}{r_{1}}}=\omega +{\frac {d\theta _{1}}{^{11}ds_{1}}}$,

prestandosi in tal modo all’immediata verificazione geometrica.

Le nove funzioni K sono legate fra loro da relazioni differenziali che importa stabilire , poichè da esse dipendono le leggi con cui variano da punto a punto le curvature delle linee $(s_{i})$. Per giungere prontamente a queste relazioni conviene adottare alcune regole opportune riguardo alla designazione delle lettere e degli indici che servono a distinguere i nove coseni. Conveniamo dunque di denotare colla lettera e una qualunque delle tre lettere a, b, c e colle tre lettere (i j k) gli indici 1, 2, 3 presi nell’ordine naturale (123), o negli ordini (231), (312) che si deducono da quello colla permutazione circolare. Mercè queste convenzioni le equazioni (4) ed analoghe possono essere compendiate nell’unica seguente:

${\frac {de_{i}}{ds_{m}}}=e_{j}\omega _{km}-e_{k}\omega _{jm}$.

(7)

Osserviamo ora che, qualunque sia la funzione cui si riferiscono le derivazioni, si ha

${\frac {d}{ds_{i}}}=a{\frac {d}{dx}}+b_{i}{\frac {d}{dy}}+c_{i}{\frac {d}{dz}}$,
${\frac {d}{ds_{j}}}=a_{j}{\frac {d}{dx}}+b_{j}{\frac {d}{dy}}+c_{j}{\frac {d}{dz}}$,

e per conseguenza

${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}}{ds_{j}ds_{i}}}=\left({\frac {da_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {da_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dx}}+\left({\frac {db_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {db_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dy}}+\left({\frac {dc_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {dc_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dz}}$.

dove ${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}$ indica il risultato di una operazione ${\frac {d}{ds}}$ fatta prima rispetto ad $s_{i}$ e poi rispetto ad $s_{j}$. Ma dalla (7) si ha

${\frac {de_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {de_{j}}{ds_{i}}}=e_{j}\omega _{kj}-e_{k}\omega _{jj}-e_{k}\omega _{ii}+e_{i}\omega _{ki}$

$=e_{i}K_{ki}+e_{j}K{ij}+e_{k}K_{kk}$;

quindi, sostituendo nella precedente equazione, si ottiene

${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}}{ds_{j}ds_{i}}}=K_{ki}{\frac {d^{2}}{ds_{i}}}+K_{kj}{\frac {d^{2}}{ds_{j}}}+K_{kk}{\frac {d^{2}}{ds_{k}}}$.

(8)

Questa formola fondamentale ( nella quale i, j, k sono, secondo la convenzione, tre indici differenti disposti in ordine circolarmente progressivo) mostra col fatto non essere vere derivate quelle relative alle s, e diventar tali solamente nel caso particolarissimo che tutte le K siano nulle, cioè che la terna (123) sia dovunque parallela a se stessa.

Or ecco come dalla formola precedente si possono dedurre tutte le relazioni esistenti fra le nove funzioni K.

Rappresentando con $(lmn)$ una seconda terna d’indici distinti e progressivi, come è già la $(ijk)$, si ha dalla (7)

${\frac {de_{i}}{ds_{i}}}=e_{m}\omega _{mi}-e_{n}\omega _{mi}$,

${\frac {de}{ds_{j}}}=e_{m}\omega _{mj}-e_{n}\omega _{mj}$,

${\frac {de_{k}}{ds_{k}}}=e_{m}\omega _{mk}-e_{n}\omega _{mk}$,

Derivando la prima di queste equazioni rispetto ad $s_{j}$, la seconda rispetto ad $s_{i}$, e sostituendo nei secondi membri al posto delle derivate di $e_{m}$, e di $s$ i valori dati per esse dalle equazioni del tipo (7), si trova

${\frac {d^{2}e_{i}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}e_{i}}{ds_{j}ds_{i}}}=e_{m}\left({\frac {d\omega _{ni}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{nj}}{ds_{i}}}\right)-e_{n}\left({\frac {d\omega _{mi}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{mj}}{ds_{i}}}\right)$

$+e_{n}(\omega _{mi}\omega _{ij}-\omega {ji}\omega {nj})-e_{m}(\omega _{ji}\omega _{mj}-\omega _{mi}\omega _{ij}$.

L’equazione (8) somministra in tal guisa il risultato seguente: (dw.i 1 ds;

dony

(( dwmi

dwmi

ds

ds

em

- Wir

mi — KHW K KxxWok — (ause woms – omcws) –(Kww.e+ K; «» ++Kuva)

dss

mi

(6 Wij – Wi ( mj) — (KkiWmi+ Kn; Wmi + Kxz Wmk

Questa relazione deve avverarsi per e = a, b, c, epperò devono an nullarsi separatamente le due espressioni fra parentesi. Ma per l’ar bitrio inerente alla scelta del gruppo ( lmn ), le due equazioni cosi

ottenute non ne fanno che una sola. Si ha dunque, come tipo unico delle relazioni esistenti fra le quantità K ( od w ), la formola seguente: dou

dwij

ds;

ds

= Wmi Wng — Way W mi+ Wet W st- Wk; Wij + Kxk Wixo

cedente fornisce dunque nove relazioni distinte, che giova scindere in tre gruppi, corrispondenti alle tre ipotesi l = i, l =j, l = k. So stituendo anche al posto delle w aventi indici differenti le curvature 1 componenti ., quali risultano dal quadro (5), si ottiene in tal modo: P

per l = i 1 d

fix

pij

dwa +

Pkj

dsi

Kako

dwij

pki

ds.

i

(

Pjte

, ) ( 9

Kj — Kil Kit + ,X - ) 1

+

dsi

per l =j d

1

Pik

( )

hjj - hit

+

dig

Pu

pil

Pjk

(9 ),

e finalmente per l = k 1

1 d

d

+

pis ds

+

f

1

ds;

pis

1 9

1

+ Wu Wjg to 0848 Kxx .

+

Pro

1

1

1

(9)

I due indici i ed i sono indipendenti fra loro e possono quindi rice vere, ciascuno separatamente, tutti tre i valori 1, 2, 3; gli altri quattro indici restano determinati in conseguenza. La formola pre

Pjte

1

(9),

Pix Pjk

Oltre a queste nove relazioni se ne potrebbero trovare moltissime altre, con altri processi di eliminazione delle a, b, c, ma tutte rientrerebbero nelle precedenti. Fra quelle cui si perviene in modo

più semplice citeremo le tre seguenti. Scrivendo le tre espressioni

i

1

1 di K. , K. , Kz è facile ricavarne le seguenti equazioni : 31

dbi

dci

-

dy

-

dar

d%

a , Kr +

dci

6 , Kli + b , K ,i +

da

dz

, K 21,1 +0, K3i ,

aberleri

Ki ,

dai

db do

= c, K , + c, Kg + C, K ,

dy

le quali, derivate ordinatamente rispetto ad x , y , ze sommate , >

danno , con riguardo alle (2) ,

+

d Rei ds ,

d Kai

dkg , +

ds,

ds , S

= K. ( K 23,: – K32) + Kg21 ( K 31,, – K.) + Ksi ( K , - K 91,, ). Facendo i = 1,2, 3 si hanno così tre relazioni. Ma queste non sono effettivamente che combinazioni delle già trovate. Per esempio, l'e quazione che risulta dal fare i = 1 si ottiene ancora prendendo la differenza delle due equazioni (9) corrispondenti alle ipotesi ( i 1, -

1 = 2 ) , ( i = 3,1== 3 ).

Le precedenti considerazioni comprendono , come caso particolare, la teoria dei sistemi tripli di superficie ortogonali. Infatti se si sup pone che le rette 1 , 2 , 3 siano le normali nel punto ( oyz ) alle tre superficie S , S ,, S, di un tal sistema, bisogna porre >

3

K

= 0,

K

22

K ,, == 0 ; -

= 0,

( 10 )

e, reciprocamente , se queste equazioni sono identicamente soddisfatte, >

le tre equazioni differenziali ar doc + ba dy + Cidx = 0

( i = 1,2,3)

sono integrabili, epperd esiste un sistema triplo di superficie orto gonali le cui normali nel punto ( x , y , z ) sono le rette 1 , 2 , 3. Ora le condizioni (10) traggono necessariamente con sè queste altre O

Wu = 0 ,

022

=0,

Was

6

= 0,

( 10) '

le quali esprimono che mentre il punto ( , y , z ) si sposta lungo l'intersezione di due delle superficie , ossia secondo la direzione della

normale alla terza , l'asse della rotazione istantanea della terna for mata dalle tre normali riesce perpendicolare alla direzione della tras lazione della sua origine. Dunque il moto elementare della terna è una rotazione semplice, il cui asse giace nel piano delle normali alle

due superficie, epperò esiste sopra ciascuna di queste normali un punto che non cambia di posizione nel moto elementare della terna stessa. Cið val quanto dire che ciascuna delle due normali è incon trata dalla normale infinitamente vicina, ossia che la linea d’inter

sezione e linea di curvatura per ambedue le superficie. Si ha così quella che potrebbe dirsi la dimostrazione cinematica del celebre teorema di Dupin .

Del resto si perviene analiticamente allo stesso teorema osservando che le due equazioni wns -0, W22 Q.si possono scrivere così

da toodb ds,a

dc = 0, da, db + b, do dsg + C 12 ds, + ₂ ds,

, A, as,

,

dci = . + Ca d sa

Da queste e dalla da, aid si

t db bbirasi tc . dacsi

= 0

si deducono le seguenti proporzioni

ago

db, ds2,

dc, ds,

be

C2

Hotels

da, ds

da,

db,

dė,

as,

d S3

ds,3

03

bg

с.

che sono appunto caratteristiche per le linee di curvatura della su

perficie S,. Indicando poi con pano Pai i raggi principali della stessa superficie, relativi alle direzioni principali 2 e 3, i valori dei pre 1

cedenti rapporti eguali sono rispettivamente

1

d’accordo colle (5 ) .

, W23 P21

Psi

1

1

facile concludere chew,32

donde è

e

Pei Pou

1

Effettivamente, nel caso di cui ci occupiamo, la quantità

-, compo Pis

nente secondo la retta į della curvatura assoluta dell’arco si, coin cide colla curvatura principale della superficie S, relativa alla dire zione i. Avendo riguardo a questi valori delle curvature principali,

le (2) diventano le note espressioni delle loro somme. Giova osservare che, per le segnature qui adottate, le curvature che LAMÉ chiama conjugate in arco hanno eguale il primo indice,

e quelle ch’egli chiama conjugate in superficie hanno eguale il se condo.

Le torsioni delle linee d’intersezione sono date, in virtù della (7), dalla formola a pit

d pij 1

pii dsi

Piz dsi

ri

Post + Piko

In forza delle (10), (10)’ le equazioni (9),, (9),, (9), diventano ri spettivamente

al

1

d Pin dsi

1/1

1

po

Pio Pin

- ).

ds;

al

=)

d

Pij

1

Pji

+

+

ds;

Pij ’ Pik

1 d si

Po

+

9

2

P²

Piepju

e coincidono colle nove relazioni differenziali scoperte da LAMÉ fra le curvature di un sistema triplo di superficie ortogonali, relazioni che vanno annoverate fra i più importanti trovati di quell’insigne

geometra ( Cfr. il & XLVI delle Leçons sur les coord. curvil .). La sem plicità colla quale queste relazioni vengono qui dimostrate potrà forse conciliare qualche attenzione sul processo analitico esposto supe riormente.

1. Queste espressioni, per il caso speciale di $i=j$, si sono già presentate al signor Bertrand (Journal de Liouville, t. IX), ma senza porgergli occasione di separata investigazione. Si può vedere presso questo autore qual sia il significato geometrico delle tre espressioni suddette ($K_{11}$, $K_{22}$, $K_{33}$), significato che qui non avremo bisogno d’invocare, sebbene chiaramente emerga dalle successive formole (3).