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DI UN SISTEMA DI FORMOLE

PER LO STUDIO

DELLE LINEE E DELLE SUPERFICIE ORTOGONALI.

NOTA

del prof. EUGENIO BELTRAMI

SOCIO CORRISPONDENTE DEL REALE ISTITUTO LOMBARDO,

letta nell'adunanza del 16 maggio 1872.

Rappresentiamo con $a_{1}$, $b_{1}$, $\dots c_{1}$, (nel modo indicato dalla tavoletta che segue) i nove coseni degli angoli che tre rette ortogonali 1, 2, 3, spiccate da uno stesso punto $(x,y,z)$ dello spazio, fanno con tre assi ortogonali:

	$x$	$y$	$z$
1	$a_{1}$	$b_{1}$	$c_{1}$
2	$a_{2}$	$b_{2}$	$c_{2}$
3	$a_{3}$	$b_{3}$	$c_{3}$

Ammettiamo che le direzioni delle tre rette 1, 2, 3 variino con continuità (mantenendosi sempre ortogonali), mentre la loro comune origine $(x,y,z)$ cambia di posizione nello spazio, qualunque sia il moto di questo punto; ammettiamo cioè che i nove coseni anzidetti siano funzioni continue delle tre variabili indipendenti $x$, $y$, $z$. In tale ipotesi le rette 1 relative ai varj punti dello spazio sono tangenti ad un sistema doppiamente infinito di linee, che diremo $(s_{1})$. Si ottiene una di queste linee immaginando un punto il quale, partendo da una posizione qualunque, si muova sempre nella direzione 1 corrispondente a ciascuna delle posizioni che va successivamente occu-