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Moltiplicando ordinatamente queste equazioni per $\alpha _{1}$, $\delta _{1}$, $\gamma _{1}$, sommando si ottiene

$D_{1}={\frac {\omega _{11}}{\rho _{1}^{2}}}+\omega _{21}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-\omega _{31}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}$,

dove $D_{1}$ rappresenta il determinante

$\sum \left(\pm {\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}{\frac {d^{3}z}{ds_{1}^{3}}}\right)$.

Ora è noto che, designando con ${\frac {1}{r_{1}}}$ la torsione dell’arco $s_{1}$, si ha

${\frac {1}{r_{1}}}=D_{1}\rho _{1}$;

dunque

${\frac {1}{r_{1}}}=\omega _{11}+{\frac {\omega _{2}1{\frac {d\omega {31}}{ds_{1}}}-\omega _{31}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}}{\omega _{21}^{2}+\omega _{31}^{2}}}$

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formola che, in virtù di relazioni dianzi notate, si può scrivere cosi

${\frac {1}{r_{1}}}=\omega +{\frac {d\theta _{1}}{^{11}ds_{1}}}$,

prestandosi in tal modo all’immediata verificazione geometrica.

Le nove funzioni K sono legate fra loro da relazioni differenziali che importa stabilire , poichè da esse dipendono le leggi con cui variano da punto a punto le curvature delle linee $(s_{i})$. Per giungere prontamente a queste relazioni conviene adottare alcune regole opportune riguardo alla designazione delle lettere e degli indici che servono a distinguere i nove coseni. Conveniamo dunque di denotare colla lettera e una qualunque delle tre lettere a, b, c e colle tre lettere (i j k) gli indici 1, 2, 3 presi nell’ordine naturale (123), o negli ordini (231), (312) che si deducono da quello colla permutazione circolare. Mercè queste convenzioni le equazioni (4) ed analoghe possono essere compendiate nell’unica seguente:

${\frac {de_{i}}{ds_{m}}}=e_{j}\omega _{km}-e_{k}\omega _{jm}$.

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Osserviamo ora che, qualunque sia la funzione cui si riferiscono le derivazioni, si ha

${\frac {d}{ds_{i}}}=a{\frac {d}{dx}}+b_{i}{\frac {d}{dy}}+c_{i}{\frac {d}{dz}}$,
${\frac {d}{ds_{j}}}=a_{j}{\frac {d}{dx}}+b_{j}{\frac {d}{dy}}+c_{j}{\frac {d}{dz}}$,