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In forza delle medesime relazioni si ha pure:

$c_{1}{\frac {db_{i}}{dx}}-b_{1}{\frac {dc_{i}}{dx}}$
$=a_{2}\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{dx}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{dx}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{dx}}\right)-a_{3}\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{dx}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{dx}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{dx}}\right)$,
$a_{1}{\frac {dc_{i}}{dy}}-c_{1}{\frac {da_{i}}{dy}}$
$=b_{2}\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{dy}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{dy}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{dy}}\right)-b_{3}\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{dy}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{dy}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{dy}}\right)$,
$b_{1}{\frac {da_{i}}{dz}}-a_{1}{\frac {db_{i}}{dz}}$
$=c_{2}\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{dz}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{dz}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{dz}}\right)-c_{3}\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{dz}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{dz}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{dz}}\right)$,

come si verifica a colpo d’occhio. Sommando queste tre identità, ed osservando che in base alle (1) si può scrivere, per es.,

${\frac {da_{i}}{dx}}a_{j}+{\frac {da_{i}}{dy}}b_{j}+{\frac {da_{i}}{dx}}c_{j}={\frac {da_{i}}{ds_{j}}}$,

si ottiene

$K_{1i}=\left(a_{3}{\frac {da_{i}}{ds_{2}}}+b_{3}{\frac {db_{i}}{ds_{2}}}+c_{3}{\frac {dc_{i}}{ds_{2}}}\right)-\left(a_{2}{\frac {da_{i}}{ds_{3}}}+b_{2}{\frac {db_{i}}{ds_{3}}}+c_{2}{\frac {dc_{i}}{ds_{3}}}\right)$.

Ponendo dunque

$a_{3}{\frac {da_{2}}{ds_{i}}}+b_{3}{\frac {db_{2}}{ds_{i}}}+c_{3}{\frac {dc_{2}}{ds_{i}}}=w_{1i}$,
$a_{1}{\frac {da_{3}}{ds_{i}}}+b_{1}{\frac {db_{3}}{ds_{i}}}+c_{1}{\frac {dc_{3}}{ds_{i}}}=w_{2i}$,	$(i=1,2,3)$
$a_{2}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{2}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{2}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=w_{3i}$,

si hanno le seguenti espressioni per le nove funzioni $K$:

$\left.{\begin{matrix}-K_{11}=w_{22}+w_{33},&K_{12}=w_{12},&K_{13}=w_{13},\\K_{21}=w_{21},&-K_{33}=w_{22}+w_{11},&K_{23}=w_{23},\\K_{31}=w_{31},&K_{32}=w_{32},&-K_{33}=w_{11}+w_{22}.\end{matrix}}\right\}$

(3)

È noto che, supponendo che l’origine $(x,y,z)$ della terna $(1\;2\;3)$ percorra l’elemento $ds_{i}$ con velocità $v_{i}={\frac {ds_{i}}{dt}}$, le tre espressioni

$v_{i}w_{1i}$,

$v_{i}w_{2i}$,

$v_{i}w_{3i}$.