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e per conseguenza

${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}}{ds_{j}ds_{i}}}=\left({\frac {da_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {da_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dx}}+\left({\frac {db_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {db_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dy}}+\left({\frac {dc_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {dc_{j}}{ds_{i}}}\right){\frac {d}{dz}}$.

dove ${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}$ indica il risultato di una operazione ${\frac {d}{ds}}$ fatta prima rispetto ad $s_{i}$ e poi rispetto ad $s_{j}$. Ma dalla (7) si ha

${\frac {de_{i}}{ds_{j}}}-{\frac {de_{j}}{ds_{i}}}=e_{j}\omega _{kj}-e_{k}\omega _{jj}-e_{k}\omega _{ii}+e_{i}\omega _{ki}$

$=e_{i}K_{ki}+e_{j}K{ij}+e_{k}K_{kk}$;

quindi, sostituendo nella precedente equazione, si ottiene

${\frac {d^{2}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}}{ds_{j}ds_{i}}}=K_{ki}{\frac {d^{2}}{ds_{i}}}+K_{kj}{\frac {d^{2}}{ds_{j}}}+K_{kk}{\frac {d^{2}}{ds_{k}}}$.

(8)

Questa formola fondamentale ( nella quale i, j, k sono, secondo la convenzione, tre indici differenti disposti in ordine circolarmente progressivo) mostra col fatto non essere vere derivate quelle relative alle s, e diventar tali solamente nel caso particolarissimo che tutte le K siano nulle, cioè che la terna (123) sia dovunque parallela a se stessa.

Or ecco come dalla formola precedente si possono dedurre tutte le relazioni esistenti fra le nove funzioni K.

Rappresentando con $(lmn)$ una seconda terna d’indici distinti e progressivi, come è già la $(ijk)$, si ha dalla (7)

${\frac {de_{i}}{ds_{i}}}=e_{m}\omega _{mi}-e_{n}\omega _{mi}$,

${\frac {de}{ds_{j}}}=e_{m}\omega _{mj}-e_{n}\omega _{mj}$,

${\frac {de_{k}}{ds_{k}}}=e_{m}\omega _{mk}-e_{n}\omega _{mk}$,

Derivando la prima di queste equazioni rispetto ad $s_{j}$, la seconda rispetto ad $s_{i}$, e sostituendo nei secondi membri al posto delle derivate di $e_{m}$, e di $s$ i valori dati per esse dalle equazioni del tipo (7), si trova

${\frac {d^{2}e_{i}}{ds_{i}ds_{j}}}-{\frac {d^{2}e_{i}}{ds_{j}ds_{i}}}=e_{m}\left({\frac {d\omega _{ni}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{nj}}{ds_{i}}}\right)-e_{n}\left({\frac {d\omega _{mi}}{ds_{j}}}-{\frac {d\omega _{mj}}{ds_{i}}}\right)$

$+e_{n}(\omega _{mi}\omega _{ij}-\omega {ji}\omega {nj})-e_{m}(\omega _{ji}\omega _{mj}-\omega _{mi}\omega _{ij}$.