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rappresentano le componenti, secondo le tre rette 1, 2, 3, di quella rotazione istantanea che, associata alla traslazione $v_{i}$, è atta a produrre nel tempuscolo $dt$ lo spostamento della terna (123) dovuto al passaggio del punto $(x,y,z)$ dal primo al secondo termine dell’elemento $ds_{i}$.

Dalle tre equazioni

$a_{1}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{1}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{1}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=0$,

$a_{2}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{2}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{2}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=w_{3i}$,

$a_{3}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}+b_{3}{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}+c_{3}{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=-w_{2i}$,

si ricava

$\left.{\begin{matrix}{\frac {da_{1}}{ds_{i}}}=a_{2}w_{3i}-a_{3}w_{2i},\\{\frac {db_{1}}{ds_{i}}}=b_{2}w_{3i}-b_{3}w_{2i},\\{\frac {dc_{1}}{ds_{i}}}=c_{2}w_{3i}-c_{3}w_{2i}.\end{matrix}}\right\}$

(4)

Insieme con questa terna di formole ne sussistono altre due, che si ricavano dalla precedente permutando circolarmente gli indici 1, 2, 3.

I primi membri di queste ultime equazioni, al pari di quelli delle (1), non sono in generale vere derivate rispetto ad $s_{1}$, $s_{2}$, $s_{3}$, (perchè in generale non si ha, per una stessa linea del sistema ($s_{1}$), $s_{2}=cost.$, $s_{3}=cost.$). Ma se si considera una linea individuata di uno dei tre sistemi, per esempio di ($s_{1}$), tanto le (1) quanto le (4) danno, per $i=1$, le espressioni delle vere derivate delle coordinate $x,y,z$ di questa linea rispetto al suo arco. Si ha dunque

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {dx}{ds_{1}}}=a_{1},\\{\frac {dy}{ds_{1}}}=b_{1},\\{\frac {dz}{ds_{1}}}=c_{1},\end{matrix}}\right.$

$\left\{{\begin{matrix}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}=a_{2}w_{31}-a_{3}w_{21},\\{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}=b_{2}w_{31}-b_{3}w_{21},\\{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}=c_{2}w_{31}-c_{3}w_{21},\end{matrix}}\right.$

e quindi

$\left\{{\begin{matrix}\alpha _{1}={\frac {dy}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}-{\frac {dz}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}=a_{2}w_{21}+a_{3}w_{31},\\\delta _{1}={\frac {dz}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}-{\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}=b_{2}w_{21}+b_{3}w_{31},\\\Upsilon _{1}={\frac {dx}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}-{\frac {dy}{ds_{1}}}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}=c_{2}w_{21}+c_{3}w_{31}.\end{matrix}}\right.$