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Queste formole definiscono la direzione: della tangente, della normale principale e della normale al piano osculatore della linea $s_{1}$ nel punto $(x,y,z)$. Chiamando $\rho _{1}$ il raggio di curvatura , si ha dalle stesse formole

${\frac {1}{\rho _{1}^{2}}}={\bigg (}{\frac {d^{2}x}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}^{2}+{\bigg (}{\frac {d^{2}y}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {d^{2}z}{ds_{1}^{2}}}{\bigg )}^{2}=\omega _{21}^{2}+\omega _{31}^{2}$,

e chiamando $\theta _{1}$, l’angolo che la normale principale fa colla retta 2 (angolo misurato da 2 verso 3), se ne trae pure

$\cos \theta _{1}=+\rho _{1}\omega _{31}$,

$\operatorname {sen} \theta _{1}=-\rho _{1}\omega _{21}$.

Di qui risulta che, decomponendo la curvatura ${\frac {1}{\rho _{1}}}$ nelle due

${\frac {1}{\rho _{12}}}={\frac {\cos \theta _{1}}{\rho _{1}}}$,

${\frac {1}{\rho _{13}}}={\frac {\operatorname {sen} \theta _{1}}{\rho _{1}}}$.

secondo le rette 2 e 3, si ha

$\omega _{31}={\frac {1}{\rho _{12}}}$,

$\omega _{21}={\frac {1}{\rho _{13}}}$.

Colla permutazione circolare degli indici si ottiene in tal modo il seguente gruppo d’equazioni:

$\left.{\begin{matrix}\omega _{23}={\frac {1}{\rho _{31}}},&\omega _{31}={\frac {1}{\rho _{12}}},&\omega _{12}={\frac {1}{\rho _{23}}},\\\omega _{32}={\frac {1}{\rho _{21}}},&\omega _{13}={\frac {1}{\rho _{32}}},&\omega _{21}={\frac {1}{\rho _{13}}},\end{matrix}}\right\}$

(5)

nelle quali ${\frac {1}{\rho _{ij}}}$ rappresenta la componente secondo $j$ della curvatura dell’arco $s_{i}$. In virtù delle (3) queste equazioni danno il significato geometrico delle sei funzioni $K_{ij}$ (per $i$ diverso da $j$).

Dalle precedenti espressioni delle derivate seconde di $x$, $y$, $z$ si deducono, coll’ajuto delle (4) , le seguenti espressioni delle derivate terze:

${\frac {d^{3}x}{ds_{1}^{3}}}=\alpha _{1}\omega _{11}+a_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-a_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {a_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$,

${\frac {d^{3}y}{ds_{1}^{3}}}=\beta _{1}\omega _{11}+b_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-b_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {b_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$,

${\frac {d^{3}z}{ds_{1}^{3}}}=\gamma _{1}\omega _{11}+c_{2}{\frac {d\omega _{31}}{ds_{1}}}-c_{3}{\frac {d\omega _{21}}{ds_{1}}}-{\frac {c_{1}}{\rho _{1}^{2}}}$.

$1^{a}$