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L’equazione (8) somministra in tal guisa il risultato seguente: (dw.i 1 ds;
dony
(( dwmi
dwmi
ds
ds
em
- Wir
mi — KHW K KxxWok — (ause woms – omcws) –(Kww.e+ K; «» ++Kuva)
dss
mi
(6 Wij – Wi ( mj) — (KkiWmi+ Kn; Wmi + Kxz Wmk
Questa relazione deve avverarsi per e = a, b, c, epperò devono an nullarsi separatamente le due espressioni fra parentesi. Ma per l’ar bitrio inerente alla scelta del gruppo ( lmn ), le due equazioni cosi
ottenute non ne fanno che una sola. Si ha dunque, come tipo unico delle relazioni esistenti fra le quantità K ( od w ), la formola seguente: dou
dwij
ds;
ds
= Wmi Wng — Way W mi+ Wet W st- Wk; Wij + Kxk Wixo
cedente fornisce dunque nove relazioni distinte, che giova scindere in tre gruppi, corrispondenti alle tre ipotesi l = i, l =j, l = k. So stituendo anche al posto delle w aventi indici differenti le curvature 1 componenti ., quali risultano dal quadro (5), si ottiene in tal modo: P
per l = i 1 d
fix
pij
dwa +
Pkj
dsi
Kako
dwij
pki
ds.
i
(
Pjte
, ) ( 9
Kj — Kil Kit + ,X - ) 1
+
dsi
per l =j d
1
Pik
( )
hjj - hit
+
dig
Pu
pil
Pjk
(9 ),
e finalmente per l = k 1
1 d
d
+
pis ds
+
f
1
ds;
pis
1 9
1
+ Wu Wjg to 0848 Kxx .
+
Pro
1
1
1
(9)
I due indici i ed i sono indipendenti fra loro e possono quindi rice vere, ciascuno separatamente, tutti tre i valori 1, 2, 3; gli altri quattro indici restano determinati in conseguenza. La formola pre
Pjte
1
(9),
Pix Pjk
Oltre a queste nove relazioni se ne potrebbero trovare moltissime altre, con altri processi di eliminazione delle a, b, c, ma tutte rientrerebbero nelle precedenti. Fra quelle cui si perviene in modo
più semplice citeremo le tre seguenti. Scrivendo le tre espressioni
i
1
1
