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di K. , K. , Kz è facile ricavarne le seguenti equazioni : 31
dbi
dci
-
dy
-
dar
d%
a , Kr +
dci
6 , Kli + b , K ,i +
da
dz
, K 21,1 +0, K3i ,
aberleri
Ki ,
dai
db do
= c, K , + c, Kg + C, K ,
dy
le quali, derivate ordinatamente rispetto ad x , y , ze sommate , >
danno , con riguardo alle (2) ,
+
d Rei ds ,
d Kai
dkg , +
ds,
ds , S
= K. ( K 23,: – K32) + Kg21 ( K 31,, – K.) + Ksi ( K , - K 91,, ). Facendo i = 1,2, 3 si hanno così tre relazioni. Ma queste non sono effettivamente che combinazioni delle già trovate. Per esempio, l'e quazione che risulta dal fare i = 1 si ottiene ancora prendendo la differenza delle due equazioni (9) corrispondenti alle ipotesi ( i 1, -
1 = 2 ) , ( i = 3,1== 3 ).
Le precedenti considerazioni comprendono , come caso particolare, la teoria dei sistemi tripli di superficie ortogonali. Infatti se si sup pone che le rette 1 , 2 , 3 siano le normali nel punto ( oyz ) alle tre superficie S , S ,, S, di un tal sistema, bisogna porre >
3
K
= 0,
K
22
K ,, == 0 ; -
= 0,
( 10 )
e, reciprocamente , se queste equazioni sono identicamente soddisfatte, >
le tre equazioni differenziali ar doc + ba dy + Cidx = 0
( i = 1,2,3)
sono integrabili, epperd esiste un sistema triplo di superficie orto gonali le cui normali nel punto ( x , y , z ) sono le rette 1 , 2 , 3. Ora le condizioni (10) traggono necessariamente con sè queste altre O
Wu = 0 ,
022
=0,
Was
6
= 0,
( 10) '
le quali esprimono che mentre il punto ( , y , z ) si sposta lungo l'intersezione di due delle superficie , ossia secondo la direzione della
normale alla terza , l'asse della rotazione istantanea della terna for mata dalle tre normali riesce perpendicolare alla direzione della tras
