Rivista di Scienza - Vol. II/Le basi della cristallografia teoretica
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LE BASI DELLA CRISTALLOGRAFIA TEORETICA.
1. I metodi di classificazione.
Molti poliedri cristallini posseggono la proprietà di poter in molti modi diversi esser decomposti in parti uguali; di essi si dice che posseggono un alto grado di simmetria. Per esempio, un ottaedro regolare, come si trova in natura fra altro nel minerale magnetite, si può dividere in 8 parti perfettamente uguali ed equivalenti e cioè in 8 piramidi triangolari, ognuna delle quali ha per vertice il centro dell’ottaedro e per base una delle faccie del medesimo; il grado di simmetria dell’ottaedro ammonta quindi almeno ad 8. Da una di tali piramidi si possono ora immaginare originate le altre, mediante rotazione intorno al centro dell’ottaedro; si può quindi considerare come causa prima della esistenza della suaccennata simmetria, un asse di rotazione, che nel nostro esempio passa pel centro e per uno dei vertici dell’ottaedro. Si può inoltre immaginare che una di queste piramidi dia origine alle altre mediante riflessione in uno specchio; i piani che debbono servire come specchi debbono passare pel centro e per uno degli spigoli dell’ottaedro, cosicchè essi contengono necessariamente altri tre spigoli.
Noi possiamo quindi parlare di una simmetria rispetto ad un piano (precisamente rispetto al piano che funziona da specchio), mentre la simmetria di rotazione può essere designata quale simmetria rispetto ad un asse. Infine si può anche parlare di una simmetria rispetto ad un punto (centro).
Per spiegarci bene quest’ultimo genere di simmetria, immaginiamo che una matita, appuntita alle due estremità, venga ruotata intorno al centro dell’ottaedro: mentre una delle due punte segue i contorni di una faccia, l’altra traccia i contorni della faccia diametralmente opposta. Noi vediamo quindi: mediante un piano di simmetria otteniamo da una faccia fondamentale un’altra faccia che la incontra in uno spigolo; per mezzo di un asse, una che la incontra in un angolo solido; mediante un centro, la faccia diametralmente opposta.
Mentre due corpi che si generano reciprocamente per rotazione possono esser fatti coincidere, due figure che si generino mediante un piano od un centro di simmetria nonostante l’uguaglianza di tutte le loro parti corrispondenti, non possono esser fatte coincidere: si designano perciò queste due ultime specie di simmetria come simmetria inversa, quella rispetto ad un piano come simmetria diretta.
Abbiamo già visto che il grado di simmetria di un ottaedro è almeno 8; vogliamo ora mostrare che ognuna di queste 8 parti può di nuovo esser decomposta in 6 piramidi uguali e che cioè il grado di simmetria dell’ottaedro sale a 48. Dividiamo perciò ognuna delle faccie dell’ottaedro secondo le mediane del triangolo, nel modo indicato dalla fig. 1, e
Fig. 1
costruiamo sopra ognuno di questi 6 triangoli le rispettive piramidi, che hanno il vertice nel centro dell’ottaedro. Una tale piramide è ora completamente asimmetrica: essa può
infatti rioccupare la sua posizione primitiva solo mediante un rivolgimento completo, ma non mediante alcun’altra operazione di simmetria! Colla ora descritta scomposizione in 48 parti noi abbiamo quindi trovato in qual modo si possa costruire un ottaedro regolare partendo da parti asimmetriche.
Fig. 2 ogni faccia del cubo in 8 triangoli; siccome il cubo possiede 6 faccie, così prendono origine 48 piramidi col vertice nel centro del cubo. Una sostanza che cristallizzi in cubi (p. es. il sal comune) può quindi, cambiando le condizioni esterne, assumere anche le forme dell’ottaedro; il segreto delle forze cristallogenetiche del sal comune non deve quindi esser ricercato nè nelle proprietà del cubo, nè in quelle dell’ottaedro solamente, ma bensì in quelle comuni a questi due solidi. La proprietà sostanziale che questi due corpi hanno in comune è ora quella di poter venir decomposti in 48 parti asimmetriche; come relativamente insignificante deve invece esser considerata la circostanza che queste piramidi siano limitate da faccie del cubo o dell’ottaedro.Questa proprietà può esser illustrata in modo assai chiaro rendendo mobili le faccie che limitano esteriormente le piramidi; si ottiene questo utilizzando come tale la superficie libera di una massa di mercurio che si versa in una forma cava, costituita internamente da specchi in modo da riprodurre le altre faccie della piramide. Muovendo questa forma ed alterando mediante inclinazioni opportune la lunghezza degli spigoli coperti dal mercurio, si crede di aver dinanzi a sè, in causa del rispecchiarsi della superficie metallica sulle pareti, ora il cubo, ora l’ottaedro. Si può quindi dire che, come riesce facile alla mano dell’uomo di riprodurre le diverse forme disponendo diversamente il modello, così riesce facile alla natura mediante diverso aggruppamento delle stesse particelle fondamentali, di produrre le forme più diverse intorno ad un centro di cristallizzazione. Nonostante ogni variazione della forma, i piani che separano fra di loro le parti equivalenti rimangono fissi. Nella nostra rappresentazione questi piani fissi intervengono sotto forma di superfici riflettenti: nei cristalli naturali essi non sono bensì piani effettivamente delimitanti, ma sono tuttavia completamente invariabili rispetto alle forze cristallogenetiche.
Nella botanica Linneo considerava come il carattere fondamentale delle diverse piante il numero degli stami e le classificava secondo questo criterio: ugualmente il cristallografo utilizza un unico carattere e cioè il grado di simmetria; egli classifica quindi le forme. cristalline secondo il modo con cui esse si possono decomporre in parti uguali ed asimmetriche. Noi troviamo però qui subito una differenza sostanziale; il numero degli stami può essere assai grande e solo mediante l’artificio di usare la designazione «poli» appena si trovavano presenti più di 10 stami, Linneo poteva giungere ad un numero limitato di classi. Nella cristallografia invece la disciplina matematica conosciuta sotto il nome di teoria degli aggruppamenti permette di trattare tutti i casi in egual modo e di fornire la prova che effettivamente nessun caso di simmetria possibile è stato trascurato.
E qui si giunge al risultato sorprendente che già i geometri ed i filosofi dell’antichità avevano in certo modo intuito i varî casi di simmetria possibili. Poiché è bensì vero che una chiara definizione del concetto di simmetria non era stata ancora data, ma già da molti e vari fantastici tentativi degli antichi astronomi di spiegare la disposizione dei mondi per mezzo della simmetria delle figure regolari, si riconosce come fin d’allora gli scienziati fossero involontariamente influenzati dall’idea di simmetria. Anche nel medioevo, sotto l'influenza degli scritti dell’antichità, si riprodussero tali speculazioni in parte mistiche, che debbono esser attribuite all’azione inconscia del senso della simmetria innato nell’uomo. Uno Scolastico si arrischia perfino ad affermare che Dio deve necessariamente avere la forma di una sfera, poichè la sfera è la figura più perfetta e Dio come l’essere più perfetto deve anche avere la forma più perfetta. Se si fosse chiesto a questo filosofo perchè egli ritenesse la sfera come la figura più perfetta, egli avrebbe risposto, perchè ogni piano condotto attraverso il suo centro la divide in due meta uguali, mentre per tutti gli altri corpi si possono indicare piani diametrali lungo i quali si ha una divisione in due parti disuguali. Tradotto in linguaggio moderno, questo significa che la sfera possiede fra tutti i corpi il maggior grado di simmetria e che si può prendere il grado di simmetria di un corpo come misura del suo grado di perfezione. Così l’affermazione di quello scolastico si ricongiunge all’ordine di idee della cristallografia, la quale ultima però non riguarda come suo campo di ricerca la divisione della simmetria continua (come è posseduta dalla sfera e da tutti i solidi di rotazione) ma bensì lo studio della simmetria discontinua. Il numero dei piani e degli assi di simmetria di un cristallo è infatti sempre limitato, come del resto è necessario nei poliedri; la posizione relativa degli elementi di simmetria è perciò sempre discontinua, mentre nella sfera un asse di simmetria si attacca immediatamente all’altro.
Ciò che è più singolare fra quelle proposizioni degli antichi filosofi che si riferiscono alla simmotrizn, è il principio enunciato da Platone che i cinque corpi regolari debbono esser riguardati come i tipi fondamentali di ogni regolarità che si riscontra in natura. Ciò che è più notevole in questo principio di Platone è appunto la circostanza che esso conserva la sua importanza anche dal punto di vista della scienza moderna. Infatti, se si prescinde dalla simmetria continua, si può anche oggi dire con ragione che i casi di simmetria discontinua (quindi quelli esistenti nei poliedri) si possono dedurre dalle simmetrie esistenti nei cinque corpi regolari. Platone voleva bensì dedurre le proprietà fisiche dai concetti riguardati da lui come le sole realtà, dalle idee, ma come l'esempio più chiaro del modo in cui i corpi più complicati si possono considerare come riproduzioni dei concetti fondamentali ricavati dai corpi più semplici, appariva anche a Platone la teoria dei poliedri. Quanto fortemente agissero anche nel medio evo queste idee di Platone risulta chiaramente da un libro di Jamitzer, anzi dal titolo stesso di questo libro che suona così: «Perspectiva Corporum Regularium, das ist eine fleyssige Fürweysung wie die fünff Regulirten Körper durch einen sonderlichen, neuen, behenden und gerechten Weg, der vor nie in Gebrauch ist gesehen worden, gar Künstlich in die Perspectiva gebracht. Und dazu eine schöne Anleytung, wie aus denselbigen fünff Körpern ohn Endt, gar viel andere Körper, mancherley Art und Gestalt, gemacht und gefunden werden mügen». (Perspectiva Corporum Regularium, cioè un ingegnoso metodo, mediante il quale i cinque corpi regolari possono esser messi in prospettiva per una nuova via singolare, rapida e giusta, fin qui mai vista in uso, ed inoltre una bella istruzione sul come da questi stessi cinque corpi, possono senza fine esser costruiti e trovati molti altri corpi, di svariata sorta e forma).
La teoria cristallografica della simmetria può precisamente esser designata come quella dottrina che si propone come unico scopo di ricondurre: la simmetria delle forme più complicate della natura inanimata ai corpi più semplici della geometria elementare.
I due più complicati fra i cinque corpi regolari riconosciuti da Platone, e cioè l’icosaedro ed il dodecaedro non entrano anzi nemmeno in conto nello studio dei cristalli; sono sufficienti i tre altri e cioè il tetraedro, il cubo e l’ottaedro, ai quali però conviene aggregare i più semplici fra i poligoni regolari, noti del resto molto prima di Platone, e cioè il triangolo, il quadrato, l’esagono regolare ed il rombo. Questo sono le forme semplici da cui noi possiamo partire: ma come deve essere intesa la nostra affermazione che tutti i poliedri cristallini si possono derivare mediante ripetizioni di queste forme semplici?
La risposta è la seguente: Noi dobbiamo dividere ogni faccia del nostro corpo in parti simili ed asimmetriche, come è stato fatto nella fig. 1 per il triangolo equilatero quale faccia dell’ottaedro; passiamo poi dal caso in cui queste faccie parziali giacciano in un piano a quello in cui esse formino una piramide. Immaginiamoci anzitutto questa piramide assai piatta, la sua altezza cioè affatto minima, cosicchè p. es. pel triangolo il suo aspetto si scosti assai poco da quello della fig. 1. Noi immaginiamo cioè i poligoni piani come casi speciali di piramidi di ugual simmetria o per ritrovare veramente in queste piramidi la stessa completa simmetria dei poligoni noi dovremo immaginare piegati gli spigoli del triangolo in ugual modo da entrambe le faccie del poligono, talchè si formino delle bipiramidi, poichè un poligono non ha solo un asse di simmetria perpendicolare al piano in cui esso giace, ma ne possiede anche dei giacenti nel suo stesso piano e possono scambiare una faccia colla sua opposta, assi di ribaltamento (Umklappungsaxen). Nelle bipiramidi noi ritroviamo, tanto l’asse principale di simmetria perpendicolare alla base, quanto gli assi di ribaltamento. In realtà si trovano assai spesso bipiramidi come forme di terminazioni dì cristalli; in altri casi però si trova solo sopra una faccia, p. es. di un quadrato, diciamo la superiore, una piramide, cosicchè si ha un poliedro che non possiede più completa la simmetria del quadrato poichè gli mancano quegli elementi di simmetria che permettono di scambiare la parte superiori coll’inferiore. Ad ogni modo non solo la bipiramide che ricopra tanto la faccia superiore che la inferiore del quadrato può esser riguardata come una generalizzazione del quadrato stesso, ma anche le piramidi semplici che ricoprono o la faccia superiore, o la faccia inferiore.
Particolarmente interessante è la seguente generalizzazione del quadrato; tiriamo sulla faccia superiore del quadrato una diagonale xy (fig. 3) e sulla faccia inferiore la diagonale zt perpendicolare a questa. Possiamo ora stirare il quadrato dando origine ad un solido nel modo seguente: trasformiamo i due triangoli della faccia superiore in un cuneo avente lo spigolo posto sopra xy e parallelamente a questo e contemporaneamente trasformiamo anche i due triangoli della faccia inferiore in un cuneo simile, il cui spigolo stia sopra zt e sia parallelo a questo. Tali doppî cunei sono pure stati osservati.jpg)
Fig. 3 in natura; i suoi spigoli medii (cioè quelli posti fra xy e zt) lasciano riconoscere la relazione del solido formato col quadrato, poiché questi quattro spigoli formano un quadrato sgembo, la cui forma si accosta però tanto più a quella del quadrato stesso, quanto meno discosti ci immaginiamo xy e zt. La simmetria di questo doppio cuneo comprende di nuovo solo una parte di quella del quadrato; si hanno infatti due piani di simmetria verticali, di cui uno passa per xy e l’altro per zt ed un asse binario di simmetria che unisce i punti di mezzo degli spigoli xy e zt.Finchè noi applichiamo i suaccennati elementi di simmetria ad una faccia, p. es. alla faccia zt del quadrato così trasformato come faccia fondamentale, otteniamo da esso il doppio cuneo quadratico; se noi però applichiamo gli stessi elementi di simmetria ad un punto p. es. al punto t di questa faccia, noi otteniamo da esso i quattro angoli di un quadrato comune. Possiamo riconoscere ora quali forme siano da ascrivere al tipo del quadrato: esse debbono possedere elementi di simmetria tali che applicati ad un punto da scegliersi opportunamente, siano in grado di riprodurre un quadrato.
Ciò che qui è stato detto pel quadrato preso come esempio, si può estendere in modo identico anche agli altri corpi regolari, cosicchè noi possiamo come Jamitzer derivare da essi le varie forme e cioè: 1º forme del tipo delle bipiramidi (oloedriche); 2º forme del tipo delle piramidi semplici (emimorfe); 3º forme del tipo cuneiforme (sfenoidiche); infine si hanno forme che contengono ancora gli assi ma non hanno più nessuno dei piani di simmetria delle figure regolari (forme trapezoedriche). Immaginiamo per questo che la metà inferiore di una bipiramide a base quadrata sia ruotata di un angolo qualunque rispetto alla superiore intorno all’asse verticale; le due si taglieranno ora in otto spigoli di intersezione.
Se noi applichiamo questi diversi tipi di generalizzazione ai corpi regolari, giungiamo ai varii modi nei quali gli elementi di simmetria possono esser combinati fra loro e se prendiamo inoltre i casi particolarmente semplici enunciati in principio di questo scritto in cui si hanno non combinazioni, ma solo le singole sorte di simmetria (rispetto ad un punto o ad un piano o ad un asse), noi avremo esauriti tutti i casi possibili di simmetria ed avremo così ottenuto uno schema completo e sicuro per la classificazione dei cristalli. È stato dimostrato che questo modo di procedere conduce a 32 casi differenti; ogni cristallo deve poter esser compreso in una di queste 32 classi; d’altra parte le varie forme che può prendere una stessa sostanza debbono sempre corrispondere solo ad uno di questi 32 casi e non parte ad uno e parte ad un altro. Non è però necessario che un cristallo possedente p. es. la simmetria del quadrato, sia necessariamente delimitata da una sola delle suaccennate figure; essa può invece contenere parecchie bipiramidi più o meno inclinate; si designa allora il cristallo come una «combinazione» di diverse forme semplici; le forme semplici possono esser derivate mediante operazioni di simmetria da una unica faccia fondamentale: per ottenere invece una combinazione bisogna partire da più faccie fondamentali. È uno dei problemi principali della cristallografia geometrica di scindere i diversi cristalli nelle singole forme semplici che la compongono.
Questa distinzione può talvolta venir complicata dalla circostanza che più forme non oloedriche (cosidette forme emiedriche o tetartoedriche) si combinano in modo da imitare una forma oloedrica semplice; così p. es. i cristalli più comuni di quarzo i quali sono limitati in apparenza da comuni bipiramidi, in realtà da combinazioni complicate di forme a minor numero di faccie.
2. La legge delle zone.
L’esperienza ha messo in rilievo il fatto singolare che nei cristalli non s’incontri mai la simmetria del pentagono regolare, mentre si potrebbe pensare che appunto questo poligono, in causa della sua relazione colla cosidetta sezione aurea, occupasse una posizione privilegiata. Si potrebbe pure supporre che nei poliedri cristallini si ritrovasse la simmetria dell’eptagono o dell’ottagono regolare; pure ciò non accade. La natura si limita ai casi più semplici e non supera la simmetria dell’esagono regolare.
Era naturale che si pensasse a trovare la causa di questo fatto appresoci dall’esperienza nelle proprietà generali della materia cristallizzata o delle forze cristallogenetiche; così nella chimica la semplice constatazione del fatto che i composti si formano dagli elementi in proporzioni ponderali fisse, aveva in sè qualcosa di non soddisfacente; solo allorchè mediante l’introduzione del concetto di atomo fu indicata la causa prima di questa semplicità di rapporto, lo spirito umano avido di comprendere si sentì più soddisfatto. Nella cristallografia si può ricorrere per spiegare la semplicità che si manifesta nella costituzione dei cristalli a due diverse specie di ipotesi: o ad ipotesi atomistiche, o ad ipotesi riferentisi alle forze cristallogenetiche. Si aprono così innanzi a noi due vie: le speculazioni atomistiche saranno preferite da quegli scienziati che non vogliono ammettere un «ignorabimus»; altri spiriti più prudenti saranno spaventati dalla complicazione connessa inevitabilmente alle rappresentazioni atomistiche, ed evitando di far uso di queste ultime dove non siano assolutamente indispensabili, cercheranno di ricorrere ad ipotesi direttamente controllabili intorno alle forze cristallogenetiche.
In questo capitolo noi partiremo da quest’ultimo punto di vista, il quale è bensì più sicuro, ma ha lo svantaggio di non entrare nella importante questione della costituzione della materia. Nel capitolo successivo daremo uno sguardo riassuntivo ai risultati ottenuti dalla cristallografia nella ricerca del come la materia cristallina si venga edificando dalle sue particelle.
Le proprietà fondamentali che si manifestano nelle forze cristallogenetiche si possono riassumere in due principi: il principio della costanza degli angoli e la legge delle zone. Il primo di questi due principi dice quanto Segue: Se si immagina che in un poliedro cristallino si effettuino spostamenti paralleli delle faccie in un modo qualsiasi, il poliedro così modificato può pure presentarsi come il primitivo nei cristalli di una stessa sostanza. Un caso speciale di questo principio consiste in ciò che per ogni faccia di un cristallo può intervenire anche la corrispondente faccia parallela all’altra estremità del cristallo. Così p. es. in una sostanza che ama cristallizzare, in tetraedri possono talvolta trovarsi anche ottaedri come combinazioni di due tetraedri. Questo principio può anche essere espresso così che ciò che è sostanziale e costante in un poliedro cristallino sono gli angoli fra le faccie e fra gli spigoli.
Considereremo ora la seconda legge, quella delle zone, anzitutto pel caso speciale del tetraedro; mentre la legge precedente diceva che sostanze che cristallizzano in tetraedri possono anche assumere la forma dell'ottaedro, questa fa prevedere che esse possono anche cristallizzare in cubi. La relazione fra cubo e tetraedro si spiega nel seguente modo dalle proprietà di accrescimento. Teniamo presente uno spigolo del tetraedro (p. es. 1 nella fig. 4); questo viene «smussato» da una faccia del cubo, cioè invece di questo spigolo si forma una faccia parallela ad essa la quale a causa di questo parallelismo, taglia le due faccio vicine del tetraedro in due spigoli paralleli fra loro e paralleli pure allo spigolo 1 smussato. Vi sono infinite posizioni di faccie che possono smussare lo spigolo 1 e si designa il loro insieme come la zona corrispondente a detto spigolo; specialmente la faccia del cubo smussa lo spigolo 1 in modo che la smussatura sia contemporaneamente parallela allo spigolo opposto 4. D’altra parte la faccia .jpg)
Fig. 4 opposta del cubo smussa lo spigolo 4 del tetraedro in modo che la smussatura resta parallela allo spigolo 1.
Si può quindi dire che il tetraedro viene smussato dal cubo in modo che le coppie di spigoli paralleli del tetraedro vengono smussati da coppie di faccie opposte e parallele del cubo. Si giunge così alla espressione più generale della nostra legge e cioè, se il tetraedro non è regolare ma qualsiasi, possono in esso intervenire quelle smussature per le quali due spigoli opposti sono smussati da una coppia di faccie parallele.
Si può perciò esprimere la nostra legge anche nel modo seguente: la faccia che smussa uno spigolo di un tetraedro, può contemporaneamente esser compresa nella zona corrispondente allo spigolo opposto; da ciò il nome di «legge delle zone».
Quantunque noi non possiamo dir nulla di sicuro sulla vera natura delle forze cristallogenetiche, è però certo che esse trovano una espressione assai semplice in questa legge. La nostra legge ha ancora bisogno di una spiegazione ulteriore pel caso che la forma fondamentale di un cristallo sia non il tetraedro ma un solido più ricco di faccie. In tal caso vale la regola semplicissima che si può immaginare un tetraedro formato da quattro faccie qualsiasi e procedere poi nel modo già indicato. Le nuove faccie così ottenute possono ancora esser riunite in un nuovo tetraedro con alcune delle primitive e da questo tetraedro si possono ora collo stesso processo di smussatura derivare nuove faccie cosidette «del secondo periodo»; utilizzando anche queste si può arrivare a faccie del «terzo periodo» e così via. L’esperienza insegna ora che tutte le faccie così derivate possono bensì trovarsi realmente in un cristallo, ma che la loro presenza è tanto più inverosimile, quanto più alto è il numero del periodo di derivazione mediante il quale esse si ottengono dalle faccie principali e più frequenti del cristallo.
Come abbiamo già visto, per ogni faccia è possibile anche la faccia parallela ed opposta ed è perciò sempre lecito di porre a base del nostro processo di smussamento un ottaedro invece del tetraedro; è ora interessante di studiare come siano disposte le nuove faccie rispetto a quelle provenienti dalla smussatura. Questo viene chiarito dalla fig. 5; .jpg)
Fig. 5si vede da essa chiaramente che quelle stesse smussature che nel tetraedro smussano gli spigoli, nell’ottaedro sono smussature degli angoli solidi.
Come si possa in base alla legge delle zone prevedere che la simmetria del pentagono regolare e dell’icosaedro non si verifica nei cristalli, è cosa che non può esser qui dimostrata rigorosamente, poichè a ciò occorrerebbero considerazioni matematiche troppo complicate. Noi chiariremo del resto tale questione nel prossimo capitolo dal punto di vista atomistico; qui possiamo limitarci a ricordare che i matematici Möbius e Grassmann diedero i fondamenti per la applicazione della legge delle zone a questo problema e che l’applicazione stessa è dovuta ai cristallografi Neumann e Quenstedt.
3. La struttura dei cristalli.
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Fig. 6 operazioni di simmetria già considerate (rotazione intorno ad una retta, riflessione speculare intorno ad un piano, inversione intorno ad un punto) gli spostamenti paralleli quale nuova operazione di simmetria per passare dal primitivo punto di partenza all’attuale e cioè dalla immediata simmetria dei poliedri a quella degli aggruppamenti molecolari che costituiscono i poliedri stessi.Se eseguiamo degli spostamenti paralleli anche fuori del piano primitivo, arriviamo ad un reticolato nello spazio, ad un sistema di punti che ci rappresenta atomisticamente non solo una faccia del cristallo, ma ancora tutta la sua costituzione.
Ciò che è più singolare è che quel principio di Platone che noi abbiamo imparato a conoscere nel primo capitolo può esser considerato anche qui come la regola fondamentale: non solo le faccie di un poliedro si possono classificare (come abbiamo visto allora) in riguardo alla loro simmetria secondo quella di un solido o poligono regolare ma lo stesso fanno anche i punti di un sistema cristallino.
Dovremmo andar troppo per le lunghe se volessimo enumerar qui tutti i casi possibili dei sistemi di punti; accenneremo solo che vi sono 14 tipi diversi che si possono originare da un punto fondamentale mediante spostamenti paralleli e che questi casi furono trovati ed enunciati da Frankenheim e Bravais. Se si combinano le operazioni degli spostamenti paralleli con quelle di rotazione e si applicano unitamente per ottenere un sistema di punti da un unico punto fondamentale, si hanno 65 tipi nei quali naturalmente sono compresi anche i primi 14 e che furono studiati da Sohncke; essi si possono designare come i casi di simmetria rispetto agli assi, poichè da essi risulta come la simmetria rispetto agli assi esistente nei poliedri si spieghi mediante l’aggruppamento delle particelle cristalline.
Se però si vogliono spiegare non solo gli assi ma anche gli altri elementi di simmetria, si debbono impiegare non solo rotazioni e spostamenti paralleli, ma accanto a queste anche operazioni di simmetria inversa in qualunque ordine per ottenere da un punto fondamentale un sistema regolare di punti; si hanno così 230 casi che furono enumerati quasi contemporaneamente da Fedorow e da Schönfliess e che comprendono naturalmente anche i precedenti 65 di Sohncke.
Noi riguardiamo quindi le operazioni che si debbono impiegare per ottenere da un unico punto fondamentale un sistema avente lo stesso grado di simmetria del cristallo, come l’elemento sostanziale nella struttura del cristallo stesso. Ora anche il più piccolo corpo, anche l’atomo dei chimici, contiene infiniti punti; se noi prendiamo, p. es. una struttura avente la forma di una costruzione a cubi, i centri degli atomi costituiranno gli angoli di una simile costruzione a cubi; gli angoli di un’altra simile costruzione otteniamo pure se prendiamo un punto periferico della prima particella cristallina come punto di partenza; gli angoli di una terza costruzione simile se si parte da un punto posto in mezzo fra il centro e la periferia; noi possiamo anzi attribuire alla sfera d’azione dell’atomo un punto posto fuori dall’atomo ma vicinissimo ad esso e prenderlo come punto di partenza per le operazioni di simmetria. Riconosciamo così che un cristallo non è da considerare come un unico sistema di punti ma bensì come un insieme di infiniti sistemi di punti posti l’uno nell’altro ed aventi la stessa simmetria.
Importante è qui di nuovo il concetto di quel campo che non contiene nel suo interno nulla di omogeneo, ma bensì un esemplare di ogni elemento eterogeneo. Un tale spazio può esser riguardato come l’estensione di ogni particella cristallina ed è lasciato completamente alla fantasia di immaginare che esso sia materiale o che sia parzialmente riempito di etere o che infine avvengano in esso movimenti della materia che lo riempie parzialmente. La decisione fra queste diverse possibilità non spetta veramente alla cristallografia propriamente detta; al cristallografo basta di esprimere i risultati relativi nel principio condizionale seguente: Se si può ammettere che il punto fondamentale dato sia materiale, anche tutti gli altri punti ottenuti mediante l’impiego delle operazioni di simmetria caratteristiche per quella data sostanza sono pure da ritenersi come materiali. Sulla vera natura delle particelle cristalline il cristallografo non può dire nulla, ciò che il lettore avrà già compreso dall’enunciato del principio dell’alterazione permessa.
Un fatto degno di nota è inoltre il seguente: abbiamo appreso che in un poliedro possono intervenire solo una parte delle faccie; vedremo ora che un fatto analogo esiste per le strutture cristalline. Come si può immaginare un poliedro quale il risultato dell’applicazione delle operazioni di simmetria ad una faccia fondamentale, così si possono ottenere le strutture partendo da un punto fondamentale; e come allora eliminando una certa parte delle faccie si passava dai casi fondamentali ai sottocasi, così eliminando un certo numero dalla totalità dei punti, si giunge anche qui dai casi fondamentali ai sottocasi. È interessante l’indicare quei sistemi dai quali si possono dedurre tutti gli altri applicando questo principio dell’intervento di una sola parte dei punti. Questa determinazione può esser compiuta in modi assai diversi, p. es. possono essere riguardati come casi principali i seguenti: la costruzione secondo cubi per gli edifici cristallini del sistema regolare; secondo prismi quadratici retti per quelli del sistema tetragonale; secondo prismi regolari triangolari per il sistema esagonale; secondo prismi retti a sezione rombica per il sistema trimetrico; secondo prismi retti aventi per base un parallelogramma per il sistema monoclino; secondo prismi inclinati aventi a base un parallelogramma qualsiasi per il sistema triclino.
Vogliamo ora mostrare perchè solo i poligoni più semplici corrispondano alla simmetria dei cristalli e non vi possano invece corrispondere nè il pentagono, nè l’eptagono, nè l’ottagono regolare. Perciò noi dobbiamo partire dalla supposizione che due punti equivalenti della struttura posseggano una distanza assai piccola ma tuttavia finita; questa ipotesi che grandezze infinitesime non possano accostarsi infinitamente, distingue nettamente il concetto di una massa di costituzione atomistica discreta da quello di una massa continua. In una massa discreta ogni punto deve esser separato dal punto equivalente più vicino da una distanza finita. Per ogni punto A (fig. 7) si può stabilire un altro punto B .jpg)
Fig. 7tale che nessun altro punto equivalente sia più vicino di esso ad A. Ammettendo ora che per A e per B passino assi di simmetria il cui periodo sia 7, applicando la simmetria ad A si originerebbe un terzo punto equivalente C, il quale formerebbe con detti due punti un triangolo isoscele il cui angolo posto al vertice B sarebbe minore di 60° (precisamente 360/7°) cosicchè AC sarebbe minore di AB. Per conseguenza B non sarebbe fra i varî punti equivalenti il più vicino ad A, perchè C sarebbe ancor più vicino; ora ciò contraddice alla supposizione fatta e quindi il periodo 7 non può verificarsi negli assi di simmetria.
I periodi 8, 9 o maggiori condurrebbero a valori dell’angolo ABC ancora più piccoli; il punto C verrebbe di conseguenza ad esser ancor più vicino ad A. Invece il caso che il periodo di simmetria sia 6, non contraddice alla supposizione fatta, poichè in questo caso sarebbe AB=AC.
Il caso che il periodo di simmetria sia 5, lascia riconoscere una contraddizione cambiando un poco il ragionamento precedente. Partiamo di nuovo da due punti A e B pei quali passino assi di simmetria di periodo 5 e supponiamo che nessun altro punto sia più vicino di B ad A; ruotiamo anzitutto il segmento AB intorno a B di un angolo 360/5°; arriviamo così ad un punto C, il quale è bensì più lontano da A che B, ma se giriamo però ora il segmento CB intorno a C di un angolo uguale, otteniamo un quarto punto D (fig. 8) che contraddice alla nostra supposizione poichè, come .jpg)
Fig. 8 è chiaramente visibile dalla figura D è assai meno distante che B da A. Perciò anche assi di simmetria con periodo 5 sono impossibili negli edifici cristallini.
Queste e varie altre proprietà dei cristalli si possono spiegare per questa via più semplicemente che per ogni altra; non si può però tacere che per altri importantissimi gruppi di fenomeni, p. es., per la deduzione dei fenomeni di interferenza nella luce polarizzata la teoria delle strutture non offre alcun vantaggio e che questa teoria opera su molte ipotesi in parte almeno non direttamente verificabili. Così, p. es. si debbono introdurre speciali ipotesi sul come giacciano le faccie che limitano i cristalli in rapporto agli aggruppamenti delle particelle cristalline, poichè in principio le strutture (che naturalmente vengono definite come omogenee rispetto a tutti i loro punti) sono supposte illimitate, cosicchè esse si estendono per tutto lo spazio. Si suole fare l’ipotesi che quelle faccie che vengono ad esser più fittamente cosparse di punti, siano quelle che intervengono di preferenza come faccie reali del cristallo. Per molti cristalli questa ipotesi non viene però verificata e forse i cosidetti cristalli liquidi e apparentemente viventi sono appunto fra quelle sostanze che si scostano di più dalla condizione suesposta. In una comunicazione posteriore spero di poter trattare più ampiamente le relazioni singolari che passano fra i cristalli liquidi ed i cristalli comuni.
Tübingen, luglio 1907.