Matematica in relax/I problemi
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I problemi
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1. Il calendario cubista
Alla fine degli anni ’60 del secolo scorso non era così difficile vedere sulle scrivanie un datario da tavolo dove il numero del giorno era composto utilizzando due cubi, su ogni faccia dei quali era presente una delle cifre da 0 a 9. Per completezza, aggiungo che il mese veniva indicato per mezzo delle sue tre prime lettere scritte in stampatello minuscolo sulle facce di altri tre cubi: come ottenere i nomi dei mesi non è però un problemino matematico.
Come facevano i produttori del calendario a disporre le cifre
da 0 a 9 nei due cubi in modo che li si potesse combinare per
indicare un qualunque giorno del mese, da 01 a 31?
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2. La scacchiera mutilata
Prendete una comune scacchiera e 32 tessere del domino, di dimensione una casella per due. Non è certo difficile ricoprire esattamente la scacchiera con le tessere; la cosa più complicata è al limite trovare 32 tessere del domino, dato che la dotazione standard è di sole 28.
Mentre riordinavo la soffitta, mi è però capitata tra le mani una scacchiera a cui mancavano due caselle situate agli angoli opposti, come si vede nella figura qui sotto: da piccolo rompevo tutto. Come potete disporre 31 tessere per ricoprire questa scacchiera mutilata?
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3. Una partita a bridge
Ogni tanto si legge che durante una partita a bridge a qualcuno sono state distribuite 13 carte tutte dello stesso seme. Se il mazzo è stato mischiato bene la cosa è piuttosto incredibile. La probabilità che un giocatore riceva tutte carte di picche è una su 635.013.559.600: in confronto vincere al Superenalotto è un gioco da ragazzi!
Supponiamo però che vi accontentiate di qualcosa di più fattibile, che cioè tutte le carte di picche siano divise tra voi e il vostro compagno (ricordo che a bridge si gioca in due coppie di giocatori). È più facile che avvenga una distribuzione di questo tipo, oppure che né a voi né al vostro compagno non sia capitata alcuna carta di picche?
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4. Perditempo
La scorsa settimana avevo deciso di andare al mare per il fine settimana. Devo fare esattamente 200 chilometri di autostrada, e avevo contato di percorrerli alla velocità di 100 km/h. Però poi mi sono fermato a prendere un panino all’autogrill (confesso di avere un debole per la Rustichella) e già che c’ero mi sono fermato a godermi l’aria condizionata e a guardare un gruppo di turiste olandesi. Quando sono finalmente ripartito, mi sono accorto di aver percorso la prima metà del tragitto alla velocità media di 50 Km/h. Autovelox a parte, che velocità avrei dovuto tenere per arrivare alla fine dell’autostrada alla media che avevo inizialmente previsto?
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5. Maciachini o Rogoredo?
Umberto Eco scrisse del Paradosso di Porta Ludovica: girando in macchina a Milano si finisce sempre là. Non so se sia vero, però qualcosa di strano ci dev’essere davvero! Parecchi anni fa abitavo dalle parti di Porta Romana e frequentavo due ragazze, una in zona Rogoredo e l’altra vicino a piazza Maciachini. Non sapevo decidermi quale mi piacesse di più, e così lasciavo che fosse il caso a scegliere chi andare a trovare. Le due stazioni si trovano sulla linea gialla della metropolitana di Milano, in direzione opposta rispetto a casa mia: così ogni giorno scendevo ai binari e prendevo il primo treno che arrivava. In entrambe le direzioni passava un treno ogni sei minuti.
Nonostante arrivassi in stazione a ore sempre diverse e casuali, dopo qualche tempo la ragazza di Rogoredo mi piantò, dicendo che andavo a trovarla una volta la settimana o poco più. Com’è possibile?
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6. Due vittorie in fila
Un adolescente chiede a suo padre un po’ di soldi per andare in discoteca con gli amici durante il fine settimana. Il padre ci pensa un attimo, e poi dice “Facciamo così: mancano tre giorni a sabato. Tua mamma e io ci alterneremo a giocare a scacchi con te, una partita per sera; se ne vinci almeno due consecutive, ti darò i soldi che mi hai chiesto; altrimenti preparati come volontario per le Grandi Pulizie di Casa”.
Non avendo molta scelta, il figlio accetta; poi ci pensa su un attimo e gli chiede “Ma comincerò a giocare con te o con la mamma?”. Il padre, sorridendo, risponde: “Scegli pure chi preferisci”. Il figlio sa che sua madre gioca a scacchi meglio di suo padre; cosa gli conviene fare?
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7. La popolazione di Fertilia
La nazione di Fertilia è governata da un sultano che vorrebbe aumentare la percentuale di donne nella popolazione per rimpinguare gli harem; promulga così una legge che vieta ai sudditi di procreare ulteriormente dopo un figlio maschio, pensando: “Ci saranno famiglie con un solo maschio, famiglie con una femmina e un maschio, famiglie con due femmine e un maschio e via discorrendo, e famiglie con sole femmine. Una situazione perfetta!” Peccato che le cose non vadano così. Prendiamo tutte le coppie con figli e consideriamo il loro primogenito: in media, metà saranno maschi e metà femmine. Passando ai secondogeniti delle coppie che hanno almeno due figli, di nuovo metà di essi sarà maschio e metà femmina: il fatto che il primo loro figlio sia una femmina è irrilevante, dato che è già stato considerato nel gruppo precedente, e lo stesso per i terzogeniti e oltre. Insomma, in media il numero di maschi e di femmine sarà lo stesso.
Supponete che le famiglie di Fertilia continuino ad avere figli fino a che non arrivi loro un maschio. Quanti figli avrà allora in media una famiglia?
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8. Una moneta poco equa
Quando vado a cena col mio amico Ugo, è nostra usanza decidere chi paga lanciando una moneta. Stasera però abbiamo un problema: abbiamo dimenticato entrambi il borsellino a casa (tanto paghiamo con la carta di credito). L’unica moneta a nostra disposizione è quella truccata che uso quando ho voglia di fare qualche scherzetto agli amici: lanciandola, infatti, esce testa quattro volte su sette.
Possiamo comunque lanciare la moneta in modo che ci garantisca di avere entrambi la stessa probabilità di dover pagare la cena?
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9. Meditazione montana
Quest’anno ho voluto trascorrere le ferie in maniera speciale. Sono stato una settimana in meditazione presso un tempio in cima a una montagna tibetana, che si può raggiungere solo percorrendo un sentiero. Sono partito all’alba dai piedi della montagna e ho raggiunto il tempio al tramonto, camminando a velocità diverse, fermandomi ogni tanto a meditare e soprattutto a riprendere fiato. Un paio di volte sono anche tornato sui miei passi, per osservare meglio il panorama.
Dopo la settimana di meditazione, sono ritornato a valle sempre per lo stesso sentiero, partendo di nuovo all’alba. In genere camminavo più veloce che all’andata, ma c’erano dei punti pericolosi in cui sono andato più lentamente, e mi sono fermato più a lungo, arrivando comunque ai piedi della montagna due ore prima del tramonto. Dimostrate che c’è stato almeno un punto del percorso dove mi sono trovato alla stessa ora nei due viaggi.
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10. Missili in collisione
Nel quadro del programma militare “Star Wars: episodio 42”, il Pentagono intende mostrare la sua abilità nel colpire bersagli in movimento ad alta velocità. Da due basi aeree che distano 2600 Km in linea d’aria vengono lanciati due missili a distanza di 30 secondi. Dopo essere saliti verticalmente fino a 10 Km di altezza, il primo in 35 secondi e l’altro in 20, i due missili si dirigono l’uno contro l’altro. Sapendo che il primo missile viaggia a 3700 Km/h e il secondo a 2300 Km/h, a che distanza si troveranno un minuto prima della collisione?
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11. Il triangolo più grande
Con la scusa di un “regalo utile” per il compleanno dei miei gemelli mi sono finalmente regalato una confezione di Meccano, sapendo che il duo l’avrebbe snobbata. Adesso mi trovo tra le mani due listelli lunghi 10 cm ciascuno e vorrei costruire un triangolo isoscele, come nei due esempi della figura, di area massima. (Tralasciate il fatto che i listelli hanno solo una lunghezza specifica, e immaginate di poterne scegliere una qualunque). Quanto vale quest’area?
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12. La pentola di Kant
Le cronache del tempo – vere o false che siano – riportano che Immanuel Kant era una persona molto metodica. Si narra che i suoi concittadini a Königsberg avessero due hobby: cercare di passare una sola volta su ciascuno dei ponti sul fiume Pregel, almeno fino a quando Eulero dimostrò che la cosa era impossibile, e regolare i loro orologi quando il filosofo usciva per fare la sua passeggiata quotidiana.
Un giorno però accadde l’incredibile: Kant si svegliò e scoprì che l’orologio a pendolo di casa sua non era stato caricato e quindi si era fermato. Il filosofo non aveva a disposizione nessun altro orologio; però uscì col suo passo metodico e costante per andare a trovare un amico che abitava a qualche decina di minuti da casa sua (non aveva mai fatto il conto esatto della distanza), rimase a conversare con lui per un po’ di tempo, tornò a casa con il suo solito passo, e regolò esattamente la pendola. Come fece?
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13. I quadrati sovrapposti
Nel mio giardino zen ci sono due aiuole parzialmente sovrapposte, come si vede in figura. Ciascuna di esse è di forma quadrata; i loro lati sono lunghi rispettivamente 40 cm e 50 cm. Il vertice D dell’aiuola più grande si trova esattamente al centro di quella più piccola; il lato AC viene diviso dal lato DE in due parti in rapporto 3:5 tra loro (cioè 15 e 25 cm). Qual è l’area della parte comune, colorata in scuro?
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14. Il taglio del cubo
Per un incontro intitolato “Oltre Rubik” dovevo tagliare due cubi, ciascuno di 15 cm di lato, in 27 cubetti uguali. Ho preso il primo cubo e ho fatto sei tagli secondo le linee tratteggiate indicate in figura. Prendendo in mano il secondo cubo, mi sono detto “Che stupido! Perché non riposiziono i vari pezzi che ottengo man mano, per risparmiare qualche taglio?”
Ero di fretta e non ho avuto voglia di verificare la mia ipotesi: così ho tagliato anche il secondo cubo allo stesso modo del primo. Ma il dubbio mi è rimasto: qual è il numero minore di tagli necessario per suddividere un cubo in 27 cubetti?
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15. Rosso o blu
Supponete di volere colorare tutti i punti del piano di rosso oppure di blu, con l’obbligo di non formare nessun triangolo equilatero i cui vertici siano tutti dello stesso colore. Secondo voi, la cosa è possibile?
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16. Un problema aggrovigliato
Prendete una matita e tracciate una linea chiusa qualunque. La linea può anche intersecare sé stessa: è sufficiente che non ripassiate mai su una precedente intersezione o fate toccare la curva con una tangente: l’intersezione deve proprio passare da una parte all’altra. Ripetete l’operazione disegnando un’altra linea, questa volta tratteggiata: anche in questo caso, non dovete mai passare sopra un’intersezione già esistente; inoltre i punti di incrocio tra le due curve devono essere veri, e non semplici tangenti. Terminata la vostra fatica artistica kandinskiana, dimostrate che i punti in cui le due curve si intersecano (tralasciando le autointersezioni) sono in numero pari, senza mettervi con tanta pazienza a contarle…
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L’aiutino è a pagina 119; soluzione e Post Scriptum sono a pagina 165.
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17. Piegare la fascia
Ho una bella fascia, a forma di una lunga cintura con i due estremi tagliati a 45 gradi come in figura, e quando devo metterla in valigia mi piace piegarla in modo che formi un rettangolo. Potrei limitarmi a piegare gli angoli all’indietro, però poi la parte finale diventa troppo spessa e il mio senso estetico rimarrebbe comunque offeso: il rettangolo deve essere tutto dello stesso spessore. C’è un modo per piegare la fascia come voglio senza dovere iscrivermi a un corso di origami?
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18. Spostare una ciliegia
Non ho mai capito come mai sia considerato così fine mettere una ciliegina dentro il bicchiere del cocktail. Sono certo che questo capita solo perché nessuno si è ancora deciso a fondare la Società per la Protezione di Ciliegie, Duroni e Amarene.
Per il momento mi dedico a una lotta passiva: sposto via la ciliegina ogni volta che la trovo in un bicchiere. Toccare la ciliegia però non è bello: preferisco così concentrarmi sul bicchiere. Se costruisco un bicchiere con quattro fiammiferi, come mostrato nella figura sopra, posso spostare solo due fiammiferi e avere la ciliegina fuori dal bicchiere? Nel disegno sotto si vede come si può fare spostando tre fiammiferi, ma così è troppo facile....
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19. Spostare un’altra ciliegia
Dopo il successo del problema precedente, la mia carriera di Eliminatore di Ciliegine ha avuto un’eccezionale spinta propulsiva. Qualcuno mi ha però fatto notare come il bicchiere che avevo usato non era quello da cocktail, così mi sono accinto a una nuova impresa: spostare il minor numero di fiammiferi per togliere la ciliegia dal bicchiere schematizzato in figura. Anche in questo caso non posso toccare la ciliegia, ma posso solo spostare i fiammiferi. Quanti ne devo spostare?
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20. Attenti ai falsi
Le monete da un euro sono carine, ma il fatto stesso che ce ne siano così tante in circolazione è stata una gioia per i falsari; sembra che molte delle monete che circolano siano false. Mi sa che anch’io sono stato turlupinato: ora mi tocca scoprire quale di queste dieci pile, ciascuna con dieci monete, sia composta da euro falsi. So che una moneta vera pesa 7,5 g, mentre una falsa ne pesa 7,4; ho poi a disposizione una bilancia da farmacista, che mi permette di calcolare pesi fino a mezzo chilo con la precisione di un decigrammo. Quante pesate mi sono necessarie per scoprire qual è la pila con le monete false?
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21. Vino annacquato o acqua avvinata?
Un oste, data un’occhiata esperta all’avventore che ha chiesto un litro di vino della casa, ha pensato che la gradazione troppo alta di quel vino gli potrebbe causare dei problemi al momento del pagamento. Prende così un bicchiere da 125 ml, lo riempie di vino dalla brocca e lo versa in un’altra brocca che conteneva un litro d’acqua. Poi riempie il bicchiere con la miscela della seconda brocca e riporta a 1 litro il volume del liquido nella prima.
Il cliente (che probabilmente in mattinata si era già fatto diversi bianchetti) non si accorge di nulla, tracanna e paga: ma all’oste resta un dubbio. Dopo i due travasi, c’era più acqua nella prima brocca o più vino nella seconda? Supponete che prima del secondo travaso la miscela fosse perfettamente uniforme.
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22. La dozzina del panettiere
In inglese, l’espressione “a bakery’s dozen” corrisponde al numero 13. Un possibile motivo per questa curiosità è che c’erano leggi molto severe per chi vendeva pagnotte sottopeso, e quindi per sicurezza i panettieri mettevano una pagnotta in più per essere certi che il peso fosse sufficiente; ad ogni modo ciò non è importante saperla per risolvere questo quesito.
Un panettiere ha preparato una “dozzina del panettiere” di pagnotte. Tutte le pagnotte pesano un numero intero di grammi, e mettendone da parte una qualunque di esse si possono suddividere le altre dodici in due gruppi di sei pagnotte dallo stesso peso complessivo. Dimostrate che tutte e 13 le pagnotte hanno lo stesso peso.
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23. Venticinque cavalli
Ricordate come muove un cavallo negli scacchi? Si sposta di due caselle in una direzione e di una sola nella direzione ortogonale, disegnando una specie di L. Nella scacchiera ridotta di dimensione 5×5 che vedete nella figura sotto trovate ben 25 cavalli in parata, che riempiono ogni spazio disponibile. Come in ogni parata che si rispetti, vorreste far cambiare loro disposizione (tecnicamente, “facite ammuina”), muovendoli tutti e 25 contemporaneamente, in modo che ciascuno finisca su una casella diversa. Quali sono le mosse che deve fare ciascun cavallo?
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24. Detenuti numerati
In una nazione sudamericana ai tempi di una feroce dittatura, dopo la decisione della Junta “Svuotiamo le carceri, in un modo o nell’altro”, sono stati sorteggiati 10 (presto ex, qualunque sia il risultato) detenuti, a cui è stato dipinto in fronte un numero da 0 a 9. I numeri non sono necessariamente tutti diversi: potrebbero ad esempio esserci nove 3 e un 2. La prova cui vengono sottoposti è collaborativa. Ciascuno di essi scriverà su un foglietto il numero che lui pensa sia dipinto sulla sua fronte; è sufficiente che un solo detenuto indovini il proprio numero perché tutti vengano liberati, altrimenti il becchino dovrà fare gli straordinari. I detenuti possono accordarsi prima della prova sulla strategia da seguire, ma non potranno più comunicare a partire dal momento in cui vedranno i numeri sulla fronte degli altri. Qual è la loro strategia migliore?
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25. Parcheggiare i cavalli
Forse sapete che in una scacchiera è possibile collocare otto regine in modo che nessuna di esse possa essere attaccata da qualcuna delle altre; lo stesso vale per le torri. Passando agli alfieri, ne possiamo mettere ben 14: basta riempire completamente l’ultima riga e metterne altri sei nella prima, lasciando libere le due caselle alle estremità come mostrato in figura. Considerate ora i cavalli. Quanti se ne possono collocare senza che nessuno ne possa attaccare un altro?
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26. Il simbolo “più diverso”
Avete presente i test di intelligenza? Alcuni di essi chiedono di trovare qual è l’elemento intruso in un gruppo. Non che la cosa sia sempre così semplice: a volte l’idea di “ovvio” di chi propone il test non è affatto ovvia, e persone diverse danno risposte diverse... il che spiega perché non è facile misurare l’intelligenza, sempre ammesso che il concetto stesso di “misura dell’intelligenza” abbia senso.
Indipendentemente da queste diatribe, e tenendo presente che questo non è un test di intelligenza: secondo voi quale di queste figure è “la più diversa”?
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27. Scacchi doppi
Gli scacchi doppi sono una variante del gioco degli scacchi. Le regole sono identiche a quelle solite, con l’eccezione che ogni giocatore, quando è il suo turno, deve fare due mosse consecutive. Dimostrate che il primo giocatore ha una strategia di gioco che gli assicura di non perdere mai una partita agli scacchi doppi.
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28. Rientro anticipato
Un uomo torna a casa dal lavoro tutti i giorni alla stessa ora; sale sul treno, arriva in stazione dove sua moglie va a prenderlo in auto e tornano a casa insieme. Il treno è sempre puntuale; la moglie lo sa, e quindi arriva in stazione esattamente all’orario di arrivo del treno. Un giorno però l’uomo prende il treno precedente, che arriva un’ora prima. Arrivato in stazione, si incammina verso casa a passo costante. Sua moglie, che non sa del cambiamento di programma del marito, parte alla solita ora e quando lo incrocia per strada lo fa salire in macchina; la coppia rientra a casa venti minuti in anticipo rispetto al solito. Per quanto tempo l’uomo ha camminato?
Come sempre in questi problemi i tempi di trasbordo sono da immaginarsi nulli; inoltre la moglie guida a velocità costante, che ci sia o no a bordo il marito.
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29. (Non) spostare la giraffa
Nel laboratorio esperenziale “disegnate con gli stuzzicadenti” vi è stato chiesto di raffigurare una giraffa. D’accordo, il vostro risultato, che vedete qui sotto, è leggermente peggiore di quanto potreste trovare dipinta in una grotta preistorica: ma nessuno vi chiede di essere artisti. Il vostro compito è spostare esattamente uno stuzzicadenti per ottenere... la stessa giraffa. Beh, non proprio la stessa, altrimenti basterebbe rimettere lo stecchino al suo posto; dovete ottenere una giraffa identica all’originale, a meno di eventuali rotazioni e riflessioni.
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30. Il torneo di tennis
Il torneo aziendale di tennis della megazienda è stato accuratamente preparato: i 32 dipendenti che si sono iscritti sono stati posizionati nel tabellone, che è formato da cinque turni: come sempre in questi tornei, chi perde una partita viene eliminato, e si continua fino alla finale che proclamerà il vincitore.
Il giorno prima dell’inizio del torneo il capo del personale decide però di aggiungersi ai partecipanti. Non è opportuno impedirglielo, e quindi il tabellone viene rifatto in fretta e furia; viene aggiunto un nuovo turno, e dato che il numero di partecipanti non è una potenza di 2 alcuni dei giocatori (tra cui presumibilmente il capo del personale. immagino...) salteranno il primo turno ed entreranno nel torneo successivamente. Sapendo che i campi vengono pagati un tot a partita giocata, e che l’azienda vorrebbe evitare di spendere più del necessario, qual è la disposizione migliore del tabellone per spendere il meno possibile?
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31. La mosca suicida
Una mosca, stanca della vita, ha deciso di suicidarsi e ha scelto di farlo nel modo più clamoroso possibile. Si reca così in un laboratorio dove si effettuano crash test; due automobili, inizialmente a 50 metri di distanza, si muovono rispettivamente a 2 e 3 m/s l’una contro l’altra. La mosca, che per comodità di calcolo consideriamo puntiforme, parte dal paraurti di una delle auto, e viaggia a 7 m/s in direzione dell’altra. Quando tocca il paraurti della seconda auto si gira istantaneamente e ritorna indietro, sempre alla stessa velocità; mi ero dimenticato di aggiungere che era stata addestrata dalla Nasa e quindi poteva sopportare accelerazioni incredibili. Il suo avanti-e-indietro prosegue fino al fatale spiaccicamento: quanta strada la povera mosca avrà percorso nel suo ultimo viaggio terreno, pardon, aereo?
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32. Una moneta equa, una no
È tradizione che la cena del Raduno annuale del Circolo dei Probabilisti sia pagata dal presidente oppure dal segretario; ciascuno di loro deve lanciare una delle due monete simbolo del Circolo stesso. Purtroppo però c’è un problema: anche se le due monete sono assolutamente indistinguibili a prima vista, una di esse non è equa. I soci non sanno però quale delle due monete sia, se lanciandola esca più spesso testa oppure croce, né tantomeno la frequenza relativa di teste e croci.
Come fanno i Probabilisti a scegliere in modo assolutamente casuale ed equo chi deve pagare, lanciando una sola volta le due monete?
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33. La sfera trapanata
Tutti applaudirono all’inaugurazione dell’ultima opera di Giò Prezzemolo, nella piazza principale di Cocconito di Cocconato. Solo Gaudenzio, lo scemo del paese, gridò: “Ma è una palla con un buco!” L’assessore alla cultura, il famoso critico Vittorio Sparli, lo zittì. “Capra! Non vedi la grandiosità di questa espressione del razionalismo minimal-geometrico? La perfezione di una sfera, trapanata al suo esatto centro da un cilindro rappresentante l’ingegnosità dell’umanità che penetra i misteri della natura. Spiegavo giusto nel mio ultimo libro…” Gaudenzio lo interruppe: “Sì, ma quanto ne rimane, della sfera?” Giò Prezzemolo prese la parola con un sorriso sardonico: “Sono certo che Sparli ne ha verificato il volume prima di firmare l’assegno per saldare il mio onorario. Ma un uomo di cultura come lui potrà comunque calcolare il suo volume al volo; gli basterà sapere che il cilindro mancante è alto esattamente un metro”. Sparli era un esperto di diatribe, ma aveva difficoltà persino con le tabelline: borbottò che non era sua responsabilità e si affrettò a dichiarare conclusa l’inaugurazione. Qual è il volume della scultura?
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34. Lo spareggio
Nell’annuale gara di giochi matematici e logici tenutasi nella scuola di Germagnano, Alice, Bruno e Carlo terminarono le prove con lo stesso punteggio: la giuria decise così di fare uno spareggio per stabilire il vincitore. I tre ragazzi furono bendati e fu messo loro in testa un cappello. Questi cappelli, fu loro spiegato, potevano essere o bianchi o neri: una volta tolte le bende, ciascuno di loro avrebbe potuto vedere i cappelli degli altri ma non il proprio. Se uno di loro avesse visto almeno un cappello bianco, avrebbe dovuto battere la mano sul tavolo una volta; quando fosse stato certo del colore del proprio cappello, avrebbe dovuto battere la mano sul tavolo due volte.
I giudici non fecero quasi in tempo a togliere le bende che Alice batté immediatamente tre volte la mano sul tavolo annunciando “il mio cappello è bianco!”, e aggiudicandosi lo spareggio. Come poté essere così rapida e sicura?
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35. Inscritto e circoscritto
La figura qui sotto rappresenta il simbolo del Partito della Matematica: un cerchio a cui è stato inscritto e circoscritto un quadrato. Se l’area del quadrato maggiore è 1000 cm², qual è l’area del quadrato minore?
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36. Due rettangoli
Il rettangolo a tratto intero mostrato in figura ha i lati di 5 e 8 centimetri. Qual è l’area del rettangolo tratteggiato?
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37. Quadrato magico utopico
Immagino conosciate tutti il quadrato magico raffigurato qui sotto, che contiene al suo interno tutte le cifre dall’1 al 9. Purtroppo è così obsoleto! Pensate che i cinesi lo conoscevano già due millenni or sono. Ormai siamo nel XXI secolo e lo zero ha piena dignità di cifra; il vostro compito è pertanto (ammesso che ciò sia possibile) costruire un nuovo quadrato magico che contenga tutte le cifre dallo 0 al 9, senza ripetizioni. Evidentemente, visto che il quadrato è formato da nove caselle e le cifre da usare sono dieci, ci dovrà essere un numero di due cifre. Ma quello non è certo un problema: anche la notazione posizionale vanta oltre mille anni di storia, no?
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38. Recinti dispari
Il nostro circolo ippico è gestito da un numerologo, con idee ben precise su come trattare gli animali perché possano rendere al meglio. In questo periodo, ad esempio, è convinto che i recinti non debbano mai contenere un numero pari di cavalli, perché altrimenti si formano delle coppie che tenderanno a stare vicine anche in gara.
In questo momento il circolo possiede 21 cavalli, e bisogna disporli in quattro recinti quadrati (anche quella del formato dei recinti è una mania del nostro gestore) in modo che all’interno di ciascun recinto ci sia un numero dispari di cavalli. Come si può fare, senza vendere o comprare (o prestare, o affittare…) cavalli?
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39. Ai tempi del vinile
Probabilmente molti di voi hanno visto i giradischi solo nei vecchi film, anche se i dischi in vinile sono tornati di moda tra gli appassionati audiofili. Ma non dovrebbe essere difficile capire come funzionava: il disco veniva fatto girare a velocità costante (quando si parla di 45 giri, si sottintende “al minuto”) e la puntina se ne stava nel solco, spostandosi dall’esterno all’interno del disco per raccogliere vibrazioni da trasformare poi in suono. La speranza era che la puntina non saltasse da un solco all’altro, perché altrimenti “si incantava il disco”. Curiosità: il CD funziona alla rovescia: la lettura parte dal centro verso l’esterno. Inoltre nelle tracce più esterne sono scritti più dati, pertanto la velocità di rotazione non è costante.
Uno dei dischi a 45 giri che avevo conteneva due brani, uno per lato. Il primo durava 2’30” e il secondo 2’45”. Quanti solchi c’erano nel disco?
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40. Manca sempre qualcuno
Nella caccia al tesoro del paese occorreva raccogliere cinque coccarde, superando altrettante prove di abilità. Non tutti sono stati però abili allo stesso modo: dei 128 partecipanti, 117 hanno superato la prima prova, 105 la seconda, 110 la terza, 113 la quarta e solo 86 l’ultima. Nel pomeriggio sono stati radunati tutti coloro che hanno superato con successo tutte le prove. Quanti sono, come minimo? E soprattutto, potete essere certi che ce ne sia stato per forza qualcuno?
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41. Catering pericoloso
L’ultima volta che mi è capitato di trovarmi a uno di quei buffet dove sembra che gli invitati si siano evoluti a partire dalle cavallette, a un certo punto erano rimasti solo sei bicchieri, messi belli in fila come si può vedere in figura: i primi tre erano pieni di succo d’arancia e gli ultimi tre vuoti.
Sperando di fermare per un attimo la furia consumatrice dei partecipanti, li ho sfidati a muovere il numero minore di bicchieri per fare in modo che i bicchieri fossero alternativamente pieni e vuoti. Ho aggiunto che mi andava anche bene una soluzione in cui la fila di bicchieri finale fosse spostata rispetto a quella iniziale. Uno degli ospiti iniziò a dire “è facilissimo!”, ma nessuno udì la sua soluzione: il grumo osmotico degli invitati andò infatti all’assalto dei tre bicchieri pieni, facendomi capire che la mia carriera di barman era terminata prima ancora di cominciare. Secondo voi, quanti bicchieri occorreva muovere?
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42. Com’è buono il cioccolato!
Alberto e Fred hanno ricevuto una tavoletta di cioccolato ciascuno: la tavoletta è un rettangolo formato da 5 quadretti per 8. Per far durare più a lungo il cioccolato (e probabilmente per impiastricciarsi per bene) le due pesti hanno pensato a un gioco. A ogni “Via!” fanno contemporaneamente una mossa, che può essere di due tipi: dividere un pezzo di tavoletta in due parti secondo una delle linee di demarcazione, oppure, se tra i vari pezzi formati c’è un quadretto singolo, mangiarselo. Nella figura si mostra una possibile prima mossa con un taglio verticale, e una possibile seconda mossa con un taglio orizzontale.
Nonostante ciascuno di loro avesse studiato attentamente la strategia per l’ordine in cui eseguire le operazioni, Alberto e Fred hanno mangiato l’ultimo quadretto di cioccolato insieme. Come mai? E quante mosse sono state fatte in totale?
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43. Caccia alla lepre
Forse non tutti sanno che a Marostica non si celebra solo la partita con gli scacchi viventi. Nella famosa piazza con la scacchiera si celebra anche una rituale caccia alla lepre. Due lepri e due cacciatori si posizionano come i cavalli e le torri in figura, muovendosi alternativamente di una casella in orizzontale o verticale. La prima mossa è dei cacciatori, dopo avere scelto quale lepre inseguire. Un cacciatore cattura la sua lepre se con la sua mossa finisce nella casella dove essa si trova; se si trovasse nella stessa casella della lepre dell’altro cacciatore non succederebbe nulla, perché nessuno ruberebbe mai il lavoro altrui. Se però dopo 15 mosse i cacciatori non sono riusciti a catturare le lepri, queste otterranno però la libertà. Riusciranno i cacciatori a vincere?
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44. Stakanov and friends
Durante i primi gloriosi tempi della Rivoluzione d’Ottobre, prima della degenerazione staliniana, a una squadra di contadini fu assegnato l’incarico di arare due campi, uno dei quali aveva superficie doppia dell’altro. La squadra si dedicò al campo più grande per mezza giornata; poi si divise a metà, e nell’altra mezza giornata le due sottosquadre lavorarono su entrambi i campi. Alla fine della giornata il campo grande era stato arato completamente; rimaneva ancora un pezzetto del campo piccolo, che un contadino terminò lavorando da solo per tutto il giorno successivo.
Supponendo che tutti i contadini lavorassero alla stessa velocità, di quanti uomini era composta la squadra?
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45. Problemi di vestizione
Era ancora notte fonda, ma Karl Heinz Grüber doveva assolutamente partire per l’aeroporto, e si trovava a rovistare nel cassetto dei calzini, perché la sera prima si era dimenticato di prepararli con gli altri vestiti; il tutto al buio, per non svegliare la moglie Gudrun. Nel cassetto c’erano 10 paia di calzini bianchi e 10 paia di calzini grigi (essendo tedesco, Karl Heinz non trovava nulla di strano nel girare con i calzini corti bianchi e le Birkenstock). Quanti calzini dovette prendere per essere certo di averne due dello stesso colore?
Curiosamente, la settimana successiva fu Gudrun a compiere un’operazione analoga, aprendo però il cassetto superiore dove c’erano 10 paia di guanti bianchi e 10 paia di guanti neri: una signora come lei non sarebbe mai andata a un ricevimento senza indossare un paio di guanti. Quanti guanti dovette prendere Gudrun per essere certa di averne un paio dello stesso colore?
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46. Saper scegliere la propria strada
A Gaia piace andare a scuola. Ha infatti l’occasione di attraversare insieme al nonno tutto il quartiere modello dove vive, raffigurato schematicamente in figura: la sua casa sta all’angolo nord-ovest del quartiere mentre la scuola è a quello sudest. Gaia è una bimba curiosa e ogni giorno vorrebbe fare una strada diversa (solo all’andata, al ritorno no: anche se non l’ho indicata, all’angolo sud-ovest c’è una gelateria...). Non vuole però allungare inutilmente il percorso, per evitare di arrivare in ritardo: i due camminano quindi solo in direzione est o sud. In quanti modi nonno e nipotina possono scegliere un percorso diverso?
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47. Barbecue estivo
In spregio a tutte le norme contro l’inquinamento atmosferico, John Bull ha deciso di sfruttare la giornata di sole per fare un bel barbecue come quelli di una volta: lui, la moglie Samantha e il figlioletto Junior. Beh, figlioletto non è forse il termine giusto per un ragazzone di 1 metro e 80 per 90 kg! Le tre bistecche da 8 etti cadauna sono lì belle pronte, così come le due bistecchiere: in omaggio allo stile “se non sono carbonizzate non ci piacciono”, ogni bistecca verrà lasciata cuocere per 5 minuti da ogni lato.
John si gratta la testa e fa due conti: “In 10 minuti posso cuocere le prime due bistecche, e poi me ne serviranno altri 10 per la terza. Quanto tempo ci vuole per riuscire a fare un bel pranzetto!” Samantha, bionda ma non certo stupida, lo interrompe: “Non preoccuparti, caro: possiamo farcela più in fretta!” In quanto tempo si possono cuocere le tre bistecche? Supponete che togliere e girare una bistecca sia un’operazione istantanea.
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48. Scateniamoci!
Non è bello trovarsi in un paese straniero senza soldi. Al giorno d’oggi abbiamo carte di credito e bancomat, ma in passato non era così! A un mio antenato era capitato di non avere denaro liquido nei primi decenni dell’Ottocento. L’unico bene di valore che aveva era una catena d’argento formata da sette anelli: sapendo che il denaro che aveva richiesto a casa gli sarebbero arrivati al più tardi in una settimana, fece un patto con il suo albergatore. Il primo giorno gli avrebbe lasciato in pegno un anello della catena, il secondo due, e così via fino al settimo giorno. L’albergatore si impegnava a non vendere gli anelli fino alla fine della settimana, in modo che il mio avo potesse poi rientrare in possesso della catena una volta saldati i conti.
Il mio antenato non voleva però aprire tutti gli anelli della catena, anche perché poi avrebbe dovuto farli richiudere e spendere soldi. Qual è il modo più economico per tagliarla che permette di dare ogni giorno all’albergatore il numero necessario di anelli?
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49. Il taglio della torta
A me la Sachertorte piace tanto. Dalle parti di casa mia c’è una pasticceria che riesce a mettere la glassa anche sotto la torta, il che è fantastico. Il guaio è che non sono il solo ad apprezzare la Sacher e quindi quando ci troviamo tra amici dobbiamo sempre dividercela equamente. Visto che la torta è a forma di cilindro perfetto, dividerla in due è facile: la tagliamo a metà, e rimangono due semicilindri. Anche la divisione in quattro parti è facile: due tagli perpendicolari e si hanno quattro fette. La scorsa settimana però eravamo in otto, e il nostro tagliatore specializzato ha fatto ben quattro tagli, con le proteste di tutti perché il coltello se l’è poi pulito lui guadagnandosi delle preziose briciole di torta. È possibile fare di meglio? Non è permesso riposizionare le fette tra un taglio e l’altro, altrimenti ci si impiastriccia tutti.
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50. Una losanga è per sempre
Il quartiere modello di Casalpusterlengo 2 si fregia di un laghetto sulla piazza centrale. Il lago è a forma di rombo, all’interno di una pavimentazione rettangolare a piastrelle inscritta a sua volta in un prato circolare come si vede in figura. L’architetto Le Cordusieur, nella conferenza stampa di inaugurazione del laghetto, ha spiegato che il cerchio simboleggia la natura, il rettangolo l’opera dell’uomo, e il rombo, un po’ come il diamante, l’eternità. Il pubblico, che si era distratto durante lo sproloquio dell’architetto, si è risvegliato solo quando un ragazzino ha chiesto quant’era lungo il lato del laghetto. Le Cordusieur si è fermato, la sua faccia ha assunto una smorfia, e ha bofonchiato “Oui, i prosgettì mi dicono che la lunghessa a è cinque metri mentre b è di quattro metri. Ci sarà sicuramànt una modalità di calcolare il lato, oui...”. Potete aiutare l’architetto?
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51. Gira la carta
In un test attitudinale vi viene spiegato che le carte che vi mostreranno hanno da un lato un numero, che può essere pari oppure dispari, e dall’altro possono avere un cancelletto (#) oppure una chiocciola (@). Voi dovete verificare se l’affermazione “tutte le carte con un numero pari hanno sul dorso un cancelletto” è vera oppure falsa, girando il numero minimo di carte necessario. Se le carte che vi vengono mostrate sono quelle qui sotto, quante e quali voltereste?
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52. Quadrature varie
Nonostante alcuni irriducibili ci tentino ancora, è stato dimostrato che la quadratura del cerchio (costruire cioè con riga e compasso un quadrato della stessa area di un cerchio dato) è impossibile. Però possiamo calcolare l’area di alcune particolari figure curvilinea: Ippocrate di Chio era riuscito a quadrare delle lunule, e Archimede un arco di parabola.
Se volete cimentarvi con una quadratura, guardate il disegno qui sotto. I punti indicati sulla circonferenza sono tutti equidistanti: se l’area del cerchio è 100 cm2, qual è l’area della parte grigia?
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53. Il giro dell’isola
L’isola di Triabol ha una curiosa caratteristica: tutti gli incroci che vi si trovano sono fatti a Y, con tre strade che arrivano all’incrocio. Loris, con la sua moto, a un certo punto si è perso e, non sapendo esattamente cosa fare, ha deciso di seguire un algoritmo ben preciso per spostarsi: al primo incrocio girerà a destra, al secondo a sinistra, al terzo a destra e così via. Dimostrate che Loris prima o poi passerà di nuovo dal punto di partenza.
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54. Triangolare il cubo
Prendete un cubo, scegliete un vertice e disegnate le diagonali di due delle facce del cubo che partono da quel vertice, come nella figura. Quanto misura l’angolo tra i due segmenti?
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55. Al fuoco!
La scorsa estate piantai la mia tenda non troppo lontano da un canale (perfettamente rettilineo in quel tratto), e a una certa distanza da quella del mio amico Gino, visto che ciascuno di noi ci tiene alla propria privacy. La notte mi svegliai sentendo uno strano odore e mi accorsi che la tenda di Gino stava bruciando. Avevo con me un secchio, ma non avevo acqua, e quindi sono dovuto passare prima dal canale per riempirlo. Considerando che non mi fidavo di correre al buio, quindi col secchio pieno o vuoto mi sarei mosso alla stessa velocità, e visto che per ovvie ragioni cercavo di fare il più in fretta possibile, in quale punto del fiume mi è convenuto prendere l’acqua?
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56. Stesso perimetro, area diversa
Un triangolo equilatero e un esagono regolare hanno lo stesso perimetro. Qual è il rapporto tra le loro aree?
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57. Spaccaquindici
A un tavolo di uno stand della fiera del paese era disegnata una fila di nove rettangoli, numerati da 1 a 9. L’imbonitore invitava i passanti a giocare contro di lui e spiegava le semplici regole. Giocare una partita contro di lui costava 50 centesimi. I due contendenti selezionavano a turno un rettangolo. Se il giocatore riusciva ad averne tre la cui somma fosse 15, allora avrebbe vinto 50 euro. Se invece avesse vinto l’imbonitore, il giocatore avrebbe dovuto pagargli 5 euro; se nessuno dei due fosse riuscito a “spaccare il quindici” non sarebbe successo nulla.
Ho provato a giocare, e ho messo il mio segnalino sul 7, al che l’imbonitore ha giocato sull’8. Ho proseguito col 2, e lui ha subito risposto con il 6, per evitare che facessi 15. A questo punto sono stato costretto a giocare l’1; l’imbonitore ha scelto il 4 e sorriso, visto che alla mossa successiva avrebbe potuto scegliere il 3 oppure il 5 e vincere in ogni caso, e io non avevo nessuna possibilità di anticiparlo facendo 15 prima di lui. Ho pagato i miei 50 centesimi evitando di cimentarmi in una rivincita che temevo si sarebbe risolta in un’altra disfatta; ma avrei potuto vincere la partita giocando meglio?
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58. Conigli e polli
Questo problema potrebbe essere assegnato a scuola e risolto pedissequamente, ma la soluzione si può anche trovare in maniera molto poco scolastica.
Un ragazzo vede in un cortile alcuni conigli e alcuni polli. Conta 18 teste e 58 zampe. Quanti polli e quanti conigli ci sono nel cortile?
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59. Un circolo affollato
All’Ipermercato della Geometria Piana c’è un’offerta speciale: un numero sterminato di cerchi di raggio pari a un centimetro, tutti garantiti avere al loro interno un milione di punti distinti tra loro e colorati – altrimenti come potreste riconoscerli? Preso uno qualsiasi di questi cerchi, è possibile tracciare una retta, che non deve necessariamente passare dal centro del cerchio, che divida equamente i punti, mezzo milione per parte? (L’immagine ha solo lo scopo di presentare il prodotto)
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60. Zero spaccato
Il test di ammissione alla Facoltà di Matematica consiste in 25 domande. Vengono assegnati 8 punti per ogni risposta corretta, e tolti 5 punti per ogni risposta sbagliata oppure non data. Una volta pubblicati i risultati, Paolino sbottò: “Non è possibile! Il mio punteggio è esattamente zero!” A quante domande aveva risposto correttamente Paolino?
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61. Aree sovrapposte
Nella figura qui sotto potete vedere due cerchi parzialmente sovrapposti. I raggi rispettivi sono di 20 e 15 cm, e l’angolo formato dai due raggi che passano per i punti di contatto è retto. Qual è la differenza tra le aree delle lunule formate dalle parti non sovrapposte dei due cerchi?
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62. I diciassette cammelli
Un racconto che non è riuscito a finire nell’edizione ufficiale delle Mille e una notte narra di un carovaniere che alla sua morte lasciò in eredità ai suoi tre figli maschi (le femmine a quei tempi contavano ancora meno di adesso) i suoi 17 cammelli, richiedendo però che la metà andasse al figlio maggiore, un terzo a quello di mezzo e un nono al minore. Come fecero i figli a suddividersi il lascito senza dover mangiare carne di cammello per vari mesi?
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63. Legare il mondo
Nella sua ultima opera, la famosa artista concettuale Marianna Isaccovich ha steso una corda lungo l’equatore della Terra (che per comodità di calcolo potete supporre essere un cerchio perfetto lungo 40.000 km). Isaccovich ha poi pensato di modificare la sua opera: ha allungato di un metro la corda e l’ha fatta sospendere uniformemente sulla superficie terrestre, ovunque alla stessa distanza: non ho idea di quanto abbia speso in tiranti. La domanda è però un’altra: secondo voi un gatto riuscirà a passare sotto la corda?
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64. Tutti meno uno
La schermata iniziale di un videogioco (uno di quelli educativi ai quali nessuno vuole mai giocare) mostra un certo numero di pedine bicolori, bianche e nere: all’inizio sono tutte con il lato nero visibile. Cliccando su una qualsiasi pedina, non le succede nulla; in compenso tutte le altre cambiano colore, da nera a bianca e viceversa. Scopo del gioco è far diventare tutte le pedine bianche. È sempre possibile riuscirci?
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65. Scrivendo del più e del meno
Carlo e Alice hanno scritto una fila di segni meno (“−”) sulla lavagna della scuola e iniziano a giocare così: a turno, ciascuno di loro può aggiungere una barretta verticale a uno dei meno oppure a due meno consecutivi, in modo da trasformarli in segni più (“+”). Chi non ha più a disposizione segni meno da convertire perde la partita.
Se Alice è la prima a fare una mossa, può assicurarsi la vittoria? Oppure è Carlo ad avere una strategia vincente?
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66. Sciogliere i nodi
Nella figura qui sotto è schematizzato un bastone (A) a cui sono legati tre fili che poi sono fatti passare uno sopra l’altro in varie convoluzioni. Con buona probabilità, se legassimo questi tre fili a un altro bastone posizionato sulla riga tratteggiata essi risulterebbero annodati; almeno è quanto capita sempre con i cavi dei dispositivi collegati al mio PC. Ma riuscireste a prendere altri tre fili, legarli ai tre originali e al bastone (B) posizionato più sotto, in modo tale che i tre fili alla fine non rimangano annodati?
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67. Al casinò
Uno dei più recenti giochi d’azzardo introdotto al casinò di Baden-Baden prevede che il croupier lanci un comune dado, sommando man mano i punteggi ottenuti, fino a che non raggiunge oppure supera il totale di 42. Alla fine del gioco si otterrà pertanto un punteggio compreso tra 42 e 47. Qual è il punteggio più probabile che si può ottenere?
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68. Tiro al bersaglio
Tre tiratori sparano a una sfera che oltre a muoversi di qua e di là gira rapidamente su sé stessa in modo casuale, cambiando sempre asse di rotazione ed esponendo quindi nel tempo tutta la superficie ai tiratori. Se tutti e tre riescono a colpire la sfera, qual è la probabilità che i tre proiettili si trovino tutti su una stessa semisfera?
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69. Diamoci la mano!
Ogni persona vissuta sulla Terra da Adamo ed Eva in poi (o se preferite dai primi ominidi in poi) ha stretto la mano a un certo numero di persone (magari zero, nel caso la sua religione vieti un simile contatto in quanto peccaminoso). Dimostrate che il numero di persone che ha dato la mano a un numero dispari di persone è pari.
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70. Bisecare lo Yin e Yang
Conoscete il simbolo dello Yin e Yang? È formato essenzialmente da un cerchio diviso da due semicerchi in due parti uguali (sovrapponibili per rotazione) e che simboleggia la dualità dei princìpi. La figura originale in realtà conterrebbe un piccolo Yin dentro lo Yang e viceversa, per ricordarsi che nel mondo i princìpi non sono mai puri, ma in questo problema usiamo l’approssimazione raffigurata qui sotto.
Tracciate una retta che passi per il centro e che divida a metà sia la parte bianca che la nera.
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71. Bisettore minimale
Prendete un triangolo equilatero e tracciate una curva al suo interno in modo da dividerlo in due parti di area uguale, anche se naturalmente di forma diversa. Qual è il tipo di curva di lunghezza minima? È sufficiente dare una risposta qualitativa (ad esempio, “due segmenti che passano per il baricentro del triangolo”, senza specificare dove i segmenti incontrano i lati).
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72. La marcia delle formiche
Su una barra lunga 1 metro posizionata in direzione est-ovest sono piazzate a caso 25 formiche puntiformi. Lo so che una formica non è mai effettivamente puntiforme, ma un matematico non riesce a fare a meno delle approssimazioni! La tredicesima formica da sinistra è una nostra vecchia conoscenza, Federica Formica. Le formiche guardano in maniera casuale verso ovest o verso est. Al via tutte si muovono contemporaneamente nella direzione in cui stanno guardando, alla velocità di un 1 cm al secondo; se due formiche si incontrano, cambiano immediatamente direzione. Quando una formica arriva a un estremo della barra, casca giù (non preoccupatevi, sotto la barra c’è un cuscino: nessuna formica è stata maltrattata nella preparazione di questo problema.) Dopo quanto tempo siamo certi che anche Federica non si troverà più sulla barra?
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73. Il solitario dell’urna
Avete davanti a voi un’urna che contiene 100 schede, alcune rosse e altre verdi; sapete che ce n’è almeno una di ciascuno dei due colori. Estraete a caso una scheda, guardate il suo colore e la mettete da parte. Continuate a estrarre schede: fino a che le schede che prendete sono dello stesso colore della prima continuate a toglierle, altrimenti rimettete l’ultima scheda estratta nell’urna e terminate la prima mossa. A questo punto ricominciate da capo, scegliendo come nuovo colore da eliminare quello che apparirà alla prima estrazione, e continuate a togliere (e ogni tanto a rimettere) schede fino a che non ce ne saranno più. Se l’ultima scheda estratta è verde, avete vinto; se è rossa, avete perso.
Quante schede rosse e quante schede verdi vi conviene chiedere che siano inserite inizialmente per massimizzare la probabilità di vittoria?
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74. Monete in fila
Su un tavolo sono state messe in fila 50 monete di vari valori, da 1 centesimo a 2 euro. Arianna inizia a giocare prendendo una moneta da uno dei due estremi della fila; poi anche Bruno prende una moneta da uno qualunque dei due estremi. Il gioco continua così, con Arianna e Bruno che si alternano a prendere una moneta da uno degli estremi della fila finché tutte le monete sono finite nelle loro tasche. Dimostrate che Arianna ha una strategia che le permette di guadagnare almeno tanti soldi quanto Bruno.
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75. Schieramenti trasversali in Parlamento
In una lontana nazione oceanica, i parlamentari vengono eletti dal popolo, ma il re può decidere a quale delle due Camere essi apparterranno. Il re è interessato non tanto a creare maggioranze favorevoli alla sua linea politica (che consiste principalmente in “stiamo più tranquilli possibile”) quanto nell’evitare le liti interne ai singoli rami del Parlamento.
Fortunatamente dopo le elezioni si è scoperto che nessun parlamentare ha più di tre nemici tra gli eletti. L’essere nemici è una relazione simmetrica: se A è nemico di B allora B è nemico di A. Dimostrate che il re può formare le due Camere in modo che ciascun parlamentare abbia al massimo un solo nemico nella sua stessa Camera.
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76. Il nemico ti osserva!
Durante un’esercitazione militare, un gruppo di 17 soldati si dispone nella piazza d’armi in modo che non ci siano due coppie di soldati alla stessa distanza; a tutti viene poi dato l’ordine di osservare il soldato a loro più vicino. Dimostrate che c’è almeno un soldato che non viene osservato da nessun altro.
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77. (Quasi) sempre dritto
I nove punti qui sotto sono disposti a forma di quadrato. Visto che il quattro è un numero che ha una sua certa quadratura, provate a toccare tutti i punti disegnando quattro segmenti, senza mai sollevare la matita dal foglio. Potete orientare i segmenti come volete, ma sia i segmenti sia i punti devono essere considerati senza spessore: non vale insomma dire “uso un pennarello molto spesso, così mi basta un solo tratto per ricoprire tutto!”
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78. Giro del mondo in economia
Durante la seconda missione inviata per l’esplorazione del satellite Tayoto (la prima era fallita per un’improvvida scelta del comandante, che aveva trascurato una macchiolina all’orizzonte ed era stato spazzato via insieme a tutto l’equipaggio da una tempesta magnetonucleare) il Comando Astrale decise di usare la Sat Rover in dotazione alla flotta per fare un periplo completo del satellite sulla pista equatoriale.
Purtroppo però c’era un problema: il serbatoio della Sat Rover era sconsolatamente vuoto e la quantità totale del carburante presente nei vari depositi sparsi per la pista era esattamente sufficiente per completare il periplo. Considerando che la Sat Rover può essere fatta “attayotare” in un punto qualunque della pista, e sapendo che il suo serbatoio è abbastanza capiente per riuscire a fare tutto il giro del satellite con un singolo pieno (se solo ci fosse la possibilità di farlo...) è possibile farle completare il percorso?
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79. Il barbiere di Russell
Non so se avete mai sentito parlare del paradosso del barbiere di Russell. No, non è il barbiere che spuntava i capelli alla buonanima di sir Bertrand, ma un controesempio che il logico inglese presentò per far crollare la teoria degli insiemi che Gottlob Frege aveva costruito e pubblicato. Nel paradosso si parla di un villaggio dove c’è un unico barbiere, che fa la barba a tutti gli uomini che non si fanno la barba da sé, e solo a loro. La domanda che poneva Russell è “chi fa la barba al barbiere?” Se non se la fa da sé allora per definizione deve farsela, ma se si fa la barba da sé allora, sempre per definizione, non può farsela! Eppure né Frege né Russell si accorsero che c’era una soluzione al problema. Qual è? Supponete che in quel villaggio nessun uomo si lasci crescere la barba, e non ci siano scambi di barbieri con i paesi vicini.
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80. Vecchi e nuovi amici
Xavier e Yolanda vanno una sera a cena con altre quattro coppie. Non tutte le persone si conoscono tra loro: nelle inevitabili presentazioni che si fanno, i due nuovi conoscenti si stringono la mano. Alla fine della serata, Xavier (che presumibilmente soffre di una sindrome compulsiva catalogatrice) chiede a tutti con quante persone si sono date la mano e si accorge che ciascuno degli altri ha stretto le mani a un numero diverso di persone. Quante mani ha stretto Yolanda?
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81. La cifra mancante
Le potenze di 2 crescono abbastanza velocemente, come sanno tutti coloro che sono abituati a lavorare con l’informatica e in un attimo si trovano a dover gestire numeri di pochi bit che però possono rappresentare numeri enormi. Per esempio, il numero 229 è composto da nove cifre, tutte diverse. Qual è la cifra mancante?
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82. L’altra faccia della medaglia
Un sacchetto contiene tre monete piuttosto particolari. O meglio, una di esse è assolutamente normale, ma la seconda ha su entrambe le facce una testa e la terza ha su entrambe le facce una croce. Si estrae una di queste monete a caso, la si lancia, e si osserva che è uscita testa. Qual è la probabilità che anche l’altro suo lato abbia una testa?
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83. Carta d’imbarco
Il volo ZA042 da Saarbrücken a Cuneo Levaldigi era stato completamente riempito: tutti e 100 i posti erano stati venduti. I tedeschi, con la loro notoria precisione, avevano aperto il gate al minuto spaccato e ora facevano entrare uno alla volta i passeggeri. Il primo di loro, arrivato in carlinga, si accorse però di aver perso la propria carta d’imbarco nel finger: scrollò le spalle, e scelse un posto a caso. Man mano che gli altri passeggeri arrivavano (tutti con la carta d’imbarco, non può esserci più di un distratto in Germania!) essi si sedettero al posto loro assegnato se era libero, altrimenti scelsero anch’essi un posto a caso. Qual è la probabilità che l’ultimo a entrare si sia seduto al posto corretto?
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84. Il Pentagono
Il Pentagono è un edificio a forma di... pentagono regolare. Se poteste esserci molto vicino senza che i sistemi di sicurezza vi abbiano sparato, ovviamente ne vedreste solo una faccia, a meno che non siate proprio davanti a un suo angolo; se vi allontanate abbastanza, per esempio al doppio della lunghezza di un suo lato, vedrete sempre due lati oppure tre. Se vi trovate proprio sul prolungamento di un lato possiamo discutere se vedete quel lato o no; ma la probabilità di trovarsi proprio lì è infinitesima, e quindi possiamo tralasciare le eccezioni. In generale, sarà più probabile vedere due o tre lati?
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85. Corona e àncora
Un gioco piuttosto diffuso nei Paesi di lingua anglosassone è chiamato con molta fantasia in Italia “Corona e àncora”, traducendo letteralmente il nome originale “Crown and Anchor”. Il gioco prevede che il banco lanci tre dadi speciali, che hanno raffigurati sulle facce i quattro semi delle carte, una corona e un’ancora: da qui il nome, anche se si possono tranquillamente usare tre dadi normali. I giocatori puntano sull’uscita di una figura: se la riporta uno dei dadi, vincono la posta giocata; se la riportano due dadi, vincono il doppio della posta; se a riportarla sono tutti e tre i dadi, vincono il triplo della posta. Secondo voi, il gioco è equo oppure no?
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86. Un esagono pieno di rombi
Prendete un esagono e dividetelo in tanti triangoli equilateri, come nella figura qui sotto. Considerate ora i tre tipi di rombo che si possono formare unendo due triangoli, e ricoprite esattamente l’esagono con questi rombi, senza sovrapposizioni. Dimostrate che il numero di rombi per ciascuna orientazione è lo stesso.
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87. Rosso oppure nero?
Tristano e Isotta hanno inventato un gioco di scommesse con le carte. Isotta prende un normale mazzo di carte, lo mischia, e inizia a girare lentamente una carta per volta. Tristano può fermarla in un qualsiasi momento, annunciando “Scommetto che la prossima carta sarà rossa!”: se in effetti è rossa, allora vince, altrimenti perde. Tristano è obbligato a fare una previsione; se continua a tacere fino a che Isotta scopre la penultima carta, deve per forza affermare che l’ultima carta è rossa. Qual è la sua strategia migliore?
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88. Tutti per uno
A un numero non meglio identificato n di prigionieri di una ciurma di pirati particolarmente sadica viene messo un cappello in testa: il cappello può essere bianco oppure nero, e come sempre capita in questi problemi nessuno può vedere di che colore sia il proprio cappello. I prigionieri vengono poi bendati e spostati tutti insieme, in modo che ciascuno possa vedere il colore dei cappelli degli altri: a questo punto vengono condotti nella propria cella e viene chiesto separatamente a ciascuno di loro di quale colore sia il proprio cappello. I prigionieri verranno giustiziati a meno che tutti indovinino correttamente il colore del proprio cappello, oppure tutti lo sbaglino. I prigionieri possono discutere una strategia prima dell’operazione, ma poi non potranno più comunicare tra loro. Riusciranno a salvarsi?
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89. Luci della ribalta
Vi trovate in una stanza con n lampadine (almeno due) messe in cerchio, inizialmente tutte accese; sotto ogni lampadina c’è un interruttore che la accende o la spende. Scegliete una qualsiasi lampadina, guardate se era accesa o spenta, e passate a quella successiva in senso orario. Se la lampadina dove eravate prima era accesa, azionando l’interruttore; se era spenta, non fate nulla. Guardate com’è la lampadina davanti a voi e continuate a ripetere la stessa operazione, azionando o no l’interruttore della lampadina successiva a seconda se quella che avete guardato era accesa o spenta. Dimostrate che proseguite per un tempo sufficiente a compiere questa operazione, a un certo punto le lampadine saranno di nuovo tutte accese.
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90. Chomp
Alberto e Fred hanno messo le mani su un’altra tavoletta di cioccolato dopo quelle divorate nel problema 42, e hanno pensato di usarla per un nuovo gioco. Ciascuno di loro a turno, partendo da Alberto, sceglie un singolo quadretto e se lo prende, assieme a tutti quelli che si trovano sopra e alla sua destra. Dopo ogni mossa rimarrà pertanto un pezzo di tavoletta a forma di L, a meno che uno dei due non scelga un quadretto nella riga più in basso o nella colonna più a sinistra, nel qual caso si avrebbe un rettangolo. L’unico problema è che chi mangerà il quadretto in basso a sinistra dovrà poi rimettere in ordine la stanza, quindi i nostri eroi lo vogliono evitare a tutti i costi. Dimostrate che Alberto può sicuramente lasciare a Fred l’onore di riordinare la stanza.
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91. Triello
Ada, Bice e Clara hanno deciso di fare un duello all’ultimo sangue, o meglio all’ultimo gavettone, per decidere chi di loro potrà chiedere a Zeno se vorrà essere il suo accompagnatore ufficiale al ballo di fine anno. Chi viene colpita si ritira dalla tenzone; ciascuna di loro sa che Ada colpisce l’avversaria una volta su tre, Bice due su tre, mentre Clara ci riesce sempre. I lanci dei gavettoni saranno fatti in ordine: inizierà Ada, seguirà Bice, poi Clara, se necessario tirerà di nuovo Ada e così via. Qual è la strategia migliore per Ada?
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92. Monete sul tavolo
Avete messo 100 monete uguali (perfettamente rotonde) su un tavolo in modo tale che sia impossibile aggiungerne un’altra senza che ne tocchi qualcuna già presente. Le monete non possono toccarsi: possono però oltrepassare i bordi del tavolo, basta che il loro centro resti al suo interno in modo che non cadano a terra.
Dimostrate che se invece di 100 monete ne avete 400, potete coprire completamente il tavolo, senza che nessun punto rimanga esposto: a differenza di prima, vi è permesso sovrapporre in parte una moneta a un’altra. Le monete si suppongono di spessore nullo e quindi sovrapponibili senza problemi.
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93. Sacchetti di biglie
Vi è stato regalato un numero esorbitante di biglie. Se avete con voi 15 sacchetti (tutti girano sempre con almeno una dozzina di sacchetti in tasca, no?) e volete riempirli con il numero minimo possibile di biglie per cui ogni sacchetto ne abbia un numero diverso, quante biglie vi servono?
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94. Rotola, matita, rotola
Se usate ancora le matite in legno a cui bisogna fare la punta, immagino saprete che in genere hanno una sezione esagonale. Un amico mi ha stupito, però, arrivando con una matita a sezione pentagonale: in effetti mi ero sempre chiesto se avesse frequentazioni diaboliche. Per il resto, la matita era assolutamente normale: su uno dei lati c’era anche scritta la marca (Faust... Ve l’avevo detto, che non mi fidavo troppo del mio amico?). Con un sogghigno, mi ha invitato a far rotolare la matita sul tavolo, e mi ha chiesto qual è la probabilità che rimanga con la faccia scritta all’insù. Sapreste aiutarmi?
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95. Patata time
Prendete due patate e un pennarello. Dimostrate che è possibile usare il pennarello per tracciare una curva (non necessariamente planare) sulla superficie di ciascuna patata in modo tale che le due curve, togliendo la patata e lasciando solo il segno con il pennarello, siano esattamente sovrapponibili dopo una traslazione e un’eventuale rotazione.
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96. Lucchetti
A Kleptonia la situazione delle poste locali è tragica: ogni pacco postale viene aperto, a meno che non sia chiuso con un lucchetto. Bruno vorrebbe mandare ad Alice un anello per posta; purtroppo entrambi hanno tante scatole e tanti lucchetti, come si può bene immaginare vista la situazione, ma nessun lucchetto di cui entrambi abbiano la chiave... e naturalmente non si può mandare la chiave per posta! Riuscirà Bruno a fare arrivare l’anello ad Alice?
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97. Test di resistenza
La Struzzuovo S.p.A. sta preparando una campagna pubblicitaria per far conoscere ai potenziali clienti i vantaggi delle uova di struzzo rispetto a quelle di gallina. Tra le varie caratteristiche proposte, c’è la loro maggior solidità; la Struzzuovo ha così pensato di fare una serie di test lanciando un uovo dai vari piani dell’Empire State Building fino a che non si rompe. Purtroppo però sono state messe a disposizione solamente due uova per i test. Si suppone che entrambe le uova abbiano esattamente la stessa resistenza e che nessun uovo subisca dei microdanni dopo un lancio; o si spacca o rimane intatto.
Se ci fosse un solo uovo, l’unico modo di fare i test è partire dal primo piano e andare su man mano di un piano per volta, fin quando l’uovo si rompe; nel peggiore dei casi (un uovo indistruttibile) occorreranno pertanto 101 lanci. Con due uova, ce ne vorranno sicuramente di meno. Ma quanti ne servono?
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98. Righe e colonne
Mattina di esercitazioni in caserma: e si sa che a comandare sono sempre in troppi. I 42 soldati del plotone siano stati messi in formazione rettangolare, sei righe per sette colonne, e il capitano ha ordinato che in ciascuna riga i soldati si disponessero in ordine dal più basso al più alto. Ha poi lasciato il comando al tenente che subito, per dimostrare che anche lui contava qualcosa, ha ordinato che i soldati di ciascuna colonna si disponessero in ordine dal più basso al più alto. Il capitano, sentito l’ordine gridato dal tenente, è tornato immediatamente indietro, pronto a fare una lavata di capo al tenente: solo che si è accorto che nonostante la seconda manovra i soldati continuavano a rimanere anche ordinati per riga, oltre che per colonna.
La competenza matematica del capitano non era eccelsa, e così è rimasto stupefatto di quello che in seguito definì “un caso assolutamente fortuito che mostra solo la fortuna di quel tenentino.” Dimostrate invece che doveva per forza essere così.
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99. Camaleonti
In un’isola viene introdotta una colonia di camaleonti: inizialmente ce ne sono 20 verdi, 18 gialli e 16 rossi. Ogni volta che due camaleonti di colore diverso si incontrano, cambiano colore secondo la loro abitudine; essendo poi i camaleonti molto educati e non volendo prevaricare sul compagno, entrambi assumono il terzo colore, cioè quello che nessuno dei due ha. Non capita mai che si incontrino più di due camaleonti per volta. Potrà mai succedere che diventino tutti di un unico colore?
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