La geometria non-euclidea/Capitolo IV/Nicola Ivanovic Lobacefski (1793-1856)
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NICOLA IVANOVIC Lobacefski [1793-1856](78).
§ 39. Lobacefski studiò matematiche all'Università di Kasan, sotto la direzione del tedesco J. M. C. Bartels [17691836], amico e compaesano di Gauss; si laureò nel 1813 e rimase all'Università prima come assistente, poi come professore, insegnandovi tutti i rami della matematica ed anche la fisica e l'astronomia.
Nel 1815 Lobacefski già si occupava delle parallele e in un suo manoscritto, relativo alle lezioni del 1815-17, si trovano alcuni tentativi per la dimostrazione del V postulato e ricerche simili a quelle di Legendre. Però solo dopo il 1823 concepì la Geometria immaginaria. Ciò risulta da un suo trattato manoscritto sulla geometria elementare, ove è detto che non si possiede alcuna dimostrazione del V postulato, ma che una tale dimostrazione non dev'essere impossibile.
Fra il 1823 ed il 1825 le idee di Lobacefski si orientarono verso una geometria indipendente dall'ipotesi d'Euclide, ed il primo frutto dei nuovi studi è l'«Exposition succinte des principes de la géométrie, avec une demonstration rigoureuse du théorème des parallèles.», presentata i1 12 [24] febbraio 1826 alla sezione fisico-matematica dell'Università di Kasan. In questa «Lettura», il cui manoscritto non fu rinvenuto, Lobacefski espone i fondamenti d'una geometria più generale dell'ordinaria, ove per un punto passano due parallele ad una retta ed in cui la somma degli angoli d'un triangolo è minore di due angoli retti [ip. ang. acuto di Saccheri e Lambert].
Nel 1829-30 affidò poi alla stampa una memoria «Sui fondamenti della geometria.»1, contenente la parte essenziale della precedente «Lettura» ed ulteriori applicazioni della nuova teoria all'analisi. Successivamente uscirono la «Geometria immaginaria.» [1835]2, i «Nuovi fondamenti della geometria con una completa teoria delle parallele.» [1835-38]3, le «Applicazioni della geometria immaginaria a qualche integrale.» [1836]4; poi la «Géométrie imaginaire.» [1837]5 e nel 1840 l'opuscolo riassuntivo: «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien.»6, scritto in lingua tedesca e destinato da Lobacefski a richiamare l'attenzione dei geometri sulle sue ricerche. Finalmente nel 1855, un anno avanti la morte, egli, già cieco, dettò e pubblicò in lingua russa e francese una completa esposizione del suo sistema geometrico, sotto il titolo « Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles.»7.
§ 40. La geometria non-euclidea, quella stessa concepita da Gauss e Schweikart intorno al 1816, studiata da Taurinus sotto forma d'un sistema astratto nel 1826, entrava nel 1829-30 a far parte del pubblico patrimonio scientifico.
Per accennare nel modo più rapido il metodo seguito da Lobacefski nella costruzione della «Geometria immaginaria» o «Pangeometria», riferiamoci alle sue «Ricerche geometriche sulla teoria delle parallele» del 1840.
In esse Lobacefski, dopo aver premesso un gruppo di teoremi indipendenti dalla teoria delle parallele, considera 
sul piano un fascio di centro A ed una retta BC che non gli appartenga. Sia AD la retta del fascio perpendicolare a BC ed AE la retta perpendicolare ad AD. Questa retta, nel sistema euclideo, è l'unica che non interseca BC. Nella geometria di Lobacefski esistono nel fascio A altre rette non secanti BC: le non secanti sono separate dalle secanti da due rette h, k, che alla loro volta non incontrano BC [cfr. Saccheri, p. 36].
Queste rette, che l'autore chiama parallele, hanno ciascuna un determinato verso di parallismo: la h della nostra figura corrisponde al verso destro, la k al verso sinistro. L'angolo formato dalla perpendicolare AD con una delle parallele è l'angolo di parallelismo corrispondente alla distanza AD. Lobacefski usa il simbolo pi greco (a) per denotare l'angolo di parallelismo corrispondente alla distanza a. Nell'ordinaria geometria si ha costantemente: pi grecoo (a) = 90°; in quella di Lobacefski pi greco (a) è una ben determinata funzione di a, che tende a 90° quando a tende a zero, che tende a zero quando a tende all'infinito.
Dalla definizione di parallele l'autore deduce poi le loro principali proprietà, cioè la conservazione, la reciprocità, la transitività del carattere di parallelismo [cfr. Gauss, §. 34] e il comportamento asintotico delle parallele.
La dimostrazione di queste proprietà è preceduta dai teoremi sulla somma degli angoli d'un triangolo, quegli stessi già dati da Legendre e prima ancora da Saccheri. Può quindi supporsi che Lobacefski conoscesse le ricerche di questi geometri, segnatamente del primo.
Ma la parte più importante della «Geometria immaginaria» è la costruzione delle formule trigonometriche.
Per dedurle l'autore introduce due nuove figure: l'oriciclo [cerchio di raggio infinito; cfr. Gauss, §. 34] e l'orisfera [sfera di raggio infinito], che nell'ordinaria geometria sono rispettivamente la retta ed il piano. E poichè sulla orisfera, cui appartengono infinito2 oricicli, può istituirsi una geometria analoga alla ordinaria, in cui gli oricicli sostituiscono le rette, così Lobacefski ottiene questo primo notevole risultato: Sulla orisfera è valida la geometria euclidea [cfr. Wachter, §. 30] e in particolare l'ordinaria trigonometria piana.
Di questa notevole proprietà e di un'altra relativa agli oricicli coassiali [cerchi concentrici di raggio infinito] Lobacefski si giova per dedurre le formule della nuova trigonometria piana e della trigonometria sferica. Queste ultime coincidono con le ordinarie formule della sfera, quando però gli elementi del triangolo siano misurati in angoli retti.
§ 41. Giova notare la forma data da Lobacefski alle sue formule. Se nel triangolo piano ABC denotiamo con a, b, c i lati opposti ad A, B, C; con pi greco (a), pi greco (b), pi greco (c) gli angoli di parallelismo corrispondenti ai lati, la formula fondamentale di Lobacefski è:
(4) [vedi formula 79.png]
È facile vedere che questa formula e quella di Taurinus [(1), §. 36] sono trasformabili l'una nell'altra.
Per passare da quella di Taurinus a quella di Lobacefski basta far uso della (3) di §. 37, osservando però che l'angolo beta che in essa compare è pi graco (a). Per il passaggio inverso serve anche la seguente relazione, data da Lobacefski:
(5) [vedi formula 79_b.png] che è la stessa (3) di Taurinus, sotto forma un po' diversa.
La costante a che figura nella (5) è indeterminata: rappresenta il rapporto costante di due archi di oricicli coassiali, 
compresi fra i medesimi raggi, distanti l'uno dall'altro dell'unità di misura. Scegliendo, con Lobacefski, una conveniente unità, potremo prendere a uguale ad e, cioè alla base dei logaritmi naturali. Volendo invece riavvicinare i risultati di Lobacefski alla Geometria log.-sferica di Taurinus, ovvero alla geometria non-euclidea di Gauss, porremo:
[vedi formula 80_a.png]
Allora la (5) diventa:
(5') [vedi formula 80_b.png]
o ciò che fa lo stesso:
(6) [vedi formula 80_c.png]
Con questa relazione si trasforma immediatamente la formula (4) di Lobacefski nella (1) di Taurinus. Quindi:
La geometria log.-sferica di Taurinus è identica alla geometria immaginaria [Pangeometria] di Lobacefski.
§ 42. Ecco i più notevoli risultati che Lobacefski deduce dalle sue formule:
a) Per triangoli con lati piccolissimi [infinitesimi] alle formule della trigonometria immaginaria possono sostituirsi, a meno di infinitesimi di ordine superiore al secondo, le ordinarie formule trigonometriche.
b) Il cambiamento dei lati a, b, c nei lati puramente immaginari ia, ib, ic trasforma le formole della trigonometria immaginaria nelle formule della trigonometria sferica 8.
c) Istituendo sul piano e nello spazio un sistema di coordinate simile all'ordinario cartesiano è possibile, coi metodi della geometria analitica, calcolare le lunghezze delle linee, le aree delle superficie, i volumi dei solidi.
§ 43. Come mai Lobacefski fu condotto ad occuparsi delle parallele ed a scoprire la geometria immaginaria?
Si disse che Bartels, maestro di Lobacefski a Kasan, era legato in amicizia con Gauss [§ 39]: se ora si aggiunge che quegli passò a Brunsvich, con Gauss, i due anni che precedettero la sua chiamata a Kasan [1807] e che si mantenne poi con Gauss in relazione epistolare, si presenta spontanea l'ipotesi che questi non sia estraneo alle ricerche di Lobacefski.
Già vedemmo che Gauss, prima del 1807, aveva tentato di risolvere la questione delle parallele e che i suoi sforzi fino a quell'epoca non avevano fruttato che la speranza di superare gli scogli contro cui avevano urtato le sue ricerche. Quindi tutto ciò che Bartels può avere appreso da Gauss prima del 1807 si ridurrebbe a qualche risultato negativo. Per quanto riguarda le successive vedute di Gauss, pare assodato che Bartels non ne avesse comunicazione, talchè possiamo ritenere che Lobacefski creasse la sua geometria indipendentemente da qualsiasi influenza gaussiana9. Altre influenze potrebbero supporsi, ad. es. quelle dovute alle opere di Saccheri e Lambert, che il geometra russo, o direttamente o attraverso Klügel e Montucla, potrebbe aver conosciuto. Ma nulla di preciso si può formulare intorno a questa supposizione10. Ad ogni modo o le mancate dimostrazioni de' suoi predecessori o l'inutilità delle sue prime ricerche [1815-17] indussero Lobacefski, come già Gauss, a pensare che la difficoltà da superarsi avesse un fondamento diverso di quello fino allora supposto. Lobacefski esprime chiaramente questa idea nei «Nuovi fondamenti della geometria.» del 1835, ove dice:
«L'infruttuosità dei tentativi, fatti dal tempo di Euclide, per lo spazio di due millenni, svegliò in me il sospetto che nei dati stessi non fosse contenuta ancora la verità che si era voluto dimostrare e che alla conferma sua potessero servire, come pel caso di altre leggi naturali, delle esperienze, ad esempio delle osservazioni astronomiche. Essendomi convinto finalmente della giustezza della mia congettura ed avendo acquistata l'opinione di aver completamente risolto il difficile quesito, scrissi, nell'anno 1826, una memoria su questo soggetto [Exposition succinte des principes de la Géométrie.]»11.
Le parole di Lobacefski mettono in luce una concezione filosofica dello spazio, opposta a quella kantiana, che allora godeva il massimo favore. La dottrina kantiana considera lo spazio come una intuizione subbiettiva, necessario presupposto di ogni esperienza; quella di Lobacefski, riattaccandosi piuttosto al sensualismo ed alla corrente empirista, fa rientrare la geometria nel campo delle scienze sperimentali12.
§ 44. Resta ora a mettere in relazione la Pangeometria di Lobacefski con la questione suscitata dal postulato euclideo. La quale, come si è visto, mirava a costruire la teoria delle parallele col solo sussidio delle prime 28 proposizioni di Euclide.
Rispettando questa richiesta Lobacefski definisce il parallelismo e ne assegna i caratteri salienti di reciprocità e transitività. Il carattere d'equidistanza si presenta poi a Lobacefski nella sua vera essenza. Ben lungi dall'essere legato indissolubilmente alle prime 28 proposizioni euclidee, esso racchiude invece un muovo elemento.
La verità di questa asserzione risulta direttamente dall'esistenza della Pangeometria [scienza logica deduttiva, fondata sulle 28 prop. in discorso e sulla negazione del V postulato], in cui le parallele non sono equidistanti, ma asintotiche. Che la Pangeometria sia poi una scienza logicamente conseguente, cioè priva di contraddizioni interne, si spiega, con Lobacefski, riferendosi alla formulazione analitica di cui essa è suscettibile.
Ecco come si esprime in proposito Lobacefski alla fine della sua opera:
«Avendo mostrato in ciò che precede in qual modo bisogna calcolare la lunghezza delle linee curve, l'area delle superficie ed il volume dei corpi, ci è permesso d'affermare che la Pangeometria è una dottrina completa. Un semplice colpo d'occhio sulle equazioni (4), che esprimono la dipendenza esistente tra i lati e gli angoli dei triangoli rettilinei, è sufficiente per dimostrare che a partire di là la Pangeometria diviene un metodo analitico, che rimpiazza e generalizza i metodi analitici della geometria ordinaria. Si potrebbe incominciare l'esposizione della Pangeometria dalle suddette equazioni ed anche cercare di sostituire a queste equazioni altre che esprimerebbero le dipendenze tra gli angoli e i lati di ogni triangolo rettilineo; ma in quest'ultimo caso bisognerebbe dimostrare che queste nuove equazioni si accordano con le nozioni fondamentali della geometria. Le equazioni (4), essendo state dedotte da queste nozioni fondamentali, si accordano necessariamente con esse, e tutte le equazioni che si volessero loro sostituire, se queste equazioni non sono una conseguenza delle equazioni (4), debbono condurre a risultati contrari a queste nozioni. Così le equazioni (4) sono la base della geometria più generale, poichè esse non dipendono dalla supposizione che la somma dei tre angoli d'ogni triangolo rettilineo sia uguale a due angoli retti.»13.
§ 45. Per stabilire qualche cosa intorno alla costante k contenuta implicitamente nelle formule di Lobacefski ed esplicitamente 
in quelle di Taurinus, è necessario applicare la nuova trigonometria a qualche caso pratico. Allo scopo Lobacefski si giova d'un triangolo rettangolo ABC , in cui il lato BC = a è il diametro dell'orbita terrestre ed A una stella fissa in direzione perpendicolare a BC. Indichiamo con 2p la parallasse massima della stella A. Avremo:
[vedi formula 84_a.png]
da cui:
[vedi formula 84_b.png]
Ma:
[vedi formula 84_c.png] [Cfr. (5')]
quindi:
[vedi formula 8 4_d.png]
Allora, nell'ipotesi p < pi greco/4, abbiamo:
[vedi formula 85_a.png]
Inoltre, essendo:
[vedi formula 85_b.png]
sarà finalmente: a/k <tg 2p.
Sostituendo con Lobacefski a 2p la parallasse di Sirio, che è di 1",24 ed effettuando i calcoli si ottiene:
a/k < 0,000006012.
Questo risultato non ci permette di assegnare un valore per k, ma di asserire che esso è molto grande rispetto al diametro terrestre. Si potrebbe ripetere il calcolo con parallassi molto minori, ad es. di 0", 1, trovando k maggiore di un milione di volte il diametro dell'orbita terrestre.
Perchè nello spazio fisico fosse valida la geometria euclidea e conseguentemente il V postulato, dovrebbe k essere infinito, o, ciò che fa lo stesso, dovrebbero esistere stelle con parallasse piccola quanto si vuole.
Ora, una risposta all'ultima questione si capisce che non potremo mai dirla, inquantochè le osservazioni astronomiche saranno sempre limitate. Comunque, data l'enorme grandezza di k rispetto alle linee direttamente misurabili, dovremmo, con Lobacefski, ritenere nel campo sperimentale valida l'ipotesi euclidea.
Alla stessa conclusione potremmo giungere considerando la cosa dal lato della somma degli angoli di un triangolo. Le osservazioni astronomiche portano che la deficienza d'un triangolo, coi lati pressochè uguali alla distanza della terra dal sole, non può superare 0",0003. Ora, se in luogo d'un triangolo astronomico considerassimo un triangolo terrestre, con gli angoli accessibili alle misure dirette, in forza del principio di proporzionalità fra l'area e la deficienza, l'eventuale deficienza di sifatto triangolo rientrerebbe necessariamente nei limiti degli errori sperimentali, sicchè, sperimentalmente, potremo ritenere che la deficienza in discorso sia nulla e conseguentemente sia valido nel campo sperimentale il postulato euclideo14.
- ↑ Bollettino di Kasan [1829-30]. — Opere Geometriche di Lobacefski [Kasan, 1883-86], t. I, p. 1-67. - Traduzione tedesca di F. Engel a p. 1-66 del volume citato nella nota 77.
- ↑ Scritti scientifici dell'Università di Kasan [1835]. — Op. Geom., t. I, p. 71-120.
- ↑ Scritti scient. Un. Kasan [1835-38]. — Op. Geom., t. I, p. 219-486. — Trad. tedesca di F. Engel, p. 67-235 del vol. citato nella nota 77.
- ↑ Scritti scient. Un. Kasan [1836]. — Op. Geom. , t. I, p. 121-218.
- ↑ Giornale di CRELLE, t. XVII, p. 295-320. — Op. Geom., t. II, p. 581-613.
- ↑ Berlin [1840]. — Op. Geom., t. II, p. 553-578. — Trad. francese di J. Hoüel, contenuta nelle Mém. de Bordeaux t. IV [1866], od anche nelle: «Recherches géométriqués sur la theorie des parallèles.», [Paris, Hermann, 1900].
- ↑ Raccolta di dissertazioni scientifiche scritte dai professori della reale Università di Kasan nel cinquantesimo anniversario della sua esistenza, t. I, p. 279-340, [1856]. — Op. Geom., t. II, p. 617-80. — Trad. italiana di G. BATTAGLINI nel Giornale di Mat., t. V, p. 273-336.
- ↑ Questo risultato giustifica il metodo seguito da Taurinus nella costruzione della sua geometria log.-sferica.
- ↑ Cfr. F. Engel, op. citata nella nota 77: Zweiter Theil; Lobatschefskij Leben und Schriften.», Cap. VI, p. 373-383.
- ↑ Cfr. le «Congetture» di Segre citate nella nota 41.
- ↑ P. 67 della citata opera di Engel.
- ↑ Cfr. il discorso di A. VASILIEV su Lobacefski [Kasan, 1893]. Trad. tedesca di Engel, Zeits. f. Math. u. Phy. t. XI, p. 205-44 (1895].
- ↑ Cfr. la «Pangeometria», nella trad. italiana di G. BATTAGLINI, Gior. di Matematiche, t. V, p. 334
- ↑ Per il contenuto di questo § cfr. Lobacefski: «Ueber die Anfangsdründe der Geometrie. », a p. 22-24 dell'opera di Engel citata nella nota 77. Vedi pure le osservazioni di Engel a p. 248-252 della stessa opera.