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BC: le non secanti sono separate dalle secanti da due rette h, k, che alla loro volta non incontrano BC [cfr. Saccheri, p. 36].
Queste rette, che l'autore chiama parallele, hanno ciascuna un determinato verso di parallismo: la h della nostra figura corrisponde al verso destro, la k al verso sinistro. L'angolo formato dalla perpendicolare AD con una delle parallele è l'angolo di parallelismo corrispondente alla distanza AD. Lobacefski usa il simbolo pi greco (a) per denotare l'angolo di parallelismo corrispondente alla distanza a. Nell'ordinaria geometria si ha costantemente: pi grecoo (a) = 90°; in quella di Lobacefski pi greco (a) è una ben determinata funzione di a, che tende a 90° quando a tende a zero, che tende a zero quando a tende all'infinito.
Dalla definizione di parallele l'autore deduce poi le loro principali proprietà, cioè la conservazione, la reciprocità, la transitività del carattere di parallelismo [cfr. Gauss, §. 34] e il comportamento asintotico delle parallele.
La dimostrazione di queste proprietà è preceduta dai teoremi sulla somma degli angoli d'un triangolo, quegli stessi già dati da Legendre e prima ancora da Saccheri. Può quindi supporsi che Lobacefski conoscesse le ricerche di questi geometri, segnatamente del primo.
Ma la parte più importante della «Geometria immaginaria» è la costruzione delle formule trigonometriche.
Per dedurle l'autore introduce due nuove figure: l'oriciclo [cerchio di raggio infinito; cfr. Gauss, §. 34] e l'orisfera [sfera di raggio infinito], che nell'ordinaria geometria sono rispettivamente la retta ed il piano. E poichè sulla orisfera, cui appartengono infinito2 oricicli, può istituirsi una geometria analoga alla ordinaria, in cui gli oricicli sostituiscono le rette, così Lobacefski ottiene questo primo notevole risultato: Sulla orisfera è valida la geometria euclidea [cfr. Wachter, §. 30] e in particolare l'ordinaria trigonometria piana.
