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nella sua vera essenza. Ben lungi dall'essere legato indissolubilmente alle prime 28 proposizioni euclidee, esso racchiude invece un muovo elemento.
La verità di questa asserzione risulta direttamente dall'esistenza della Pangeometria [scienza logica deduttiva, fondata sulle 28 prop. in discorso e sulla negazione del V postulato], in cui le parallele non sono equidistanti, ma asintotiche. Che la Pangeometria sia poi una scienza logicamente conseguente, cioè priva di contraddizioni interne, si spiega, con Lobacefski, riferendosi alla formulazione analitica di cui essa è suscettibile.
Ecco come si esprime in proposito Lobacefski alla fine della sua opera:
«Avendo mostrato in ciò che precede in qual modo bisogna calcolare la lunghezza delle linee curve, l'area delle superficie ed il volume dei corpi, ci è permesso d'affermare che la Pangeometria è una dottrina completa. Un semplice colpo d'occhio sulle equazioni (4), che esprimono la dipendenza esistente tra i lati e gli angoli dei triangoli rettilinei, è sufficiente per dimostrare che a partire di là la Pangeometria diviene un metodo analitico, che rimpiazza e generalizza i metodi analitici della geometria ordinaria. Si potrebbe incominciare l'esposizione della Pangeometria dalle suddette equazioni ed anche cercare di sostituire a queste equazioni altre che esprimerebbero le dipendenze tra gli angoli e i lati di ogni triangolo rettilineo; ma in quest'ultimo caso bisognerebbe dimostrare che queste nuove equazioni si accordano con le nozioni fondamentali della geometria. Le equazioni (4), essendo state dedotte da queste nozioni fondamentali, si accordano necessariamente con esse, e tutte le equazioni che si volessero loro sostituire, se queste equazioni non sono una conseguenza delle equazioni (4), debbono condurre a risultati contrari a queste nozioni. Così le equazioni (4) sono la base della geometria più generale, poichè esse non dipendono dalla supposizione che la somma dei
