Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Generazione delle linee piane

by Luigi Cremona

Art. 10. Generazione delle linee piane

../Altri teoremi fondamentali sulle curve piane ../Costruzione delle curve di second'ordine IncludiIntestazione 5 luglio 2009 75% matematica

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 10. Generazione delle linee piane

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Costruzione delle curve di second'ordine

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Art. X.

Generazione delle linee piane.

46. Abbiamo già detto altrove (41) chiamarsi fascio d’ordine $n$ il sistema delle curve d’ordine $n$, in numero infinito, che passano per gli stessi $n^{2}$ punti: cioè un fascio è una forma geometrica, ogni elemento della quale è una curva d’ordine $n$ passante per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati, epperò anche per altri ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti fissi.

Ogni curva del fascio è completamente individuata da un punto preso ad arbitrio, pel quale essa debba passare. Se questo punto si prende in una retta passante per un punto della base ed infinitamente vicino a questo punto la curva sarà individuata dalla sua tangente nel punto della base. Cioè, se per un punto della base del fascio si conduce una retta ad arbitrio, vi è una curva del fascio (ed una sola) che tocca quella retta in quel punto. Od anche: se consideriamo la stella formata da tutte le rette passanti pel punto-base, e assumiamo come corrispondenti una curva qualunque del fascio ed il raggio della stella che tocca la curva nel punto-base, potremo dire che ad ogni curva del fascio corrisponde un raggio della stella, e reciprocamente ad ogni raggio della stella corrisponde una curva del fascio: cioè la stella ed il fascio di curve sono due forme geometriche projettive.

Considerando due punti-base e le stelle di cui essi sono i centri, e riguardando come corrispondenti il raggio dell’una ed il raggio dell’altra stella, che toccano una stessa curva del fascio ne’ punti-base, è manifesto che le due stelle sono projettive. Dunque le stelle, i cui centri sono gli $n^{2}$ punti-base, sono tutte projettive fra loro ed al fascio di curve.

Ciò premesso, per rapporto anarmonico di quattro curve d’un fascio intenderemo il rapporto anarmonico de’ quattro corrispondenti raggi di una stella projettiva al fascio.

47. Se due punti-base sono infinitamente vicini, cioè se le curve del fascio si toccano fra loro in un punto $a$ e sia ${\rm {A}}$ la tangente comune, tutte quelle curve avranno in $a$ due punti consecutivi comuni colla retta ${\rm {A}}$. Quindi, fra le curve medesime, se ne potrà determinare una che passi per un terzo punto successivo di ${\rm {A}}$, cioè che abbia in $a$ un contatto tripunto con ${\rm {A}}$. E condotta per $a$ una retta ${\rm {B}}$ ad arbitrio, si potrà anche determinare una curva del fascio che passi pel punto di ${\rm {B}}$ successivo ad $a$; la qual curva avrà per conseguenza due punti coincidenti in $a$, in comune con qualunque altra retta passante per $a$ (31). Dunque: fra tutte le curve di un fascio, che si tocchino in un punto $a$, ve n’ha una per la quale $a$ è un flesso e ve n’ha un’altra per la quale $a$ è un punto doppio.

48. Può accadere che un punto-base $a$ sia un punto doppio per tutte le curve del fascio: nel qual caso, quel punto equivale a quattro intersezioni di due qualunque delle curve del fascio (32), epperò i rimanenti punti-base saranno $n^{2}-4$. Allora è manifesto che le coppie di tangenti alle singole curve nel loro punto doppio comune formano un’involuzione quadratica: questa ha due raggi doppi, epperò vi sono due curve nel fascio, per le quali $a$ è una cuspide.

Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio $a$, una tangente comune, qualunque retta condotta per $a$ e considerata come seconda tangente determina una curva del fascio. Dunque, in questo caso, vi sarà una sola curva per la quale $a$ sia una cuspide.

Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio $a$, entrambe le tangenti ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$ comuni, potremo determinare una di quelle curve per modo che una retta passante per $a$ e diversa da ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$, abbia ivi colla curva tre punti comuni. Dunque (31), nel caso che si considera, vi è una curva nel fascio, per la quale $a$ è un punto triplo. Ciò vale anche quando le rette ${\rm {A}}$, ${\rm {A'}}$ coincidano, cioè tutte le curve del fascio abbiano in $a$ una cuspide, colla tangente comune.

Analogamente: se $a$ è un punto ($r$)^plo per tutte le curve del fascio, e se queste hanno ivi le $r$ tangenti comuni, v’ha una curva del fascio, per la quale $a$ è un punto multiplo secondo $r+1$.

49. Se le curve d’ordine $n$, di un dato fascio, sono segate da una trasversale arbitraria, le intersezioni di questa con ciascuna curva formano un gruppo di $n$ punti; e gli infiniti gruppi analoghi, determinati dalle infinite curve del fascio, costituiscono un’involuzione di grado $n$¹. Infatti, per un punto qualunque $i$ della trasversale passa una sola curva del fascio, la quale incontra la trasversale medesima negli altri $n-1$ punti del gruppo a cui appartiene $i$. Ciascun gruppo è dunque determinato da uno qualunque de’ suoi punti: ciò che costituisce precisamente il carattere dell’involuzione (21).²

L’involuzione di cui si tratta ha $2(n-1)$ punti doppi (22); dunque:

Fra le curve d’ordine $n$, d’un fascio, ve ne sono $2(n-1)$ che toccano una retta data.

È evidente che un fascio d’ordine $n$ e l’involuzione di grado $n$, ch’esso determina sopra una data retta, sono due forme geometriche projettive: cioè il rapporto anarmonico di quattro curve del fascio ed il rapporto anarmonico de’ quattro gruppi di punti, in cui esse secano la retta data, sono eguali.

Due fasci di curve si diranno projettivi quando siano rispettivamente projettivi a due stelle projettive fra loro; ossia quando le curve de’ due fasci si corrispondano fra loro ad una ad una. Evidentemente i rapporti anarmonici di quattro curve dell’un fascio e delle quattro corrispondenti curve dell’altro sono eguali. E le involuzioni, che due fasci projettivi determinano su di una stessa trasversale o su di due trasversali distinte, sono projettive.

50. Siano dati due fasci projettivi, l’uno d’ordine $n$, l’altro d’ordine $n'$; di qual ordine è il luogo delle intersezioni di due curve corrispondenti? Con una trasversale arbitraria sego entrambi i fasci: ottengo così due involuzioni projettive, l’una di grado $n$, l’altra di grado $n'$. Queste involuzioni hanno $n+n'$ punti comuni (24, b); cioè, nella trasversale vi sono $n+n'$ punti, per ciascuno de’ quali passano due curve corrispondenti de’ due fasci, epperò $n+n'$ punti del luogo richiesto. Questo luogo è dunque una curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ d’ordine $n+n'$³. Essa passa per tutt’i punti-base de’ due fasci, poichè uno qualunque di questi punti giace su tutte le curve di un fascio e sopra una curva dell’altro⁴.

(a) La curva risultante dell’ordine $n+n'$ può talvolta decomporsi in linee d’ordine inferiore. Ciò avviene, per esempio, quando le curve corrispondenti de’ due fasci dati si incontrano costantemente sopra una curva d’ordine $r<n+n'$. Allora gli altri punti d’intersezione sono situati in una seconda curva dell’ordine $n+n'-r$, che insieme colla precedente costituisce il luogo completo d’ordine $n+n'$, generato dai due fasci.

(b) Questa decomposizione avviene anche quando i due fasci projettivi, supposti dello stesso ordine $n$, abbiano una curva comune e questa corrisponda a sè medesima. Allora ogni punto di questa curva può risguardarsi come comune a due curve corrispondenti; quindi il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti ne’ due fasci sarà, in questo caso, una curva dell’ordine $n$.

A questa proprietà si può dare anche il seguente enunciato, nel quale tutte le curve nominate s’intendano dell’ordine $n$:

Se una curva ${\rm {H}}$ passa pei punti comuni a due curve ${\rm {U}}$, ${\rm {V}}$ e pei punti comuni a due altre curve ${\rm {U'}}$, ${\rm {V'}}$, anche i punti comuni alle curve ${\rm {U}}$, ${\rm {U'}}$, insieme coi punti comuni alle ${\rm {V}}$, ${\rm {V'}}$, giaceranno tutti in una stessa curva ${\rm {K}}$.

51. Segando, come dianzi, i due fasci dati con una trasversale ${\rm {R}}$, si ottengono due involuzioni projettive, e gli $n+n'$ punti comuni ad esse sono le intersezioni di ${\rm {R}}$ colla curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ generata dalle intersezioni delle curve corrispondenti ne’ due fasci. Supponiamo ora che nella retta ${\rm {R}}$ vi sia un tal punto $o$, nel quale coincidano $r$ intersezioni di tutte le curve del primo fascio ed $r'$ intersezioni di tutte quelle del secondo con ${\rm {R}}$: ma una certa curva ${\rm {C_{n}}}$ del primo fascio abbia $r+s$ punti comuni con ${\rm {R}}$ riuniti in $o$, e questo punto rappresenti anche $r'+s'$ intersezioni di ${\rm {R}}$ colla curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio, corrispondente a ${\rm {C_{n}}}$. In virtù di proposizioni già esposte (24, c, d), in $o$ coincideranno $r+r'+s$ od $r+r'+s'$ (secondo che $s<s'$ od $s>s'$⁵) punti comuni alla retta ${\rm {R}}$ ed alla curva ${\rm {C_{n+n'}}}$.

Questo teorema generale dà luogo a numerosi corollari; qui ci limitiamo ad esporre quelli, di cui avremo bisogno in seguito.

(a) Sia $o$ un punto-base del primo fascio; ${\rm {C_{n'}}}$ la curva del secondo, che passa per $o$; ${\rm {C_{n}}}$ la corrispondente curva del primo fascio, ed ${\rm {R}}$ la tangente a ${\rm {C_{n}}}$ in $o$. Applicando a questa retta il teorema generale, col porre $r=1$, $r'=0$, $s=1$, $s'=1$, troviamo che essa è anche la tangente a ${\rm {C_{n+n'}}}$ in $o$.

(b) Le curve del primo fascio passino per $o$ ed ivi abbiano una tangente comune; allora fra esse ve n’ha una ${\rm {C_{n}}}$, che ha un punto doppio in $o$ (47). Se la corrispondente curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio passa per $o$, il teorema generale applicato ad una retta qualunque condotta per $o$ ($r=1$, $r'=0$, $s=1$, $s'=1$) mostra ch’essa incontra ${\rm {C_{n+n'}}}$ in due punti riuniti in $o$; cioè questo punto è doppio per ${\rm {C_{n+n'}}}$.⁶

(c) Nella ipotesi (b), se ${\rm {C_{n'}}}$ ha in $o$ un punto multiplo e si applica il teorema generale ad una delle due tangenti in $o$ a ${\rm {C_{n}}}$($r=1$, $r'=0$, $s=2$, $s'>1$), troviamo che questa retta ha tre punti comuni con ${\rm {C_{n+n'}}}$, riuniti in $o$; dunque questa curva ha in comune con ${\rm {C_{n}}}$ non solo il punto doppio $o$, ma anche le relative tangenti.

(d) Fatta ancora l’ipotesi (b), se ${\rm {R}}$, tangente comune alle curve del primo fascio in $o$, è anche una delle tangenti ai due rami di ${\rm {C_{n}}}$($r=2$, $r'=0$, $s=1$, $s'=1$), essa sarà tangente ad uno de’ due rami di ${\rm {C_{n+n'}}}$.

(e) E se, oltre a ciò, la seconda tangente di ${\rm {C_{n}}}$ in $o$ tocca ivi anche ${\rm {C_{n'}}}$, applicando a questa retta il teorema generale ($r=1$, $r'=0$, $s=2$, $s'=2$), troviamo ch’essa è la tangente del secondo ramo di ${\rm {C_{n+n'}}}$. Donde segue che, se ${\rm {C_{n}}}$ ha in $o$ le due tangenti coincidenti colla retta ${\rm {R}}$, tangente comune alle curve del primo fascio, e se questa retta tocca nel medesimo punto anche ${\rm {C_{n'}}}$, la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ avrà in $o$ una cuspide colla tangente ${\rm {R}}$.

(f) Due curve corrispondenti ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{n'}}}$ passino uno stesso numero $i$ di volte per un punto $o$. Se ${\rm {R}}$ è una retta condotta ad arbitrio per $o$, si ricava dal teorema generale ($r=r'=0$, $s=s'=i$) che in $o$ coincidono $i$ intersezioni di ${\rm {C_{n+n'}}}$ con ${\rm {R}}$, cioè $o$ è un punto multiplo secondo $i$ per la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$.

(g) Se ${\rm {C_{n}}}$ passa $i$ volte e ${\rm {C_{n'}}}$ un maggior numero $i'$ di volte per $o$, questo punto è ancora multiplo secondo $i$ per ${\rm {C_{n+n'}}}$. Inoltre, se si considera una delle tangenti di ${\rm {C_{n}}}$ in $o$, il teorema generale ($r=r'=0$, $s=i+1$, $s'>i$) dà $i+1$ intersezioni di questa retta con ${\rm {C_{n+n'}}}$ riunite in $o$. Dunque le tangenti agli $i$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ toccano anche gli $i$ rami di ${\rm {C_{n+n'}}}$.

Nello stesso modo si potrebbe dimostrare anche quanto è esposto nel n.° seguente.

52. Supponiamo ora che le basi de’ due fasci abbiano un punto comune $a$, il quale sia multiplo secondo $r$ per le curve del primo fascio e multiplo secondo $r'$ per le curve del secondo. Ogni curva del primo fascio ha in $a$ un gruppo di $r$ tangenti: gli analoghi gruppi corrispondenti alle varie curve del fascio medesimo formano un’involuzione di grado $r$. Similmente avremo un’involuzione di grado $r'$ formata dalle tangenti in $a$ alle curve del secondo fascio. Le due involuzioni hanno $r+r'$ raggi comuni (24, b), ciascuno de’ quali toccando in $a$ due curve corrispondenti de’ due fasci, tocca ivi anche la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$. Laonde questa curva ha $r+r'$ rami passanti per $a$, e le tangenti a questi rami sono i raggi comuni alle due involuzioni.

(a) Da ciò segue che, se tutte le curve d’uno stesso fascio hanno alcuna tangente comune in $a$, questa è anche una tangente di ${\rm {C_{n+n'}}}$. Supposto che tutte le $r$ tangenti in $a$ siano comuni alle curve del primo fascio, epperò siano tangenti anche alla curva d’ordine $n+n'$, le rimanenti $r'$ tangenti di questa sono evidentemente le $r'$ tangenti di quella curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio, che corrisponde alla curva ${\rm {C_{n}}}$ del primo fascio, dotata di un punto multiplo secondo $r+1$ in $a$ (48) ⁷.

53. L’importante teorema (50) conduce naturalmente a porre questa quistione:

Dati quanti punti sono necessari per determinare una curva dell’ordine $n+n'$, formare due fasci projettivi, l’uno dell’ordine $n$, l’altro dell’ordine $n'$, i quali, colle mutue intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva richiesta.

Ove questo problema sia risoluto, ne conseguirà immediatamente che ogni curva data d’ordine $n+n'$ può essere generata dalle mutue intersezioni delle curve corrispondenti di due fasci projettivi degli ordini $n$ ed $n'$.⁸

La soluzione di quel problema fondamentale dipende da alcuni teoremi dovuti ai signori Chasles e Jonquières, che ora ci proponiamo di esporre. I quali teoremi però risguardano soltanto le curve d’ordine $n+n'>2$, poichè, per quelle del second’ordine, basta la proposizione dimostrata al n. 50, come si vedrà fra poco (59). Ci sia dunque lecito supporre $n+n'$ non minore di 3.

54. Sopra una curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ d’ordine $n+n'$ si suppongano presi $n^{2}$ punti formanti la base d’un fascio d’ordine $n$, e ritengasi in primo luogo $n>n'$. Siano ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{n}'}}$ due curve di questo fascio. Siccome delle $n(n-n')$ intersezioni delle curve ${\rm {C_{n+n'}}}$, ${\rm {C_{n}}}$ ve ne sono $n^{2}$ situate in ${\rm {C_{n}'}}$, così (44) le altre $nn'$ saranno sopra una curva ${\rm {C_{n'}}}$ d’ordine $n'$, la quale è determinata⁹, perchè, essendo $n>n'$, si ha $n\geq {\tfrac {n'+3}{2}}$, epperò $nn'\geq {\tfrac {n'(n'+3)}{2}}$¹⁰. Analogamente: siccome delle $n(n+n')$ intersezioni di ${\rm {C_{n+n'}}}$, ${\rm {C_{n}'}}$ ve ne sono $n^{2}$ sopra ${\rm {C_{n}}}$, così le altre $nn'$ saranno in una curva ${\rm {C_{n'}'}}$ d’ordine $n'$.

I due luoghi d’ordine $n+n'$, ${\rm {C_{n}+C_{n'}'}}$ e ${\rm {C_{n}'+C_{n'}}}$ si segano in $(n+n')^{2}$ punti, de’ quali $n^{2}+2nn'=n(n+2n')$ sono situati in ${\rm {C_{n+n'}}}$. Quindi, siccome $n(n+2n')\geq {\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1$ ¹¹, così (41) anche le altre ${n'}^{2}$ intersezioni di que’ due luoghi, ossia gli ${n'}^{2}$ punti comuni a ${\rm {C_{n'}}}$, ${\rm {C_{n'}'}}$, giacciono in ${\rm {C_{n+n'}}}$ e formano la base d’un fascio d’ordine $n'$. Così abbiamo sopra ${\rm {C_{n+n'}}}$ due sistemi di punti: l’uno di $n^{2}$ punti, base d’un fascio d’ordine $n$; l’altro di ${n'}^{2}$ punti, base d’un secondo fascio d’ordine $n'$. Ogni curva ${\rm {C_{n}}}$ del primo fascio sega ${\rm {C_{n+n'}}}$ in altri $nn'$ punti, che determinano una curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{n'}}}$ sono tutte situate sopra ${\rm {C_{n+n'}}}$.

(a) In secondo luogo, si supponga $n\leq n'$. Ogni curva ${\rm {C_{n}}}$, condotta per gli $n^{2}$ punti di ${\rm {C_{n+n'}}}$, sega questa curva in altri $nn'$ punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d’ordine $n'$ condotta per $nn'-{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ di questi punti passa anche per tutti gli altri (41, 42). Dunque, assumendo ad arbitrio altri ${\tfrac {n'(n'+3)}{2}}-\left(nn'-{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}\right)={\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ punti, tutti questi ${\tfrac {n'(n'+3)+(n-1)(n-2)}{2}}$ punti giaceranno in una curva ${\rm {C_{n'}}}$ d’ordine $n'$. Quei punti addizionali siano presi sulla curva data ${\rm {C_{n+n'}}}$.

Analogamente: un’altra curva ${\rm {C_{n}'}}$, del fascio d’ordine $n$, sega ${\rm {C_{n+n'}}}$ in $nn'$ punti (oltre gli $n^{2}$ punti-base) e questi insieme agli ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ punti addizionali suddetti determineranno una curva ${\rm {C_{n'}'}}$ d’ordine $n'$.

I due luoghi d’ordine $n+n'$, ${\rm {C_{n}+C_{n'}'}}$ e ${\rm {C_{n}'+C_{n'}}}$ hanno in comune $(n+n')^{2}$ punti, de’ quali $n^{2}+2nn'+{\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ sono in ${\rm {C_{n+n'}}}$. Ma questo numero è eguale a ${\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1+(n-1)(n-2)$ epperò $\geq {\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1$; dunque (41) le rimanenti ${n'}^{2}-{\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ intersezioni di ${\rm {C_{n'}}}$, ${\rm {C_{n'}'}}$ sono anch’esse in ${\rm {C_{n+n'}}}$, ed insieme ai punti addizionali costituiscono la base d’un fascio d’ordine $n'$. Così, anche in questo caso, abbiamo in ${\rm {C_{n+n'}}}$ due sistemi di punti, costituenti le basi di due fasci, degli ordini $n$, $n'$. I due fasci sono projettivi, perchè ogni curva dell’uno determina una curva dell’altro e reciprocamente. Inoltre le curve corrispondenti si segano costantemente in punti appartenenti alla data ${\rm {C_{n+n'}}}$¹².

(b) Questo teorema mostra in qual modo, data una curva d’ordine $n+n'$ ed in essa i punti-base d’un fascio d’ordine $n$, si possano determinare i punti-base d’un secondo fascio d’ordine $n'$, projettivo al primo, talmente che i due fasci, colle intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva data. Rimane a scoprire come si determinino, sopra una curva data d’ordine $n+n'$, gli $n^{2}$ punti-base d’un fascio di curve d’ordine $n$.

55. In primo luogo osserviamo che dal teorema di Cayley (44) si ricava:

Se una curva d’ordine $n+n'$ contiene $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$, essa contiene anche tutte le altre. Ossia:

Quando $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$ punti-base d’un fascio d’ordine $n$ giacciono in una curva d’ordine $n+n'$, questa contiene anche tutti gli altri.

Il qual teorema suppone manifestamente $n-n'-2>0$ ossia $n>n'+2$. Sia dunque $n>n'+2$ e supponiamo che sopra una data curva d’ordine $n+n'$ si vogliano prendere $n^{2}$ punti costituenti la base d’un fascio d’ordine $n$. Affinchè la curva data contenga gli $n^{2}$ punti-base, basta che ne contenga $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$, cioè devono essere sodisfatte altrettante condizioni.

Ora, astraendo dalla curva data, gli $n^{2}$ punti-base sono determinati da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ fra essi, e siccome per determinare un punto sono necessarie due condizioni, così per determinare tutta la base del fascio abbisognerebbero $n(n+3)-2$ condizioni. Ma volendo soltanto che i punti-base siano nella curva data, non si hanno da sodisfare che $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$ condizioni; quindi rimarranno $n(n+3)-2-n^{2}+$ $+{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}={\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$ condizioni libere, cioè d’altrettanti elementi si può disporre ad arbitrio. Siccome un punto che debba giacere sopra una data curva è determinato da una sola condizione, così potremo prendere, ad arbitrio, nella curva data ${\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$ punti, per formare la base del fascio d’ordine $n$.

Nell’altro caso poi, in cui sia $n\leq n'+2$, perchè gli $n^{2}$ punti-base siano nella curva data, occorrono $n^{2}$ condizioni; quindi, ragionando come dianzi, rimarranno $n(n+3)-2-n^{2}=3n-2$ condizioni libere. Dunque:

Quando in una curva data d’ordine $n+n'$ si vogliono determinare $n^{2}$ punti costituenti la base d’un fascio d’ordine $n$, si possono prendere ad arbitrio nella curva ${\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$, ovvero $3n-2$ punti, secondo che sia $n>n'+2$, ovvero $n\leq n'+2$¹³.¹⁴

Dai due teoremi ora dimostrati (54, 55) risulta che una curva qualunque d’ordine $m$, può essere generata, in infinite maniere diverse, mediante due fasci projettivi, i cui ordini $n$, $n'$ diano una somma $n+n'=m$.

56. Trovato così il numero de’ punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una data curva d’ordine $m$, per costituire la base d’un fascio d’ordine $n<m$, rimane determinato anche il numero de’ punti che non sono arbitrari, ma che è d’uopo individuare, per rendere complete le basi de’ due fasci generatori. Ed invero: se il numero $m$ è diviso in due parti $n$, $n'$, queste o saranno disuguali, o uguali. Siano dapprima disuguali, ed $n$ la maggiore.

Se $n>n'+2$, il numero de punti arbitrari è ${\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$. Ma le basi de’ due fasci sono rispettivamente determinate da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ e da ${\tfrac {n'(n'+3)}{2}}-1$ punti; dunque il numero de’ punti incogniti è

${\frac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-{\frac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}=nn'-1$.

Se $n=n'+2$, ovvero $n=n'+1$, il numero de’ punti arbitrari è $3n-2$, quindi i punti incogniti saranno ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(3n-2)=nn'-1$.

Quando $n$ ed $n'$ siano uguali, il numero de’ punti arbitrari, che si possono prendere nel formare la base del primo fascio, è $3n-2$; ma, determinata questa base, si può ancora prendere un punto (addizionale) ad arbitrio nel formare la base del secondo fascio: come risulta dal n. 54, nel quale il numero de’ punti addizionali arbitrari ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ per $n=n'$ diviene appunto $=1$. Dunque il numero de’ punti incogniti è ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(3n-2)-1=nn'-1$.

Allo stesso risultato si arriva anche partendo da quello de’ due numeri $n$, $n'$ che si suppone minore. Sia $n<n'$. Allora, nel formare la base del fascio d’ordine $n$ si ponno prendere $3n-2$ punti arbitrari; fissata questa base, si possono ancora prendere ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ punti arbitrari nella base del secondo fascio; quindi i punti incogniti nelle due basi sono in numero

${\frac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(3n-2)$$-{\frac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}=nn'-1$.

Concludiamo adunque che, nel formare le basi de’ due fasci d’ordini $n$, $n'$, generatori d’una curva d’ordine $n+n'$, v’ha sempre un numero $nn'-1$ di punti che non sono arbitrari, ma che bisogna determinare mediante gli elementi che individuano la curva.

57. Siano dati ${\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}$ punti, pei quali si vuol far passare una curva d’ordine $n+n'$: cioè si vogliano determinare due fasci d’ordini $n$, $n'$, projettivi, in modo che il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti sia la curva d’ordine $n+n'$ determinata dai punti dati.

Siccome fra gli ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2$ punti, che individuano le basi de’ due fasci, ve ne sono $nn'-1$ che non si ponno prendere ad arbitrio, così non si potranno far entrare nelle due basi che ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(nn'-1)$ punti, scelti ad arbitrio fra i dati. Di questi rimangono così $2nn'+1$ liberi. Affinchè la curva richiesta passi anche per essi, le curve del primo fascio condotte rispettivamente per quei $2nn'+1$ punti dovranno corrispondere projettivamente alle curve del secondo fascio condotte per gli stessi punti. E siccome nello stabilire la projettività di due forme si possono assumere ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti (8), dopo di che, ad ogni quarto elemento della prima forma corrisponde un quarto elemento della seconda, determinato dall’eguaglianza de’ rapporti anarmonici; così la corrispondenza projettiva di quelle $2nn'+1$ coppie di curve somministrerà $(2nn'+1)-3=2(nn'-1)$ condizioni: il qual numero è appunto necessario e sufficiente per determinare gli $nn'-1$ punti incogniti¹⁵.

58. Il problema suenunciato (53) ammette differenti soluzioni, non solo a cagione della molteplice divisibilità del numero esprimente l’ordine della curva domandata in due parti $n$, $n'$, ma anche pei diversi modi con cui si potranno distribuire fra le basi de’ due fasci generatori i punti che si assumono ad arbitrio (e quindi anche i punti incogniti).

Da ciò che si è detto al n. 56 risulta che:

Quando voglionsi formare sopra una curva d’ordine $n+n'$ le basi di due fasci generatori d’ordini $n$, $n'$, se $n$, $n'$ sono disuguali, si potranno attribuire al solo fascio d’ordine superiore tutt’i punti che è lecito assumere ad arbitrio; e se $n=n'$, si possono attribuire ad uno de’ fasci, al più, tutt’i punti arbitrari meno uno¹⁶.

Note

1. L’importante teorema sull’involuzione dei gruppi di punti in cui una trasversale incontra più curve d’un fascio è stato enunciato in tutta la sua generalità da Poncelet (Comptes rendus, 8 mai 1843, p. 953). Sturm aveva dimostrato quel teorema per le coniche: Mémoire sur les lignes du second ordine (Annales de Gergonne, t. 17, Nismes 1826-27, p. 180).
2. Per poter conchiudere che si ha un’involuzione non basterebbe quel carattere: occorrerebbe anche invocare, per esempio, l’algebricità. Cfr. nota [⁴²].
3. Per questo metodo di determinare l’ordine di un luogo geometrico veggasi: Poncelet, Analyse des transversales, p. 29.
4. {Grassmann, Die höhere Projectivität in der Ebene (Crelle t. 42, 1851, p. 202).}
   Chasles, Construction de la courbe du 3. ordre etc. Comptes rendus, 30 mai 1853). — Sur les courbes du 4. et du 3. ordre etc. (Comptes rendus, 16 août 1853).
   Jonquières, Essai sur la génération des courbes etc. Paris 1858, p. 6.
5. Si aggiunga all’una o l’altra ipotesi anche il caso $s=s'$.
6. La determinazione delle due tangenti in $o$ a ${\rm {C_{n+n'}}}$ è fatta nel 1.° articolo (n. 4) della Memoria n. 53 «Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane».
7. {Se in entrambi i fasci le curve (d’uno stesso fascio) hanno le stesse tangenti in $a$, e se inoltre si corrispondono fra loro le due curve per le quali $a$ è risp. $(r+1)$^plo, $(r'+1)$^plo, in tal caso $a$ è multiplo secondo $r+r'+1$ per la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$. Le tangenti di questa in $a$ sono allora i raggi uniti di due involuzioni projettive, di gradi $r+1$, $r'+1$, nelle quali si corrispondono le tangenti alle due curve per le quali $a$ è $(r+1)$^plo, $(r'+1)$^plo, e si corrispondono pure i due gruppi di tangenti comuni ai quali sia aggiunta una retta arbitraria, e questa poi venga tolta dai raggi uniti.}
8. La dimostrazione di questo fatto viene, nel seguito, scomposta in due parti (nn. 54 e 55).
   Nel n. 54 si fa vedere che, se una ${\rm {C_{n+n'}}}$ contiene $n^{2}$ punti formanti la base d’un fascio d’ordine $n$, essa può esser generata con due fasci projettivi degli ordini $n$, $n'$. Ciò è vero; ma il ragionamento si serve ripetutamente, per curve d’ordine $n+n'$ del teorema del n. 41 (al quale si riferiva la nota [⁵¹]), in casi che si prestano a riserve simili a quelle che abbiam fatto in [⁵²].
   Quanto all’esistenza su ogni ${\rm {C_{n+n'}}}$ di gruppi di $n^{2}$ punti base per fasci d’ordine $n$, essa è poi provata nel n. 55, ma con solo conto di costanti: metodo che, in problemi di questa natura, non serve.
   Ciò nondimeno il fatto essenziale è esatto. Cfr. C. Küpper, Projective Erzeugung der Curven m^ter Ordnung (Mathematische Annalen, t. 48, 1897, pag. 401).
9. Qui, in (A) sta scritto: «perchè, essendo $n>n'$, due curve d’ordine $n'$ non potrebbero avere $nn'(>{n'}^{2})$ punti comuni».
10. Per $n=2$, $n'=1$, si ha $n={\tfrac {n'+3}{2}}$; in ogni altro caso è $n>{\tfrac {n'+3}{2}}$.
11. Se $n=2$, $n'=1$, si ha $n(n+2n')={\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1$. Per $n\geq 3$ si ha $n(n+2n')={\tfrac {(n+n')^{2}+n(n+n')+n'(n-n')}{2}}>{\tfrac {(n+n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$.
12. Chasles, Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres (Comptes rendus, 28 décembre 1857).
13. Chasles, Détermination du nombre de points qu’on peut prendre etc. (Comptes rendus, 21 septembre 1857).
14. {I due numeri coincidono per $n=n'+1$ e per $n=n'+2$; dunque possiamo prendere l’uno o l’altro, secondo che $n>n'$, oppure $n\leq n'$. Nel 2.º caso, aggiungendo ai $3n-2$ punti, che si possono prendere ad arbitrio nella base del 1.º fascio, gli ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ punti che (54, a) sono arbitrari nella base del 2º, si ha ancora il numero ${\tfrac {(n'-n)^{2}+3(n'+n)-2}{2}}$. Dunque è questo, in ogni caso, il numero dei punti che si possono prendere ad arbitrio per costituire le due basi.}
    Grazie a quest’aggiunta [di (A)] il Cremona poteva, nel successivo n. 56, dopo il primo calcolo che conduce al numero $nn'-1$ (quello fatto per $n>n'+2$: ipotesi che ora vi si può sopprimere), indicare [ancora in (A)] come da cancellare i periodi seguenti, passandosi subito alla conclusione di quel n. 56.
15. Jonquières, Essai sur la génération des courbes etc. p. 13-14.
16. Chasles, Détermination du nombre de points etc. c. s.