Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (Cremona)/1

Luigi Cremona - Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane (1864)

Art. 1. Sulla generazione di una curva mediante due fasci progettivi

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[p. 135 modifica]1. Siano dati due fasci projettivi di curve. Le curve del primo fascio abbiano in un punto-base $o$ la tangente comune, e questo punto giaccia anche sulla curva del secondo fascio che corrisponde a quella curva del primo per la quale $o$ è un punto doppio. In questo caso, è noto (Introd. 51, b) che il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti dei due fasci passa due volte per $o$ . Ora ci proponiamo di determinare le due tangenti del luogo nel punto doppio.

2. Lemma. Siano $(U,V,W,\dots )$ , $(U',V',W',\dots )$ le curve corrispondenti di due fasci projettivi dello stesso ordine $n$ , i quali generano una curva $K$ dell’ordine $2n$ , passante pei punti-base dei due fasci.

Le curve $U,U'$ individuano un nuovo fascio i cui punti-base sono in $K$ ; ogni curva $U''$ di questo fascio segherà $K$ in altri $n^{2}$ punti, pei quali e per un punto fissato ad arbitrio in $K$ descrivendo una curva d’ordine $n$ , questa segherà $K$ in altri $n^{2}-1$ punti fissi, qualunque sia la curva $U''$ scelta nel fascio $(UU')$ (Introd. 54, a). Se il punto arbitrario è un punto-base del fascio $(VV')$ , esso cogli altri $n^{2}-1$ punti fissi costituirà la base $(VV')$ . Infatti la curva $U$ sega $K$ in $2n^{2}$ punti, de’ quali $n^{2}$ giacciono in $U'$ , e gli altri $n^{2}$ in $V$ ; e così $U'$ sega $K$ in $2n^{2}$ punti de’ quali $n^{2}$ appartengono ad $U$ e gli altri a $V'$ . Dunque una qualsivoglia curva $U''$ del fascio $(UU')$ segherà $K$ in altri $n^{2}$ punti [p. 136 modifica]situati in una curva $V''$ del fascio $(VV')$ . Donde segue che i fasci $(U,U',U'',\dots )$ , $(V,V',V'',\dots )$ sono projettivi e che la curva da essi generata è ancora $K$ .

Analogamente le seconde $n^{2}$ intersezioni di $U''$ con $K$ saranno anche situate in una curva $W''$ del fascio $(WW')$ . E per tal modo otteniamo un nuovo fascio $(U'',V'',W'',\dots )$ projettivo ai dati, i punti-base del quale giacciono in $K$ . Siccome poi le curve $U''$ , $V''$ , $W''$ , ... appartengono rispettivamente ai fasci $(UU')$ , $(VV')$ , $(WW')$ , ... i cui punti-base sono tutti in $K$ , così il fascio $(U'',V'',W'',\dots )$ insieme con l’uno o con l’altro dei dati genera di nuovo la medesima curva $K$ . Ossia:

Dati due fasci projettivi $(U,V,W,\dots )$ , $(U',V',W',\dots )$ di curve dello stesso ordine, i quali generano una curva $K$ ; se $U''$ è una curva scelta ad arbitrio nel fascio $(UU')$ , si possono determinare altre curve $V'',W'',\dots$ che appartengano rispettivamente ai fasci $(VV'),(WW'),\dots$ e formino con $U''$ un nuovo fascio projettivo ai dati e generante con ciascuno di questi la medesima curva $K$ .

3. Siano ora $(U,V,\dots )$ , $(U',V',\dots )$ due fasci projettivi di curve d’ordine qualunque, i quali generino una curva $K$ . Se $L,L'$ sono due linee arbitrarie, i due fasci projettivi $(UL,VL,\dots )$ , $(U'L',VL',...)$ che si ottengono accoppiando $L$ o $L'$ a ciascuna curva dell’uno o dell’altro fascio dato, genereranno evidentemente un luogo composto delle tre curve $KLL'$ . Le linee $L,L'$ siano poi scelte di tale ordine che i due nuovi fasci risultino dello stesso ordine; e, secondo il teorema precedente, si formi un nuovo fascio $({\mathcal {U}},{\mathcal {V}},\dots )$ projettivo ai precedenti, le cui curve appartengano rispettivamente ai fasci $(UL,U'L')$ , $(VL,V'L')$ , ... e siano tali che il nuovo fascio insieme col precedente $(U'L',V'L',\dots )$ generi il luogo $KLL'$ . Allora è evidente che i due fasci projettivi $({\mathcal {U}},{\mathcal {V}},\dots )$ e $(U',V',\dots )$ genereranno il luogo $KL$ .

4. Supponiamo ora che tutte le curve del fascio $(UV)$ tocchino una stessa retta $R$ in uno stesso punto $o$ : sia $V$ la curva per la quale $o$ è un punto doppio; e la corrispondente curva $V'$ passi anch’essa per $o$ . Allora $K$ avrà due rami incrociati in $o$ : quali saranno le tangenti di $K$ nel punto medesimo?

Si scelga per $L$ una linea non passante per $o$ ; ed $L'$ sia composta della retta $R$ e di un’altra linea non passante per $o$ . In tal caso le curve del fascio $(UL,U'L',\dots )$ avranno in $o$ la stessa tangente $R$ : sia ${\mathcal {U}}$ quella curva di questo fascio, per la quale $o$ è un punto doppio. Questo punto è doppio per le due curve complesse $VL,V'L'$ ; epperò esso sarà doppio per tutte le curve del fascio $(VL,V'L')$ , fra le quali trovasi ${\mathcal {V}}$ . Ora, la curva $K$ (insieme con $L$ ) è generata dai due fasci projettivi $(U',V',\dots )$ , $({\mathcal {U}},{\mathcal {V}},\dots )$ nel secondo de’ quali tutte le curve hanno un punto doppio in $o$ ; dunque (in virtù del teorema Introd. 52, [39] ove si faccia $r=0$ , $r'=2$ ) le tangenti di $K$ in $o$ sono le tangenti della curva ${\mathcal {V}}$ del secondo fascio la quale corrisponde a quella curva $V'$ del primo che passa per $o$ . [p. 137 modifica]Siccome ${\mathcal {V}}$ appartiene al fascio $(VL,V'L')$ , così le due tangenti di $K$ in $o$ sono raggi coniugati in una involuzione quadratica nella quale le tangenti di $V$ sono coniugate fra loro, e la tangente di $V'$ è coniugata con $R$ (Introd. 48).