Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Punti e tangenti comuni a due curve
Questo testo è completo. |
Art. VI.
Punti e tangenti comuni a due curve.
32. In quanti punti si segano due curve, gli ordini delle quali siano ?1 Ammetto, come principio evidente, che il numero delle intersezioni dipenda unicamente dai numeri , talchè rimanga invariato, sostituendo alle curve date altri luoghi dello stesso ordine. Se alla curva d’ordine si sostituiscono rette, queste incontrano la curva d'ordine in punti; dunque: due curve, i cui ordini siano , si segano in punti (reali, imaginari, distinti o coincidenti).
Si dirà che due curve hanno un contatto bipunto, tripunto, quadripunto, cinquipunto, sipunto, ... quando esse abbiano due, tre, quattro, cinque, sei, ... punti consecutivi comuni, e per conseguenza anche due, tre, quattro, cinque, sei, ... tangenti consecutive comuni.
Se per un punto passano rami di una curva ed di un’altra, quel punto dee considerarsi come intersezione di ciascun ramo della prima curva con ciascun ramo della seconda, epperò equivale ad intersezioni sovrapposte. Se, inoltre, un ramo della prima curva ed un ramo della seconda hanno in la tangente comune, essi avranno ivi due punti comuni, onde equivarrà ad intersezioni. In generale, se in le due curve hanno tangenti comuni, equivale ad punti comuni alle due curve.
Come caso speciale, quando le tangenti della prima curva e le dell'altra, nel punto comune , coincidono tutte insieme in una sola retta , questa, supposto , rappresenta tangenti comuni, onde il numero delle intersezioni riunite in sarà . Ma questo numero può divenir più grande2, ogniqualvolta la retta abbia un contatto più intimo con alcuna delle linee proposte, cioè la incontri in più di od punti riuniti in . Per esempio, se in la retta avesse punti comuni colla prima curva ed colla seconda, il punto equivarrebbe ad intersezioni delle due curve. Del che è facile persuadersi, assumendo un sistema di curve di second’ordine aventi un punto comune ed ivi toccate da una stessa retta ; ed inoltre un’altra curva qualunque dotata di rami passanti per ed ivi aventi la comune tangente . In tal caso il punto rappresenta intersezioni di con ciascuna delle curve ; epperò equivale ad punti comuni a ed al sistema completo delle curve .
Analogamente si dimostra che due curve, le cui classi siano , hanno tangenti comuni. Ecc.3.
Note
- ↑ [p. 496 modifica]Qui, in nota ad (A), l’Autore scriveva: «A questa dimostrazione si sostituisca [p. 497 modifica]una delle due date da Chasles, fondate sul principio di corrispondenza (Comptes rendus, 30 sept. 1872, 20 janv. 1873).»
- ↑ [p. 497 modifica]Le parole seguenti non s’intendano nel senso che, solo allora il numero delle intersezioni riunite in possa divenir più grande. — L’esempio addotto, due righe dopo, è errato. Il punto non equivarrebbe ad intersezioni, ma in generale solo a . Il sistema di curve di second’ordine..., che poi si assume, dà luogo ad una particolarità (due punti -pli successivi) maggiore di quella del detto esempio.
- ↑ Le proprietà delle curve di data classe si deducono dalle proprietà delle curve di dato ordine, e reciprocamente, mediante il principio di dualità, che noi consideriamo come primitivo ed assoluto, cioè indipendente da qualsivoglia teoria speciale di trasformazione di figure.