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o presi, ad arbitrio» vada intesa nel senso di «punti generici», cioè «escluse talune posizioni eccezionali».

[⁵²] Pag. 359. Questo fatto non si può asserire senza riserve: perchè gli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, essendo stati presi sulle due curve date, di ordini $p,\,q$, non sono «punti presi ad arbitrio» nel senso della proposizione del n. 41 qui invocata. Effettivamente il teorema di Plücker, a cui poi si giunge, esigerebbe qualche restrizione (cfr. nota seguente); e così pure i corollari che se ne traggono in questo n. 43 e nel n. 44.

[⁵³] Pag. 360. Qui, in (A), si aggiunge: «se in numero $\infty ^{1}$». Cfr. le due note precedenti.

[⁵⁴] Pag. 360. Anche qui occorrono restrizioni. La dimostrazione che segue esige, fra altro, che sia $n<m+p$: se no, non si posson prendere (n. 42) su $C_{p}$ gli ${\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ punti per descrivere $C_{n-m}$ (irriducibile). Così per $n=3$, $m=2$, $p=1$ il teorema non vale. — È vera però, senza riserve, la proposizione così modificata (che occorre nel seguito): Date due curve $C_{m},\,C_{p}$ che si taglino in $mp$ punti, se per questi passa una $C_{n}$, ove $n>p$, essa taglia ulteriormente $C_{m}$ in $m(n-p)$ punti situati sopra una curva d’ordine $n-p$.

[⁵⁵] Pag. 361. Questo teorema vale solo (come già diceva il Cayley) colla condizione $n\leq m+p-3$. Anzi, esso va modificato così: fra le $mp$ intersezioni di due curve d’ordini $m,\,p$ se ne posson trovare $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ tali che qualunque curva d’ordine $n\leq m+p-3$ descritta per essi passa anche ecc. ecc.

[⁵⁶] Pag. 364. Per poter conchiudere che si ha un’involuzione non basterebbe quel carattere: occorrerebbe anche invocare, per esempio, l’algebricità. Cfr. nota [⁴²].

[⁵⁷] Pag. 366. Si aggiunga all’una o l’altra ipotesi anche il caso $s=s'$.

[⁵⁸] Pag. 366. La determinazione delle due tangenti in $o$ a ${\rm {C_{n+n'}}}$ è fatta nel 1.° articolo (n. 4) della Memoria n. 53 «Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane».

[⁵⁹] Pag. 367. La dimostrazione di questo fatto viene, nel seguito, scomposta in due parti (nn. 54 e 55).

Nel n. 54 si fa vedere che, se una ${\rm {C_{n+n'}}}$ contiene $n^{2}$ punti formanti la base d’un fascio d’ordine $n$, essa può esser generata con due fasci projettivi degli ordini $n$, $n'$. Ciò è vero; ma il ragionamento si serve ripetutamente, per curve d’ordine $n+n'$ del teorema del n. 41 (al quale si riferiva la nota [⁵¹]), in casi che si prestano a riserve simili a quelle che abbiam fatto in [⁵²].

Quanto all’esistenza su ogni ${\rm {C_{n+n'}}}$ di gruppi di $n^{2}$ punti base per fasci d’ordine $n$, essa è poi provata nel n. 55, ma con solo conto di costanti: metodo che, in problemi di questa natura, non serve.

Ciò nondimeno il fatto essenziale è esatto. Cfr. C. Küpper, Projective Erzeugung der Curven m^ter Ordnung (Mathematische Annalen, t. 48, 1897, pag. 401).