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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Se $n=n'+2$ , ovvero $n=n'+1$ , il numero de’ punti arbitrari è $3n-2$ , quindi i punti incogniti saranno ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(3n-2)=nn'-1$ .

Quando $n$ ed $n'$ siano uguali, il numero de’ punti arbitrari, che si possono prendere nel formare la base del primo fascio, è $3n-2$ ; ma, determinata questa base, si può ancora prendere un punto (addizionale) ad arbitrio nel formare la base del secondo fascio: come risulta dal n. 54, nel quale il numero de’ punti addizionali arbitrari ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ per $n=n'$ diviene appunto $=1$ . Dunque il numero de’ punti incogniti è ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(3n-2)-1=nn'-1$ .

Allo stesso risultato si arriva anche partendo da quello de’ due numeri $n$ , $n'$ che si suppone minore. Sia $n<n'$ . Allora, nel formare la base del fascio d’ordine $n$ si ponno prendere $3n-2$ punti arbitrari; fissata questa base, si possono ancora prendere ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ punti arbitrari nella base del secondo fascio; quindi i punti incogniti nelle due basi sono in numero

${\frac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(3n-2)$ $-{\frac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}=nn'-1$ .

Concludiamo adunque che, nel formare le basi de’ due fasci d’ordini $n$ , $n'$ , generatori d’una curva d’ordine $n+n'$ , v’ha sempre un numero $nn'-1$ di punti che non sono arbitrari, ma che bisogna determinare mediante gli elementi che individuano la curva.

57. Siano dati ${\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}$ punti, pei quali si vuol far passare una curva d’ordine $n+n'$ : cioè si vogliano determinare due fasci d’ordini $n$ , $n'$ , projettivi, in modo che il luogo delle intersezioni delle curve corrispondenti sia la curva d’ordine $n+n'$ determinata dai punti dati.

Siccome fra gli ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2$ punti, che individuano le basi de’ due fasci, ve ne sono $nn'-1$ che non si ponno prendere ad arbitrio, così non si potranno far entrare nelle due basi che ${\tfrac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-(nn'-1)$ punti, scelti ad arbitrio fra i dati. Di questi rimangono così $2nn'+1$ liberi. Affinchè la curva richiesta passi anche per essi, le curve del primo fascio condotte rispettivamente per quei $2nn'+1$ punti dovranno corrispondere projettivamente alle curve del secondo fascio condotte per gli stessi punti. E siccome nello stabilire la projettività di due forme si possono assumere ad arbitrio tre coppie di elementi corrispondenti (8), dopo di che,