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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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(g) Se ${\rm {C_{n}}}$ passa $i$ volte e ${\rm {C_{n'}}}$ un maggior numero $i'$ di volte per $o$ , questo punto è ancora multiplo secondo $i$ per ${\rm {C_{n+n'}}}$ . Inoltre, se si considera una delle tangenti di ${\rm {C_{n}}}$ in $o$ , il teorema generale ( $r=r'=0$ , $s=i+1$ , $s'>i$ ) dà $i+1$ intersezioni di questa retta con ${\rm {C_{n+n'}}}$ riunite in $o$ . Dunque le tangenti agli $i$ rami di ${\rm {C_{n}}}$ toccano anche gli $i$ rami di ${\rm {C_{n+n'}}}$ .

Nello stesso modo si potrebbe dimostrare anche quanto è esposto nel n.° seguente.

52. Supponiamo ora che le basi de’ due fasci abbiano un punto comune $a$ , il quale sia multiplo secondo $r$ per le curve del primo fascio e multiplo secondo $r'$ per le curve del secondo. Ogni curva del primo fascio ha in $a$ un gruppo di $r$ tangenti: gli analoghi gruppi corrispondenti alle varie curve del fascio medesimo formano un’involuzione di grado $r$ . Similmente avremo un’involuzione di grado $r'$ formata dalle tangenti in $a$ alle curve del secondo fascio. Le due involuzioni hanno $r+r'$ raggi comuni (24, b), ciascuno de’ quali toccando in $a$ due curve corrispondenti de’ due fasci, tocca ivi anche la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ . Laonde questa curva ha $r+r'$ rami passanti per $a$ , e le tangenti a questi rami sono i raggi comuni alle due involuzioni.

(a) Da ciò segue che, se tutte le curve d’uno stesso fascio hanno alcuna tangente comune in $a$ , questa è anche una tangente di ${\rm {C_{n+n'}}}$ . Supposto che tutte le $r$ tangenti in $a$ siano comuni alle curve del primo fascio, epperò siano tangenti anche alla curva d’ordine $n+n'$ , le rimanenti $r'$ tangenti di questa sono evidentemente le $r'$ tangenti di quella curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio, che corrisponde alla curva ${\rm {C_{n}}}$ del primo fascio, dotata di un punto multiplo secondo $r+1$ in $a$ (48) ¹.

53. L’importante teorema (50) conduce naturalmente a porre questa quistione:

Dati quanti punti sono necessari per determinare una curva dell’ordine $n+n'$ , formare due fasci projettivi, l’uno dell’ordine $n$ , l’altro dell’ordine $n'$ , i quali, colle mutue intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva richiesta.

Ove questo problema sia risoluto, ne conseguirà immediatamente che ogni curva data d’ordine $n+n'$ può essere generata dalle mutue intersezioni delle curve corrispondenti di due fasci projettivi degli ordini $n$ ed $n'$ .⁵⁹

La soluzione di quel problema fondamentale dipende da alcuni teoremi dovuti ai signori Chasles e Jonquières, che ora ci proponiamo di esporre. I quali teoremi però

↑ {Se in entrambi i fasci le curve (d’uno stesso fascio) hanno le stesse tangenti in $a$ , e se inoltre si corrispondono fra loro le due curve per le quali $a$ è risp. $(r+1)$ ^plo, $(r'+1)$ ^plo, in tal caso $a$ è multiplo secondo $r+r'+1$ per la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ . Le tangenti di questa in $a$ sono allora i raggi uniti di due involuzioni projettive, di gradi $r+1$ , $r'+1$ , nelle quali si corrispondono le tangenti alle due curve per le quali $a$ è $(r+1)$ ^plo, $(r'+1)$ ^plo, e si corrispondono pure i due gruppi di tangenti comuni ai quali sia aggiunta una retta arbitraria, e questa poi venga tolta dai raggi uniti.}

[1] {Se in entrambi i fasci le curve (d’uno stesso fascio) hanno le stesse tangenti in $a$ , e se inoltre si corrispondono fra loro le due curve per le quali $a$ è risp. $(r+1)$ ^plo, $(r'+1)$ ^plo, in tal caso $a$ è multiplo secondo $r+r'+1$ per la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ . Le tangenti di questa in $a$ sono allora i raggi uniti di due involuzioni projettive, di gradi $r+1$ , $r'+1$ , nelle quali si corrispondono le tangenti alle due curve per le quali $a$ è $(r+1)$ ^plo, $(r'+1)$ ^plo, e si corrispondono pure i due gruppi di tangenti comuni ai quali sia aggiunta una retta arbitraria, e questa poi venga tolta dai raggi uniti.}

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