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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

48. Può accadere che un punto-base $a$ sia un punto doppio per tutte le curve del fascio: nel qual caso, quel punto equivale a quattro intersezioni di due qualunque delle curve del fascio (32), epperò i rimanenti punti-base saranno $n^{2}-4$ . Allora è manifesto che le coppie di tangenti alle singole curve nel loro punto doppio comune formano un’involuzione quadratica: questa ha due raggi doppi, epperò vi sono due curve nel fascio, per le quali $a$ è una cuspide.

Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio $a$ , una tangente comune, qualunque retta condotta per $a$ e considerata come seconda tangente determina una curva del fascio. Dunque, in questo caso, vi sarà una sola curva per la quale $a$ sia una cuspide.

Se tutte le curve del fascio hanno, nel punto doppio $a$ , entrambe le tangenti ${\rm {A}}$ , ${\rm {A'}}$ comuni, potremo determinare una di quelle curve per modo che una retta passante per $a$ e diversa da ${\rm {A}}$ , ${\rm {A'}}$ , abbia ivi colla curva tre punti comuni. Dunque (31), nel caso che si considera, vi è una curva nel fascio, per la quale $a$ è un punto triplo. Ciò vale anche quando le rette ${\rm {A}}$ , ${\rm {A'}}$ coincidano, cioè tutte le curve del fascio abbiano in $a$ una cuspide, colla tangente comune.

Analogamente: se $a$ è un punto ( $r$ )^plo per tutte le curve del fascio, e se queste hanno ivi le $r$ tangenti comuni, v’ha una curva del fascio, per la quale $a$ è un punto multiplo secondo $r+1$ .

49. Se le curve d’ordine $n$ , di un dato fascio, sono segate da una trasversale arbitraria, le intersezioni di questa con ciascuna curva formano un gruppo di $n$ punti; e gli infiniti gruppi analoghi, determinati dalle infinite curve del fascio, costituiscono un’involuzione di grado $n$ ¹. Infatti, per un punto qualunque $i$ della trasversale passa una sola curva del fascio, la quale incontra la trasversale medesima negli altri $n-1$ punti del gruppo a cui appartiene $i$ . Ciascun gruppo è dunque determinato da uno qualunque de’ suoi punti: ciò che costituisce precisamente il carattere dell’involuzione (21).⁵⁶

L’involuzione di cui si tratta ha $2(n-1)$ punti doppi (22); dunque:

Fra le curve d’ordine $n$ , d’un fascio, ve ne sono $2(n-1)$ che toccano una retta data.

È evidente che un fascio d’ordine $n$ e l’involuzione di grado $n$ , ch’esso determina sopra una data retta, sono due forme geometriche projettive: cioè il rapporto anarmonico di quattro curve del fascio ed il rapporto anarmonico de’ quattro gruppi di punti, in cui esse secano la retta data, sono eguali.

↑ L’importante teorema sull’involuzione dei gruppi di punti in cui una trasversale incontra più curve d’un fascio è stato enunciato in tutta la sua generalità da Poncelet (Comptes rendus, 8 mai 1843, p. 953). Sturm aveva dimostrato quel teorema per le coniche: Mémoire sur les lignes du second ordine (Annales de Gergonne, t. 17, Nismes 1826-27, p. 180).

[1] L’importante teorema sull’involuzione dei gruppi di punti in cui una trasversale incontra più curve d’un fascio è stato enunciato in tutta la sua generalità da Poncelet (Comptes rendus, 8 mai 1843, p. 953). Sturm aveva dimostrato quel teorema per le coniche: Mémoire sur les lignes du second ordine (Annales de Gergonne, t. 17, Nismes 1826-27, p. 180).

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