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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Analogamente: un’altra curva ${\rm {C_{n}'}}$, del fascio d’ordine $n$, sega ${\rm {C_{n+n'}}}$ in $nn'$ punti (oltre gli $n^{2}$ punti-base) e questi insieme agli ${\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ punti addizionali suddetti determineranno una curva ${\rm {C_{n'}'}}$ d’ordine $n'$.

I due luoghi d’ordine $n+n'$, ${\rm {C_{n}+C_{n'}'}}$ e ${\rm {C_{n}'+C_{n'}}}$ hanno in comune $(n+n')^{2}$ punti, de’ quali $n^{2}+2nn'+{\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ sono in ${\rm {C_{n+n'}}}$. Ma questo numero è eguale a ${\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1+(n-1)(n-2)$ epperò $\geq {\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1$; dunque (41) le rimanenti ${n'}^{2}-{\tfrac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$ intersezioni di ${\rm {C_{n'}}}$, ${\rm {C_{n'}'}}$ sono anch’esse in ${\rm {C_{n+n'}}}$, ed insieme ai punti addizionali costituiscono la base d’un fascio d’ordine $n'$. Così, anche in questo caso, abbiamo in ${\rm {C_{n+n'}}}$ due sistemi di punti, costituenti le basi di due fasci, degli ordini $n$, $n'$. I due fasci sono projettivi, perchè ogni curva dell’uno determina una curva dell’altro e reciprocamente. Inoltre le curve corrispondenti si segano costantemente in punti appartenenti alla data ${\rm {C_{n+n'}}}$¹.

(b) Questo teorema mostra in qual modo, data una curva d’ordine $n+n'$ ed in essa i punti-base d’un fascio d’ordine $n$, si possano determinare i punti-base d’un secondo fascio d’ordine $n'$, projettivo al primo, talmente che i due fasci, colle intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva data. Rimane a scoprire come si determinino, sopra una curva data d’ordine $n+n'$, gli $n^{2}$ punti-base d’un fascio di curve d’ordine $n$.

55. In primo luogo osserviamo che dal teorema di Cayley (44) si ricava:

Se una curva d’ordine $n+n'$ contiene $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$, essa contiene anche tutte le altre. Ossia:

Quando $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$ punti-base d’un fascio d’ordine $n$ giacciono in una curva d’ordine $n+n'$, questa contiene anche tutti gli altri.

Il qual teorema suppone manifestamente $n-n'-2>0$ ossia $n>n'+2$. Sia dunque $n>n'+2$ e supponiamo che sopra una data curva d’ordine $n+n'$ si vogliano prendere $n^{2}$ punti costituenti la base d’un fascio d’ordine $n$. Affinchè la curva data contenga gli $n^{2}$ punti-base, basta che ne contenga $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$, cioè devono essere sodisfatte altrettante condizioni.

Ora, astraendo dalla curva data, gli $n^{2}$ punti-base sono determinati da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$

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Cremona, tomo I.

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1. Chasles, Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres (Comptes rendus, 28 décembre 1857).