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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

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Art. X.

Generazione delle linee piane.

46. Abbiamo già detto altrove (41) chiamarsi fascio d’ordine $n$ il sistema delle curve d’ordine $n$, in numero infinito, che passano per gli stessi $n^{2}$ punti: cioè un fascio è una forma geometrica, ogni elemento della quale è una curva d’ordine $n$ passante per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati, epperò anche per altri ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti fissi.

Ogni curva del fascio è completamente individuata da un punto preso ad arbitrio, pel quale essa debba passare. Se questo punto si prende in una retta passante per un punto della base ed infinitamente vicino a questo punto la curva sarà individuata dalla sua tangente nel punto della base. Cioè, se per un punto della base del fascio si conduce una retta ad arbitrio, vi è una curva del fascio (ed una sola) che tocca quella retta in quel punto. Od anche: se consideriamo la stella formata da tutte le rette passanti pel punto-base, e assumiamo come corrispondenti una curva qualunque del fascio ed il raggio della stella che tocca la curva nel punto-base, potremo dire che ad ogni curva del fascio corrisponde un raggio della stella, e reciprocamente ad ogni raggio della stella corrisponde una curva del fascio: cioè la stella ed il fascio di curve sono due forme geometriche projettive.

Considerando due punti-base e le stelle di cui essi sono i centri, e riguardando come corrispondenti il raggio dell’una ed il raggio dell’altra stella, che toccano una stessa curva del fascio ne’ punti-base, è manifesto che le due stelle sono projettive. Dunque le stelle, i cui centri sono gli $n^{2}$ punti-base, sono tutte projettive fra loro ed al fascio di curve.

Ciò premesso, per rapporto anarmonico di quattro curve d’un fascio intenderemo il rapporto anarmonico de’ quattro corrispondenti raggi di una stella projettiva al fascio.

47. Se due punti-base sono infinitamente vicini, cioè se le curve del fascio si toccano fra loro in un punto $a$ e sia ${\rm {A}}$ la tangente comune, tutte quelle curve avranno in $a$ due punti consecutivi comuni colla retta ${\rm {A}}$. Quindi, fra le curve medesime, se ne potrà determinare una che passi per un terzo punto successivo di ${\rm {A}}$, cioè che abbia in $a$ un contatto tripunto con ${\rm {A}}$. E condotta per $a$ una retta ${\rm {B}}$ ad arbitrio, si potrà anche determinare una curva del fascio che passi pel punto di ${\rm {B}}$ successivo ad $a$; la qual curva avrà per conseguenza due punti coincidenti in $a$, in comune con qualunque altra retta passante per $a$ (31). Dunque: fra tutte le curve di un fascio, che si tocchino in un punto $a$, ve n’ha una per la quale $a$ è un flesso e ve n’ha un’altra per la quale $a$ è un punto doppio.