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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

51. Segando, come dianzi, i due fasci dati con una trasversale ${\rm {R}}$, si ottengono due involuzioni projettive, e gli $n+n'$ punti comuni ad esse sono le intersezioni di ${\rm {R}}$ colla curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ generata dalle intersezioni delle curve corrispondenti ne’ due fasci. Supponiamo ora che nella retta ${\rm {R}}$ vi sia un tal punto $o$, nel quale coincidano $r$ intersezioni di tutte le curve del primo fascio ed $r'$ intersezioni di tutte quelle del secondo con ${\rm {R}}$: ma una certa curva ${\rm {C_{n}}}$ del primo fascio abbia $r+s$ punti comuni con ${\rm {R}}$ riuniti in $o$, e questo punto rappresenti anche $r'+s'$ intersezioni di ${\rm {R}}$ colla curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio, corrispondente a ${\rm {C_{n}}}$. In virtù di proposizioni già esposte (24, c, d), in $o$ coincideranno $r+r'+s$ od $r+r'+s'$ (secondo che $s<s'$ od $s>s'$⁵⁷) punti comuni alla retta ${\rm {R}}$ ed alla curva ${\rm {C_{n+n'}}}$.

Questo teorema generale dà luogo a numerosi corollari; qui ci limitiamo ad esporre quelli, di cui avremo bisogno in seguito.

(a) Sia $o$ un punto-base del primo fascio; ${\rm {C_{n'}}}$ la curva del secondo, che passa per $o$; ${\rm {C_{n}}}$ la corrispondente curva del primo fascio, ed ${\rm {R}}$ la tangente a ${\rm {C_{n}}}$ in $o$. Applicando a questa retta il teorema generale, col porre $r=1$, $r'=0$, $s=1$, $s'=1$, troviamo che essa è anche la tangente a ${\rm {C_{n+n'}}}$ in $o$.

(b) Le curve del primo fascio passino per $o$ ed ivi abbiano una tangente comune; allora fra esse ve n’ha una ${\rm {C_{n}}}$, che ha un punto doppio in $o$ (47). Se la corrispondente curva ${\rm {C_{n'}}}$ del secondo fascio passa per $o$, il teorema generale applicato ad una retta qualunque condotta per $o$ ($r=1$, $r'=0$, $s=1$, $s'=1$) mostra ch’essa incontra ${\rm {C_{n+n'}}}$ in due punti riuniti in $o$; cioè questo punto è doppio per ${\rm {C_{n+n'}}}$.⁵⁸

(c) Nella ipotesi (b), se ${\rm {C_{n'}}}$ ha in $o$ un punto multiplo e si applica il teorema generale ad una delle due tangenti in $o$ a ${\rm {C_{n}}}$($r=1$, $r'=0$, $s=2$, $s'>1$), troviamo che questa retta ha tre punti comuni con ${\rm {C_{n+n'}}}$, riuniti in $o$; dunque questa curva ha in comune con ${\rm {C_{n}}}$ non solo il punto doppio $o$, ma anche le relative tangenti.

(d) Fatta ancora l’ipotesi (b), se ${\rm {R}}$, tangente comune alle curve del primo fascio in $o$, è anche una delle tangenti ai due rami di ${\rm {C_{n}}}$($r=2$, $r'=0$, $s=1$, $s'=1$), essa sarà tangente ad uno de’ due rami di ${\rm {C_{n+n'}}}$.

(e) E se, oltre a ciò, la seconda tangente di ${\rm {C_{n}}}$ in $o$ tocca ivi anche ${\rm {C_{n'}}}$, applicando a questa retta il teorema generale ($r=1$, $r'=0$, $s=2$, $s'=2$), troviamo ch’essa è la tangente del secondo ramo di ${\rm {C_{n+n'}}}$. Donde segue che, se ${\rm {C_{n}}}$ ha in $o$ le due tangenti coincidenti colla retta ${\rm {R}}$, tangente comune alle curve del primo fascio, e se questa retta tocca nel medesimo punto anche ${\rm {C_{n'}}}$, la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$ avrà in $o$ una cuspide colla tangente ${\rm {R}}$.

(f) Due curve corrispondenti ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{n'}}}$ passino uno stesso numero $i$ di volte per un punto $o$. Se ${\rm {R}}$ è una retta condotta ad arbitrio per $o$, si ricava dal teorema generale ($r=r'=0$, $s=s'=i$) che in $o$ coincidono $i$ intersezioni di ${\rm {C_{n+n'}}}$ con ${\rm {R}}$, cioè $o$ è un punto multiplo secondo $i$ per la curva ${\rm {C_{n+n'}}}$.