Il compasso geometrico e militare (Favaro)/Saggio delle scritture antecedenti alla stampa

by Galileo Galilei

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Galileo Galilei - Il compasso geometrico e militare (1890)

Saggio delle scritture antecedenti alla stampa

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Avvertimento

Le operazioni del compasso geometrico e militare

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DEL COMPASSO

GEOMETRICO E MILITARE.

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SAGGIO DELLE SCRITTURE ANTECEDENTI ALLA STAMPA.

¹Per dichiarare con la maggiore evidenza che si potrà li usi del Compasso Geometrico e Militare, prima considereremo quella faccia nella quale, tra le altre linee, si veggono notate due più in fuori e più brevi delle altre, con questi caratteri: Or. Pi. Ar. Ra. Fe. St. Ma. Pie., che significano Oro, Piombo, Argento, Rame, Ferro, Stagno, Marmo, Pietra. Dalle quali si hanno primamente le vere proporzioni e differenze di peso, che si trovano tra i metalli e pietre in esse notati: di maniera che se si costituirà lo strumento in qual si voglia apertura, gl’intervalli che cascheranno tra i punti l’uno all’altro corrispondenti, saranno diametri di palle, o lati di altri corpi tra loro simili, eguali di peso; ciò è, che tanto sarà il peso di una palla d’oro il cui diametro sia eguale alla distanza Or. Or., quanto di una palla di piombo di diametro Pi. Pi., e di una di marmo il cui diametro sia Ma. Ma., etc.

Dal che possiamo in un instante venire in cognizione, quanto grande si doveria fare un corpo di una delle sopranotate materie, acciò fusse in peso eguale ad un altro simile, ma di altra delle materie dette. Come se, per essempio, ci venisse proposta una palla di pietra, e noi dovessimo trovare il diametro di un’altra di ferro, ma alla proposta in peso eguale, allora prenderemmo con un compasso il diametro della palla di pietra propostaci, ed aperto lo Strumento sin tanto che detto diametro si adattasse alla distanza tra i punti Pie. Pie., senza mutare lo Strumento, la distanza tra i punti Fe. Fe. ci darà il diametro della palla di ferro all’altra di pietra in peso eguale. Ed il medesimo s’intenda di altri corpi solidi e delle altre materie.

Ma utilità maggiore trarremo da queste linee, servendocene in compagnia delle altre due che apresso li seguono; come ora si farà manifesto.

Seguono, dunque, appresso due linee, con divisioni sino al numero 120, il primo uso delle quali sarà che ci serviranno per colibro da bombardieri, molto più esatto ed esquisito di quelli che comunemente si usano; sendo che in virtù di dette linee e loro divisioni averemo la esquisita portata di qual si voglia pezzo di artiglieria, in palle o siano di ferro o di piombo o di pietra; e questo, secondo i pesi usitati in qual si voglia parte del mondo. Ed acciò che il tutto possa essere distintamente compreso, anderemo in tal maniera discorrendo.

Manifestissima cosa è, diverso essere il peso di diverse materie, e che molto più è grave il ferro della pietra, ed il piombo del ferro: dal che ne seguita che, costumandosi di tirare tal volta con palle di pietra, e tal volta di ferro ed ancora di piombo, il medesimo pezzo che porterà tanto di palla di piombo, porterà meno di ferro, e molto meno di pietra, e che, per conseguenza, diverse cariche per diverse materie se li deveranno dare; e per ciò quelle sagome o colibri, sopra i quali fussero notati i diametri delle palle di ferro, non potranno servire per la pietra per il piombo, ma bisognerà che le misure di detti diametri si vadino crescendo o diminuendo, secondo le diverse materie. In oltre è manifesto che non in tutte le parti della terra si usano i medesimi pesi, anzi che non solamente in ogni provincia, ma quasi in ogni città, sono diversi: dal che ne seguita che quel colibro che fusse accomodato al peso di un luogo, non servirà al peso di un altro; ma secondo che le libre e li altri pesi saranno maggiori o minori in uno che in un altro luogo, bisognerà che le divisioni del colibro siano di maggiore o minore intervallo. Dal che possiamo concludere, che un colibro che si adatti ad ogni sorte di materia e ad ogni differenza di peso bisogna per necessità che sia mutabile, ciò è che si possa crescere e diminuire: e tale è quello che nel nostro Strumento viene notato, che, slargandosi più o meno detto Strumento, si crescono o diminuiscono gl’intervalli, che tra le divisioni di quello si ritrovano.

Dichiarate queste cose in universale, passeremo all’applicazione particulare di questo colibro a tutti i pesi, ed a tutte le materie diverse. E perchè non si può venire in cognizione di alcuna cosa ignota senza il mezo di alcuna altra conosciuta, fa di mestiere che ci sia noto un solo diametro di una palla di qual si voglia materia, e di qual si voglia peso rispondente alle libre, che nel paese dove vogliamo usare lo Strumento si costumano: dal qual solo diametro verremo, col mezzo del nostro colibro, in cognizion del peso di qual si voglia altra palla e di qualunque altra materia; intendendo però delle materie sopra lo Strumento notate.

Ed acciò che con l’esempio il tutto meglio si faccia manifesto, supponghiamo di essere ogg’in Venezia, e di voler quivi servirci del colibro. Prima procureremo di avere il diametro ed il peso di una palla di qualcuna delle materie sopra lo Strumento segnate; che, per essempio, supporremo di avere il diametro di una palla di piombo di libre 10, al peso di Venezia: il qual diametro noteremo con due punti nella costa di un’asta dello Strumento. Quando dunque vorremo accomodare ed aggiustare il colibro in maniera che, presa la bocca di un pezzo d’artiglieria, e trasportata sopra esso colibro, conosciamo quante libre di palla di piombo essa porti, non doviamo far altro salvo che prendere col compasso quel diametro delle 10 libre di piombo già nella costa dello Stromento notato, ed aprir poi lo Strumento tanto che li numeri del colibro 10. 10 si adattino al detto diametro; perchè allora sarà il colibro aggiustato in guisa che, preso il diametro della bocca di qual si voglia pezzo e transferitolo sopra il colibro, da i numeri de i punti dove si adatterà, conosceremo quante libre di palla di piombo porti detto pezzo. Ma se volessimo aggiustare lo Strumento sì che il colibro rispondesse alle palle di ferro, allora, prima prenderemo il diametro stesso delle 10 libre di piombo, e questo applicheremo a i punti delle prime linee segnati Pi, Pi.; e, senza alterare lo Strumento, prenderemo con un compasso la distanza tra i punti segnati Fe. Fe. che sarà il diametro di una palla di ferro di 10 libre² al peso di Venezia; e questo diametro, aprendo lo Strumento, si applicherà nelle linee del colibro a i punti segnati 10. 10; ed allora sarà detto colibro esquisitamente aggiustato alle palle di ferro. E simile operazione ci servirà per le palle di pietra, etc.

Ma acciò che noi possiamo sopra la costa dell’Istromento segnare il diametro di una palla di piombo di peso di 10 libre, secondo le libre del paese nel quale noi di giorno in giorno ci troveremo, ancor che non potessimo avere altro che una palla di qualch’altra materia o altro peso, procederemo così. Ponghiamo di non trovar altro che una palla, per essempio, di marmo: prendasi il suo diametro col compasso, e facciasi pesar detta palla, la quale, v. g., pesi libre 4; slarghisi lo Stromento, sin che il detto diametro s’accomodi a i punti delle prime linee segnati Ma. Ma., e tenendo saldo l’Instromento, prendasi col compasso l’intervallo tra i punti Pi. Pi; perchè questo sarà il diametro d’una palla di piombo che pesassi 4 libre.

Ma perchè vogliamo quella di dieci, s’aggiusterà l’Instromento in maniera, che questo diametro pur ora trovato s’accomodi a i punti quattro, quattro delle linee del colibro; e, senza punto alterare lo Stromento, si prenderà col compasso l’intervallo tra i punti 10. 10; perchè questo sarà il diametro della palla di 10 libre di piombo, da segnarsi sopra la costa dell’Istromento.

Molti altri usi si possono cavare da queste medesime linee del colibro: uno principale de’ quali è che possiamo crescere diminuire i corpi solidi secondo qual si voglia proporzione. Come, per essempio, se ci fusse proposto un piccolo modello di³ artiglieria, fatto dell’istesso metallo che si fanno i pezzi grandi, e noi volessimo cavarne le misure per un pezzo grande che pesassi, v. g., 5000 libre di peso, faremo in questa maniera. Prima, peseremo quel piccolo modello, e mettiamo che fusse 10 libre; considereremo da poi, che le 10 libre sono contenute nel 5000 cinquecento volte; adunque il pezzo grande che vogliamo fare, vorrà essere cinquecento volte maggiore del modello. Prendasi, dunque, la grossezza del modello nella gioia col compasso, ed accommodisi il nostro Istromento in maniera che questa misura s’adatti a i punti 1. 1 segnati nel colibro; e senza movere l’Istromento, prendasi col compasso la distanza de i punti segnati 100.100, la quale sarebbe la grossezza alla gioia d’uno pezzo che fusse 100 volte maggiore del modello. Ma perchè noi vogliamo che sia cinquecento volte maggiore, questa distanza, ultima presa, slargando lo Stromento si accommoderà a qualche numero piccolo, del quale vi sia segnato il quintuplo, come sarebbe a dire, per essempio, al 4: e tenendo saldo l’Istromento, prenderemo col compasso l’intervallo tra i punti 20. 20, che è il quintuplo del quattro; perchè questo sarà la grossezza alla gioia del pezzo 500 volte maggiore del modello. E col medesimo ordine si caveranno, coll’aiuto dell’Istromento, dal piccolo modello le misure di tutte l’altre parti, per formarne il grande.

Dalle predette divisioni possiam avere un’altra comodità: e questa è che, avendo noi il peso di qual si voglia corpo fatto di una delle materie notate nelle 2 prime linee, possiamo subito sapere quanto saria il peso di un altro, al primo in mole eguale, ma di altra materia formato; come se, per essempio, avessimo il peso di una piramide di marmo, e volessimo sapere quanto la medesima peseria se fosse fatta di oro. Prendasi con un compasso la distanza che si trova tra il centro dello Stromento ed il punto notato Or., e da questa sia aggiustato il colibro in maniera che essa caschi sopra il numero rispondente alle libre quali pesa la piramide di marmo, che per ora ponghiamo essere libre 17; e lasciando lo Strumento in questo stato, piglisi col compasso la distanza dal centro dello Strumento al punto notato Ma., e veggasi a quali punti del colibro questa risponda, e troveremo rispondere a i punti segnati 112. 112: e tante libre peseria la detta piramide se fusse di oro. Ed avvertiscasi che, ancorché lo Strumento nostro sia piccolo, potremo non di meno valercene nel far le medesime operazioni in corpi grandissimi. Come, per essempio, se la detta piramide pesassi 7000 libre, se bene tali numeri così grandi non si trovano segnati nel nostro Istromento, nientedimeno potremo trovare il tutto, operando come di sopra; ma dove nell’altra operazione i punti del colibro rappresentavano libre, in quest’altra denoteranno migliaia di libre: sì che operando nel modo detto, e pesando questa piramide di marmo 7 migliaia, troveremo una tale di oro pesare circa quarantasei migliaia⁴.

Altre molte utilità si caveranno da queste linee divise secondo le proporzioni dei solidi; come ciascuno che sia mediocremente nella geometria esperto, per se stesso potrà comprendere.

Le due linee che seguono appresso al colibro, servono per il crescimento e decrescimento delle figure superficiali, secondo qual si voglia assegnata proporzione. Come se, per essempio, noi avessimo una figura quadrata, e volessimo constituirne un’altra maggiore,

v. g., tre volte, piglisi col compasso un lato di questa figura, e slargato lo Stromento sin che le punte del compasso s’adattino a i punti segnati 1.1, prendasi di poi col compasso la distanza de i punti 3.3; perchè il quadrato fatto sopra una linea di tale lunghezza sarà senza alcun dubio tre volte maggiore del quadrato propostoci. Così, se volessimo farne un altro che fusse maggiore di questo, per essempio, li due quinti, accommodisi lo Stromento sì che il lato di questo quadrato caschi sopra i punti 5.5, e poi, senza alterare lo Stromento, piglia la distanza de i punti 7.7; che sarà il lato del quadrato che crescerà li due quinti⁵. E l’istesso s’intenda del decrescere, operando al modo contrario. Come se, per essempio, avessimo una figura circolare, e volessimo formarne un’altra di quella minore li ${\frac {3}{7}}$, piglinsi due numeri l’uno minore dell’altro li ${\frac {3}{7}}$, che sono 7 e 4; e sia aggiustato lo Strumento in maniera che il semidiametro del cerchio propostoci caschi sopra i punti segnati 7.7; e fatto poi l’intervallo, che si troverà tra i punti 4.4, semidiametro di un cerchio, sarà satisfatto al quesito⁶

Seguono due altre linee appresso, che ci servono per la divisione della linea retta: l’uso delle quali è facilissimo. Perciò che, pigliando col compasso la lunghezza della linea che vogliamo dividere, l’accommoderemo, aprendo lo ’nstromento, ali punti più bassi, segnati 1.1.; e, lasciato lo ’nstrumento immobile, se vorremo, per essempio, dividere la linea in tre parti, prenderemo col compasso la distanza tra i punti 3.3, che sarà la terza parte della linea proposta. E così volendo dividerla in 7 parti, piglieremo l’intervallo tra i punti 7.7; etc.

Voltando l’Instromento dall’altra parte, ci abbiamo tre coppie di linee con loro divisioni: delle quali linee, quelle due che sono più in fuora, servono per la descrizione delle figure di molti lati ed angoli eguali. Come se, per essempio, volessimo sopra una linea propostaci descrivere una figura di 7 lati, piglieremo col compasso la lunghezza di detta linea, ed aperto l’Instromento, l’accommoderemo a i punti segnati 6.6 (e questo per regola universale si deve osservare nella descrizione di qualunque altra figura esser si voglia, cioè d’accomodare la lunghezza della linea sempre a i punti 6.6); di poi, perchè vogliamo fare la figura di 7 lati, prenderemo col compasso la distanza tra i punti 7.7; perchè questa sarà il semidiametro del cerchio, che conterrà la figura di 7 lati che cerchiamo. Però, fermata una asta del compasso ora nell’una ed ora nell’altra estremità della linea proposta, faremo con l’altra un poco d’intersecazione, che sarà il centro del cerchio da descriversi; nel qual la linea proposta s’applicherà precisamente 7 volte; e sarà descritta. Ed il medesimo si farà nell’altre.

Dalle linee che seguono appresso, caveremo molti usi: e prima, potremo con esse quadrare il cerchio, anzi ridurlo in una figura rettilinea di che forma ci piacerà. E l’operazione sarà tale: che pigliamo col compasso il semidiametro del cerchio, ed a tale misura accommodiamo, aprendo lo Strumento, li due punti circondati da gli due piccoli cerchietti, in questo modo: ☉☉; e non movendo l’Istromento, se vorremo formare un quadrato eguale al cerchio detto, prenderemo la distanza tra i punti 4.4; che sarà il lato del quadrato eguale al detto cerchio. E similmente, sarebbe l’intervallo tra i punti 5.5 il lato del pentagono eguale al medesimo cerchio; e parimente, gli altri intervalli 6.6, 7.7, 8.8 saranno i lati delle figure, tutte al medesimo cerchio eguali.

Di qui è manifesto, come, procedendo per il converso, potremo formare un cerchio eguale a qual si voglia figura regolare proposta; perchè, adattato uno de’ suoi lati al numero suo correspondente, cioè, se sarà un quadrato, al numero 4, se un pentagono, a 5, etc, la distanza tra i punti ☉ ☉ sarà il semidiametro del cerchio ad essa figura eguale.

Né taceremo come, coll’istesso ordine, possiamo trasmutare l’altre figure scambievolmente l’una nell’altra. Perchè se vorremo, per essempio, constituire un pentagono eguale ad un quadrato proposto, accommoderemo i punti 4.4 alla lunghezza del lato del quadrato, e prenderemo la distanza de i punti 5.5, e sopra essa faremo il pentagono, che sarà eguale al detto quadrato. E l’istesso intendasi dell’altre figure.

E notisi che, se congiungeremo l’uso di queste due linee con l’uso dell’altre, esplicate di sopra, per il crescimento e decrescimento delle piante, potremo, senza alcuna fatica, risolvere un bellissimo quesito: che è di costituire un cerchio, o altra figura regolare, maggiore o minore, secondo qual si voglia data proporzione, di qualunque altra figura proposta. Eccone un essempio. Ci viene proposta una figura di 7 lati, e ci viene domandato che ne facciamo una di 5 lati, maggiore di quella 2 volte e due terzi. Accommoda l’Istromento in maniera, che il lato della figura s’accomodi a i numeri 7.7, e, non mutando l’Istromento, piglia la distanza tra i punti 5.5; ed è manifesto che il pentagono di questa distanza sarà eguale all’eptagono proposto. Ma perchè noi vogliamo costituire un pentagono che sia di quello maggiore 2 volte e ${\frac {2}{3}}$ però, ricorrendo alle altre due linee, accommoderemo la distanza di questo lato del pentagono a i punti segnati 3.3, e, senza alterare lo ’nstromento, piglieremo la distanza tra i punti 8.8 (essendo che 8 contiene il 3 due volte e due terzi), e sopra tale distanza descriveremo il pentagono; che indubitatamente sarà due volte e due terzi più dell’eptagono propostoci. Ed il medesimo ordine si deve servare nell’altre operazioni⁷

Ma, procedendo più oltre, potremo col mezzo di queste due linee resolvere un altro quesito molto bello; cioè, che se ci fossero proposte molte figure regolari, ma di differente specie fra di loro, come se ci fusse proposto un cerchio, un quadrato, un pentagono ed un exagono, noi potremo in un tratto costituire una figura sola, quale più ne piacerà, eguale a tutte quelle. Ma prima fa di mestiero che dimostriamo, come con breve e facilissimo modo possiamo, quando ci fussero proposte molte figure regolari e della medesima specie, costituirne una simile ed eguale a tutte quelle. E la regola sarà questa.

Lemma per le cose seguenti.

Siaci dunque proposto di formare, per essempio, un cerchio eguale alli tre cerchi A, B, C (e quello che si dice de i cerchi, intendasi di

tutte l’altre figure tra di loro simili). Per soluzione del quesito, costituischinsi le due linee DF, DE, che contenghino angolo retto: e

tolto col compasso il semidiametro del cerchio A, si trasporti dall’angolo D sino al punto G; e parimente, sopra la medesima linea, sia trasportato il semidiametro del cerchio B in DH, ed il semidiametro del cerchio C in DI. Di poi, presa col compasso la distanza DI, fermata un’asta in D, si trasporti l’altra in DK; ed ivi fermatala, si pigli con l’altra la distanza KG, la quale si traslati in DL; e posta un’asta del compasso in L, si slarghi l’altra sino al punto H: perchè, se faremo tale distanza LH semidiametro, e descriveremo un cerchio, questo indubitatamente sarà eguale alli tre proposti A, B, C. E notisi che, come ne i cerchi ci siamo serviti de i loro semidiametri, nelle altre figure ci serviremo di uno de i lati loro; facendo nel resto la medesima operazione precisamente.

Quando dunque ci fussero proposte più figure, e di diversa specie, come saria, per essempio, un triangolo, un cerchio, ed un pentagono, e noi volessimo costituire un’altra, come saria un quadrato, eguale a tutte quelle; prima, in virtù dello Strumento, troveremo i lati dei tre quadrati eguali alle tre dette figure; e trovati li tre quadrati, col mezzo del lemma sopra posto costituiremo un solo quadrato, eguale a quelli tre: e sarà satisfatto al quesito. Ed è di più manifesto, che se vorremo che questo quadrato fusse, non eguale a quelle figure, ma maggiore o minore in qual si voglia data proporzione, noi potremo, con l’aiuto delle linee del crescimento e decrescimento delle figure, crescerlo o diminuirlo.

Per l’ultima, e più maravigliosa, operazione di queste due linee, metteremo questa: che sarà di ridurre in un quadrato, o in qual si voglia altra figura regulare, ogni figura rettilinea, quanto esser si voglia irregolare, e di lati ed angoli ineguali. Ma prima fa di mestiero che dimostriamo la regola di ridurre in un quadrato qual

si voglia triangolo proposto: la qual regola sarà nova, e molto più breve delle altre. Ed è tale.

Lemma per le cose seguenti.

Siaci dunque proposto di dover costituire un quadrato eguale al triangolo ABC. Costituischinsi da parte due linee a squadra DE, GF: di poi abbiasi un compasso di quattro punte, che da una parte apra il doppio dell’altra; e venendo nell’angolo A, fermata in esso una delle due più lunghe aste, slarghisi l’altra sin tanto che, girata intorno, rada il lato contraposto BC; e senza mutare il compasso, voltando le aste più brevi e fermandone una nell’angolo F, notisi coll’altra la distanza FH, che sarà la metà della perpendicolare cadente dall’angolo A sopra il lato opposto BC. Di poi prendasi, pur con le maggiori aste, la linea BC, la quale si trasporti in FI; e posta una delle maggiori aste nel punto I, slarghisi l’altra sino al punto H; e voltando il compasso, senza stringerlo o slargarlo, segnisi con le punte della metà la distanza IK; e fermata una di queste punte in K, seghisi con l’altra la perpendicolare FG in L: e se sopra la linea FL si formerà un quadrato, questo sarà eguale al triangolo ABC.

Intesa questa operazione, non sarà difficile redurre in quadrato qualunque figura rettilinea proposta. Perchè, essendo che ogni figura rettilinea si risolve in triangoli, in virtù del lemma dichiarato troveremo i lati de i quadrati eguali a ciascheduno dei detti triangoli, e tutti questi lati si noteranno nella linea FG; e di poi, col mezzo so dell’altro lemma di sopra esplicato, ridurremo in un solo tutti questi quadrati: il quale, senza alcun dubio, verrà ad esser eguale alla figura proposta. Ed avendo parimente, di sopra, insegnato il modo di trasmutare il quadrato in qual si voglia altra figura, e, di più. di crescerlo e diminuirlo secondo qualunque proporzione; congiugnendo queste operazioni in una, formeremo qual si voglia figura regolare, non solamente eguale, ma maggiore o minore secondo qual si voglia proporzione, dalla figura irregolare propostaci.

Restano finalmente due altre linee più interiori; mediante le quali possiamo dividere la circonferenza di qualunque cerchio in quante parti ci piacerà. E l’uso è facilissimo. Però che, del cerchio proposto prendasi il semidiametro con un compasso, ed aprasi lo Strumento sin che tale semidiametro si aggiusti a i punti segnati 6.6: e lasciato lo Strumento in questo stato, se vorremo dividere detta circonferenza in 5 parti, piglieremo la distanza de i punti 5.5; se in 7, piglieremo r intervallo 7.7, etc.: le quali misure divideranno la circonferenza nel modo che desideravamo.

Aggiungendo poi al compasso nostro la quarta del cerchio, averemo gì* infrascritti usi.

E prima, nella minor circonferenza, che si vede divisa in 12 punti, è la Squadra de i bombardieri, per livellare o dare la debita elevazione alle artiglierie. Perchè, mettendo una delle sue aste drento all’anima del pezzo, e tenendo il perpendicolo pendente dal centro dell’Istromento, quando si doverà dare uno o due punti d’elevazione, s’alzerà il pezzo, sin che il perpendicolo seghi al primo o secondo punto; e similmente, sbassando il pezzo, sì che il perpendicolo seghi al principio del Quadrante, questo sarà il tiro del punto bianco.

Ma perchè il presentarsi alla bocca dell’artiglieria non è senza pericolo, potremo con altra invenzione, senza moverci dal focone, fare il medesimo effetto d’aggiustare il pezzo. Per il che fare s’è aggiunto allo Stromento il piede mobile, per crescere, secondo il bisogno, una delle sue gambe: e ciò s’è fatto per rimediare alla difficoltà che ci apporterebbe il non essere la superficie dell’artiglieria esteriore equidistante all’anima dentro; per ciò che, come ogni uno sa, ciascheduno pezzo è più ricco di metallo verso il focone, e verso la gioia si va a poco a poco sottigliando ed impoverendo; e per questo, quando bene l’esteriore superficie fusse livellata all’orizonte, l’interiore non saria però tale, ma elevata. E però, volendo noi che il nostro Istromento, applicato sopra la superficie esterna, responda alle inclinazioni della superficie del vacuo interiore, fa di mestiere che quella gamba dello Stromento, che deve riguardare verso la gioia, sia alquanto più lunga dell’altra; il che si fa con aggiungervi il piede mobile. Ma per sapere quanto si deve detta gamba slungare, bisogna in prima livellare, una volta tanto, il pezzo secondo l’altro modo di sopra dichiarato; di poi, transferendo l’Istromento al focone, ed aggiungendo all’una gamba il piede mobile, il quale, posato sopra il pezzo, risguardi verso la gioia, si slungherà detto piede sin che il perpendicolo tagli il punto di mezzo, segnato 6: che allora lo Stromento sarà aggiustato per tal pezzo; e fermato il piede con la sua vite, si noterà, nella costa della gamba, un segno, con lima o coltello, al quale deve arrivare la cassella del piede mobile, quando vorremo usare lo Stromento intorno a tal pezzo. Nell’uso, poi, segando il filo al principio del punto 6, il tiro sarà di punto bianco; segando il 7, sarà uno d’elevazione; l’8, sarà 2; il 9, 3; etc.

Appresso a questa circonferenza ne seguita un’altra, divisa in gradi 90, che è la divisione del comune Quadrante astronomico: li usi del quale sendo copiosamente da altri posti, saranno, per brevità, in questo luogo taciuti.

Segue appresso un’altra circumferenza, con divisioni e numeri, fatta per misurare la scarpa e pendenza di qual si voglia muraglia.

L’uso della quale è, che si suspenda il filo col perpendicolo in quel piccolo foro, che si vede nell’estremo punto posto nella minore circumferenza; ed appoggiata la costa opposta dell’Istromento alla scarpa, osservisi dove il perpendicolo sega la circumferenza: perchè, segandola, per essempio, nel punto 3, diremo la scarpa di tale muraglia essere per ogni 3 di altezza uno di pendenza; e così, segando il punto 5, averà per ogni 5 d’altezza uno di pendenza, etc.

Resta finalmente l’estrema circonferenza, divisa in parti 200...

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estrazione della radice quadrata con l'aiuto delle medesime linee⁸.

Commoda e graziosa operazione, ed in particolar per quelli che non la sapessero fare per numeri, è la presente, per la sua facilità e brevità.

Quando dunque ci venisse proposto di dover trovare la radice quadrata, per essempio, di 1600, considera, prima, esser radice quadrata di 100; in oltre, questo quadrato 100 esser, dal 1600 proposto, contenuto 16 volte: talchè è manifesta cosa, la radice di 1600 deve esser in potenzia sedecupla della radice di 100. E però, sopra la scala notata nell’Istrumento, ciò è sopra le Linee Aritmetiche, piglia col compasso la lunghezza di punti, la quale applicherai ad un numero delle Linee Geometriche, del quale ne sia sopra l’istesse segnato uno 16 volte maggiore, come saria applicarlo alli punti 1.1; e senz’alterar l’Istrumento, piglierai l’intervallo sopra li punti 16.16, il quale tornerai a misurare sopra la medesima scala, e lo troverai esser punti 40: il qual numero sarà la radice cercata. E nota, ch’il medesimo si troveria pigliando, in luogo del 100, numero quadrato, e del 10, sua radice, qualunque altro numero quadrato con sua radice.

Il che acciò meglio s’intenda, eccone un altro essempio. Vogliamo trovar la radice quadrata di 6392: imaginati la radice 20, ed il suo quadrato 400; e perchè 6392 contiene il 400, 16 volte (non curando quel poco che manca, per non esser atto a far sensibile differenza), prenderai sopra la scala, con un compasso, la distanza di punti 20, la quale applicherai al numero sopra le Linee Geometriche, nelle quali 44 ne sia un altro 16 volte tanto; applicalo, verbi gratia, al 2, e, non movendo Tlstrumento, piglia col compasso l’intervallo tra li punti 32.32, e questo torna a misurarlo sopra la scala, che lo troverai contenere punti 80: quale a punto è la radice prossima di 6392.

estrazione della radice cuba col mezo di queste linee stereometriche.

Con l’aiuto di queste linee potremo estrarre la radice cuba di qualunque proposto numero: ed il modo non sarà differente da quello col quale s’è estratta la radice quadrata, con l’aiuto delle Linee Geometriche, come di sopra fu dechiarato. Quando dunque ci fusse, per essempio, proposto il numero 79896, del quale volessi estrarre la io radice cuba, considera prima dentro te stesso, esser radice cuba di 1000 (e tanto sarebbe se t’imaginassi altra radice col suo cubo); ed essendo ch’il proposto numero contiene il 1000 circa 80 volte (non essendo quel poco che manca degno di considerazione), dover ai accrescere il con proporzione ottuagecupla; sì che, preso sopra la scala aritmetica l’intervallo di punti, l’applicherai alli punti 1.1. delle Linee Stereometriche, pigliando immediatamente l’intervallo tra li punti 80. 80 delle medesime linee, il quale intervallo, misurato sopra la scala, ti darà punti 43 in circa: quale è la radice prossima di 79896.

E notisi che molte volte ci potria occorrere, che la divisione delle Linee Stereometriche non s’estendesse tanto, che bastasse per multiplicare il 10, radice cuba di 1000, quanto, per satisfare al quesito, faria di bisogno: come se, verbi gratia, volessimo pigliare la radice cuba di 200000, per quanto di sopra s’è dechiarato, bisogneria applicare la distanza di punti, presi dalla scala, alli punti 1.1. delle Linee Stereometriche, e poi, sopra le medesime, prendere l’intervallo tra li punti 200. 200, il che non si potrà fare, non essendo la divisione di tali linee distesa oltre alli punti 148. Ma non per questo resteremo di conseguir l’intento; perchè quello che non si potrà fare in una, si conseguirà in più volte. Ciò è, applicata che si sia la distanza di punti della scala alli punti 1.1. delle Linee Stereometriche, la quale doverla esser accresciuta sino a 200 volte tanto, si prenderà col compasso l’intervallo tra li punti 100. 100; di poi, per dupplicare tal intervallo, s’applicherà a qualche numero minore delle medesime Linee Stereometriche, del quale si possa, sopra le medesime, prendere il doppio, come saria applicarlo al 20, prendendo poi l’intervallo tra li punti 40. 40; perchè, misurato tal intervallo sopra le Linee Aritmetiche, si troverà esser circa punti 58: quanta è la radice cuba prossima di 200000. Potevasi il medesimo conseguire servendosi di maggior cubo e radice del 1000 e 10, come saria pigliando per radice 20, il cui cubo è 8000; e perchè questo cubo 8000 è contenuto 25 volte dal proposto numero 200000, però, pigliando dalla scala l’intervallo di punti 20,l’applicheremo a qualche numero delle Linee Stereometriche, del quale ve ne sia un altro 25 volte tanto, come saria applicarlo alli punti 4.4, pigliando poi l’intervallo tra li punti 100.100; il quale, misurato pur sopra la scala, comprenderà li medesimi punti 58, prossima radice cuba di 200000. E queste medesime cautele applicate all’estrazione della radice quadrata con l’aiuto delle Linee Geometriche, ci renderanno l’Istromento copiosissimo, e sufficiente per l’estrazione delle radice di grandissimi numeri.

divisione del cerchio in quante parti ne verrà ordinato.

Con queste medesime linee⁹ potremo dividere la circonferenza d’un cerchio in quante parti ne piacerà, oprando per il converso della precedente operazione¹⁰. Cioè, del cerchio proposto ne prenderemo con un compasso il semidiametro, il quale, aprendo l’Istromento, s’aggiusterà al punto segnato col numero delle parti, nelle quali la circonferenza del dato cerchio doverà esser divisa; come, verbi gratia, volendo noi dividere il cerchio in cinque parti, applicheremo il suo semidiametro alli punti segnati 5.5; il che fatto, senza mutare l’Istrumento, piglieremo sempre, per regola generale, l’intervallo tra li punti 6.6; il quale replicato 5 volte nella circonferenza del cerchio proposto, lo taglierà in cinque parti eguali.

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Note

1. Il cod. a porta il titolo: Discorso del Compasso Geometrico et Militare di Galileo Galilei; il cod. b: Trattato del Compasso Militare; il cod. c: Galileo Galilei, del compasso Geometrico et Militare; il cod. d: Galileo Galilei, del Compasso Geometrico. Questi titoli sono, in tutti i codici, di mani diverse da quelle che trascrissero il Trattato.
2. Le parole «di 10 libre» sono aggiunte di mano di Galileo nel cod. a; mancano negli altri esemplari indicati nell’Avvertimento.
3. Le parole «proposto un piccolo modello di» sono state aggiunte di mano di Galileo nel cod. b; e si leggono parimente nei cod. c e d. Nel cod. a, invece, è aggiunto: «presentato un modelletto piccolo d’un pezzo de».
4. Nei cod. c ed è aggiunto quanto segue:
   Ma non solamente potremo trovare il peso di altro corpo eguale in mole a un dato, ma differente di materia; ma quando anco si crescesse o diminuisse detta mole, potremo l’istesso investigare. Come se, per essempio, ci fusse proposto un cubo (e quello che si dice di un cubo, intendasi di ogn’altro solido) di stagno, il cui lato fusse uguale alla linea , il quale pesasse libre 8; vorremo sapere quanto peserebbe un altro d’oro, il cui lato fusse eguale alla linea cd. Prendasi col compasso l’intervallo ab; ed aperto lo Strumento sin che a tale intervallo si aggiustino li punti delle prime linee segnati St. St., senza punto mutare lo Strumento prendasi la distanza tra i punti Or. Or. la quale senza dubbio sarà il lato di un cubo d’oro, che pesi libre 8. Però questa tale distanza si traporterà (movendo lo Strumento) a i punti del colibro segnati 8.8; e lasciando in questo stato lo Strumento, si piglierà col compasso l’altra linea cd considerando sopra quali punti del colibro si adatti, che saranno i punti 10. 10; e tante libre diremo pesare il cubo di oro, il cui lato sarà cd. E se volessimo il converso di questa operazione, lo potremo parimente conseguire. Come se, per esempio, la linea AB fusse l’altezza di una figura di marmo, la quale pesasse libre 12, e noi volessimo trovare l’altezza di un’altra d’argento che pesasse libre 100; presa col compasso la distanza AB, si accomodi a i punti delle prime linee dello Strumento segnati Ma. Ma.; e subito col compasso si prenda so l’intervallo tra i punti dell’argento, il quale saria l’altezza di una figura d’argento di peso di libre 12. Ma perchè vogliamo l’altezza di una di libre 100, a l’intervallo pur ora pigliato si applicheranno i punti del colibro segnati 12. 12, e, senza alterar lo Strumento, prenderemo l’intervallo tra i punti 100.100; che sarà la linea CD, altezza della figura di argento di peso di libre 100.
5. Nel cod. b era scritto «resterà li due quinti»; e di mano di Galileo fu corretto in «eccederà l’altro de li due quinti», come pure leggono i cod. c e d.
6. Aggiunta dei cod. c e d:
   Con l’aiuto delle medesime linee potremo, quando ci fussero presentate due piante simili, ma diseguali, conoscer subito quanto l’una sia dell’altra maggiore. Come, per essempio, se le linee ab, cd fussero lati omologhi di due piante simili, e noi volessimo trovare qual proporzione abbino tra loro dette figure, prendasi con un compasso la lunghezza ab, e questa si accomodi a qualche numero delle linee dello Strumento delle quali ora si parla, come saria, per essempio, a i numeri 20. 20; di poi, senza muovere lo Strumento, prendasi l’altra linea cd, e veggasi sopra quali punti delle medesime linee caschi, che troverremo, v. g., cadere sopra li 9.9; e la proporzione di 20 a 9 diremo essere quello che hanno fra di loro le dette due piante. Avvertendo che, se nell’adattare la linea ab a i punti 20. 20, l’altra cd non si accomodasse precisamente ad alcun altro intervallo, torneremo ad accomodare la prima linea ad altri punti, sin che l’altra ancora precisamente si conformi a qualche distanza.
7. Aggiunta dei cod. c e d:
   E con questi due medesimi usi composti, se ci saranno proposte due figure regolari dissimili e diseguali, potremo subito conoscere quale di esse sia maggiore dell’altra, e quanto. È la linea AB, lato di un quadrato, e CD, lato di un ottangolo: cercasi quale di esse figure sia maggiore, e quanto. Preso col compasso l’intervallo AB, si accomodi a i punti del quadrato, nello Strumento segnati 4.4; di poi prendasi l’intervallo tra i punti 8.8; il quale se sarà eguale alla linea CD, diremo tali figure essere eguali. Ma se non sarà eguale, accomodisi questo intervallo, pur ora preso, ad alcuni numeri delle linee del crescimento e decrescimento delle piante, come saria, per essempio, a i numeri 4.4; e non movendo lo Strumento, si pigli la distanza CD, e veggasi a quali numeri si adatti, e troverremo, in questo essempio, adattarsi a i numeri 14.14; e così verremo in cognizione, il quadrato AB all’ottangolo CD aver la prima proporzione che ha 4 a 14.
8. Intendi, le Linee Geometriche.
9. Intendi, le Linee Poligrafiche.
10. L’operazione precedente è così intitolata: «Delle Linee Poligrafiche e come con esse possiamo descrivere li poligoni regolari, cioè le figure di molti lati ed angoli eguali».