Fabrica et uso del compasso polimetro/Parte Seconda/Delle feconde. Cap. I.
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DELLE FECONDE.
CAP. I.
PROBLEMA. I.
ambe i punti 97, sia un intervallo uguale alla AB: sarà quello, che è fra li punti 13, la parte che si cercava di tutta la AB. Et è manifesto per la somiglianza de i triangoli, 2. ??? 4. del sesto. 2. caso e per la proportione dei lati homologhi: Ma se la proportione fosse ne i numeri cosi piccioli, che frà i termini del maggiore, per la troppo vicinanza al centro, non capisse la longhezza a b, all’hora si multiplicarà
tanto l’antecedente, quanto il conseguente per un’istesso qual si sia numero, purche l’avvenimento del maggiore non trascenda il 120, delle seconde, & co i numeri prodotti, che 18. del settimo. sono nell’istessa proportione operando come si sarebbe fatto con quei semplici, si haverà l’intento. Et così ancora se a b, fosse tanto lunga 3. caso. che non si potesse adattare frà gl’ultimi termini delle Feconde, si dividerà in quante parti uguali più tornarà bene, & una di esse posta frà i termini antecedenti; se lo spatio frà i termini del conseguente si multiplicarà altretante volte, quante furono le divisioni di tutta la a b, l’aggregato ne darà la grandezza che si cercava trovare, il che è facile ad intendere ne vi occorre maggior dichiaratone. 4. caso.
Se poi i numeri della proportione data saranno maggiori del 120, & che non siano primi. Dividasi il maggiore in modo, che una delle sue parti venga ad’essere minore di 120, & frà i termini di quel quotiente posta una delle parti di a b, divisa nell’istesso modo; se il conseguente sarà minore delle predette 120, lo spatio frà i suoi termini, sarà la grandezza che si desiderava trovare. Mà s’ancor egli sarà maggiore, 5. caso. sia ancor esso diviso in quante parti piace, & lo spatio frà i termini d’una di esse multiplicato tante volte, quante furono le divifioni, ne darà la grandezza ricercata; come per maggiore VSO DEL efpreflìone. Habbiafi primieramente à diui- dere a b , nella proportione di 1140,à 87, de quali due numeri, vn folo c maggiore del 120, delle Fcconde;fe quefto farà diuifo per vn qual fi fia numero, purché il quotiente venga ad’ef- fere minore del 120, come per 12, che ne rocca per parte,&fe parimente AB, iidiuidcrà in 12,parti vguali, & vna di effe fard frapofta fra li termini del numero 95,lo fpatio (ftando ria— ftrumento in tale apertura) chc è frà ambo i punti fegnati 87, farà quello al quale a b, hà la data proportione : perche fe imaginaremo le gambe dello ftrumento eflere prolungate tanto, che foflero capaci delle dette 1140, particelle , & che frà quefte fofTe pofta tutta la AB; lo ftrumento farebbe aperto neU'ifteflò angolo pappino,come di prefentcjefTendo chela linea dal centro al punto del 1140,à quella dal me- defimo centro al punto 95,habbia la medefima 4/proportione, che rutta la AB, alia fua duodice- • lima parte interpofta fra i punti 95. Se finalméte la proportione fofTc'eome 1638, à 97o,chervno, e l’altro eccede il i2o,deJIc Feconde,col maggiorejche è antecedente,fac- ciaficome difopra, diuidendolo per efempio per 14, che ne viene à toccare 117, per parte, & ponendo frà quelli termini la medefima decima quarta parte di a B,con lo ftrumeto aperto in quefta guifà lì hauerà ciò chc fi defidera; impcroche diuifo il confeguente pcrvn’altro COMPASSO POLlMETRo. 4P qual fi fia numero come per io. fe lo fpatio frà ipunti 97,(1 muldplicarà fimilmente diece volle fi hauerà la grandezza cófeguente, alla quale ab, hauerà la ftefla proportione che hannoi numeri proporti 163 8,à 970,eflendo tale aggregato vguale allo fpatio, che farebbe frà i punti 970,fe le gambe dello ftrumcto foflero lunghe ; poiché la lunghezza dal centro al punto 970, à quella dal me defimo centro al numero 97,0 decupla , fi come è il predetto aggregato al detto (patio. PROBLEMA II. SE la linea proposta si desiderasse diuidere in più parti che vna all’altra hauesse qualche particolare proportione , come fe in tré, & che la prima à quella di mezzo fosse come 7 à 4 & quella di mezzo alla terza come 4 à 13; si raccoglierano tutti i predetti numeri insieme, & frà i termini 24 della loro somma, posta la linea A B, quei spatij frà ambo i punti, 7. & 4. & 13. faranno le parti di a B, che ^ g. frà loro haueranno le propor- ■ • doni date. &èmanifefto. Ma fe i numeri delle proportioni nó foflero talmente ordinati,che il cófeguente alla prima, foflè antecedere della terza ccnfeguente, come fe fi hauefle pure à diuidere in tré parti, & che la prima alla feconda foflè come 7,à 4, &la feconda alla terza, come G *,à' ja V SO DEL j,à ijjfi haueranno à trouare con la regola de grAritmeticijtrè numeri 35,20, che habbiano le date proportioni, acciò quello di inezie, fia conseguente al primo 35, & antecederne al terzo ja:& all*hora,come di fopra fommati infiicine, & fra i punti 107 delle Feconde pollai* A B,quelli frà ambo i punti 35,20,& 5 2 faranno le grandezze delle parti di A B, che fia loro ha» ucranno la proportione propofta. PROBLEMA III. SE poi la proportione data foflfc irrationale all*hora che quefte diuifioni non poffono del feruire a nulla,cSuerrà farlo col modo infegna- • wei da Euclide,feruendoci dello fteflò ftrome- io per qualche maggior facilità co fegnare giù per qual fi voglia di quefte linee,due grandezze de Ha proportione data, co qualche cofa da poter cancellar poi fàcilmente, & aperto l'inftru- tue nto in modo,che frà i termini della maggio» te3fia vn’interuallo vguale à tutta la grandezza propofta, quello che farà fri i termini della minore , farà quella parte alla quale tutta hauerì la proportione data • Il trouare poi frà due linee date vna media proportionale, ò di due ma terza,ò pure datene trèja quarta é,cotne fi dille, cofa tanto facile con la via geometrica, che per quefte fole nò è pacche metta conto conflituixe altre linee, onde COMPASSO POLI METRO. 51 «nde f? venga ad’offtifcarc più lo finimento di quello che c/enza auanzare ne tempo,ne fatica neH’operatione, & potendo effere vniuerfale* farlo particolare nelle rationali folament&per» loche i foglienti problemi rifoluti col mezzo de cerchi non riufeiranno forfè del tutto inutili « PROBLEMA IIIL FRà due date lincerete a #> & C, trouarne vna media proportionale. Nella maggiore di effe Ai,fia deferitro il cerchio a b t>,col centro E,fc dalla Attagliati la a v doppia delia minore c, poi fatta da i la pa vguale alla a e* metà di a* fizcol centra G,& interuallo G f 5de(cr itto vn’altro cerchio * che col primo fi feghi in D; dico la linea rata a d, eflere media fra le due date A B, & C; con* giungali il punto D,co i punti A,F, & B: & dal* l'angolo D, fia fatta cadere la DH, perpendicolare fopra h A B. Perche duque le a E, Se FG,ibno fri* loro t- fuali, farà il ciangolo yi VSO DEL A d F,equicrure;onde la perpédicolare DH, di- 47.iW i. uiderà la bafe A F, per mezzo in h> & perciò la 31. del a h, farà vguale a Ila C: & perche nel triangolo tert0 ad B,l'angolo a D BjèrettOj&daelTolaDH, Sperpendicolare alla bafe A Bjhauerà la AB, alla fto. A D,la ftefla proportione, che 1 a mcdelima a d , hà alla A H,cioe alla C. che è quello che fi vole- uadimoftrare. PROBLEMA V. DAte due linee rette a b, & c, trouare la terza proportionale. Se l'antecedente A B,farò maggiore della cófeguente c deferiuafi in efla il cerchio aebd> & dal puro A> fiano adattate in effo due linee ad, i*del AE, vguali alla c, & la li- ytarto. nea c|ie congiunge i putì D e, feghi la a B, in F,la AF, farà quella terza prò portionale, che fi andaua cercando. Perche eflendo le linee ad,a £,frà loro vguali, anco le circon- 19. del ferenze che fottendono,faranno vguali, & per- UT^e. del c*ò la rimanente d b, vguale alla rimanete E B> terze, è l’angolo BAD, vguale all'angolo BAE; & perche le due ad ;AF,fono vguali alle due ea,af>* & l’angolo d a F, all’angoloEAF, faranno gli angoCOMPASSO POLI METRO. 5$ angoli AFD)AF£, frà loro vguali, & perciò la ^àtlpri DF, perpendicolare alla AB: & perche l'angolo'7™* . . AD B, è retto, & da etto la dh, perpendicolare r^rV0> r alla a B, la a B, alla A d, cioè alla c> hauerà la fletta proportione, che la medefima ad, hà alla A F : & perciò delle due date a b,& c>Ia a f, farà terza proportionale,che è quello chc li vole- ua fare. Ma fe la prima AB,fotte minore? fia fatto il cerchioced,nella con- y£, feguentcCD,maggiore,& in etto adattata la ce, v- guale alla A B: la quale prodotta fia fegata dalla perpendicolare D F, tirata daH’eftrcmo D,fopra la CD, in f. farà la CF, terza jpportionale delle due date AB,CD.Sia per la di- moftratione fatta-la EG, parallela alla f d5& congiuntoi punti ed. . Pere he dunq; nel triangolo rettangolo CED, la eg, è perpendicolare alla bafe CD,farà DCy coradPS. à ce, come la ce, alla CG,&conuertendo CBydelfèfio. alla CD,come GC,alla CEjma per la fomiglian- za de i triangoli CD F,CG£: come 6C,à CE,co-^J0# sì è DC,alla CF: dunque come CE,cioè AB,alla 4. dclfi* CD,cofi fard DC,allaCF:& perciò la CF,terza proportionale delle due a B, C D,che è quello che fi era propofto voler fare • PRO- 54 VIO DEL PROBLEMA. VI. DA te tre linee rette terminate, trouare la quarta proportionale, Defcriuafi nella maggiore delle due prime date a b, il cerchio AEB, & come dianzi,fia adattata la a £, vguale alla confeguente C, alla quale dall’altra parte fia fatta aguale A F ,& congiunto iputi ae, a f, c6 linee indeterminate dalle parti di F, dalle quali, dal punto 4^ie fiano tagliate, le AH, &AK, vguali alla terza D, & la linea, che congiunge i putì H k, feghi la AB, in L. Dico la A L, efferc la quarta proportionale delle tré A Bac, Se o,date. Con- gkmgafi iptwrtiE F,E B, &JaE Freghila A B, in G. farà perle cofe dimoftrate p oco fk j Come
- BA,alla AE,cioè alla c,cmì EA,alfa AG; ma per
r bfomiglianzade » triangoli AEG, ah L, come? f*EA,aWaAG>cosi HA,afla AL, & j>ciòcome BA, alla a E, così hà, che è vguale alia terza d, alla quarta a L,come fi è detto. Se la prima antecedente folle minore della •-.li fecoaCOMPASSO POLIMETKO. j 5 feconda confeguente s’haueràda operare con modo conucrfo, come nel fecondo cafo della pattata,pon£*do la ae, vguale alla prima,& a L, alla terza,onde la a h, verrà ad’efferc la quarta che fi defidera trouare. PROBLEMA VII. DAtcduelinee rette, trouare la terza, la q uarta,& quant'altre fe ne vogliano tut* te in continoua proportione. Nella maggiore a b, delle due linee date,de* fcriuafi vn mezzo cerchio,& da vnodellieftre- uii AB, adattili in effo la BD,vgualealIamino* re C: poi fatta dal punto d, cadere la D E, perpendicolare alla a B; già è ftato dimoftrato la B e, c fiere terza proportionale delle due date AB,cSia nella BD,fatto il mezzo cerchio BFD & dal puto B,adattatociIa bf> vguale alla BE, il che è potàbile, eflendo chela be, fia minore !* del diametro DB; Se dunque dal punto F,fifa- rà la FG,perpendicolarcalla B d, la quale le fi terz.o. producefle cadercbbe nel punto £,Ia B G,farà la V8* quarta in continoua proportione co le a b, B d, *r* & B f jPerche eflendo le BE,B F,frà loro vguali, quinto. hauerà BD,à bf, lamedcinaproportione,che 8- del alla BE,cioèquella di AB,à BD: ma come BD,à^?i# BF,cosi è B F,à B G,dfique come a B,à BD,così è BD,à B F, & B f, à Bg. Se di nuouo nella B f, fi difegnarà vn mezzo cerchio,& dalmedefiino punto VSO DEL punto B,ci fi adattar* la bh> vguale à bg}& da H,fi farà la H K, perpendicolare alla BFila B K)farà per 1 ìftef- fa ragione la quinta;&cofi con l'iftello ordine fi trouarà la feda, la fettima, & quat’altre ne ricercarà il bifogno. Oltre à ciò fe fi cógiungeranno infieme i putì ADFH,fidimoftrerà3chcanco le ad,df,fh & HK>fono continoue proportionaIi5& frà loro come le due date da principio-a B, & C. Perche M-^efsedo itriàgoli BED,B f d, rettàgoli,! due qua ter3i0j'tòxdLÙ BE,ed, vengono ad eflere vguali alle due ytJmof B F,F D;pcr chegl’vnij&graltri fono vguali al- l'ifteflb quadrato BD;da quali trattone i due vguali BE)BF3Imrnanétifaràno frà loro vguali, & cosi i loro lati D E, d F> & per rifletta ra- 8. ^f/gione fh, vgurlialla fG. Horpchenei trian- fefio. golirettangoli ADB dfb fhb,la proportione, che hà A B à B D .è la fletta che quella di A D, à de,cioè à d Fj&come d B,à BF,cofi df,à F G cioèà fh,& finalmente* omc f B,à bh, cosi F H,ad HK.,&le AB,BD,BF>& BH; fi fono dimoflrate eflere in continoua proporrione;du» que anco così pi rimente faranno le A d, d F, fHj&h Kjccmc fi era attento. SCOCOMPASSO POLìMETRO. 57 SCOLIO. SI diflè, che le perpendicolari pg,hk,prolungate vengono à cadere nc i punti, e , & G,oue le perpendicolari antecedenti, feganole bafi de i loro triangoli,& co fi l'altre con l’iftcf- fo ordine, accioche ci poteffimo valere di quefto vantaggio nell’operare, hora fi inoltrerà e£- fere cofi nel fogliente modo. Siano ipuntiEG, congiunti con vna linea retta, & prodottala • circonferenza del mezzo cerchio B f D,la quale paffarà per lo punto E,per cagione, che Fan- del golo Bed, e retto, & perche fi èdimoftratola terzo. DE, vguale à DF>farà la circonferenza de, *8. del vguale alla circonferenza d F jonde anco gl*an- terzo. goli eb d>d B F)Che pofano fopra di loro vgua- li;&perche nei triangoli ebg, GBF,Ie lb, & 27- del B F,fono vguali, & la BG,comune. Egl’angoliter7L0* EB g, FBG, vguali ; dunque le bafe EG, farà ^..delpri vguale alla bafe gf, & l’angolo egb , vguale ™0. all’angolo bgf >nià quefto è retto,perciò retto 14. del farà ancora egb, & per quefto la egf, vna li-P™*0, nea retta, & cofi fi dimoftrerà parimente effere la g h • COROLLARIO. DAlle cofe dimoftrate fi raccoglie cotne4.^/y}. tutti gl’angolial B, fono frà loro vguali,/?*- H &ef5* VSO DEL & cffcndo quelli nelli mezzi cerchi retti, tutti i triangoli abd, Dfc'F, fbh, deb, fgb,hkb, adE>dfG.fhk, efferelimili, & perciò iloro lati homologhi in continoua proportione. DAte due figure rettilìnee conofcere quale proportione habbia no frà loro. - Siano primieramente le figure date i rrian- . •goflÌAB-C>DEF;ie'dagrangoli a,& d, fifarano cadere le perpendicolari ag3 dh, fopralebafi BC?EF,&cheIa t>roporrioftc'di AG,à DH,hab- biàìa £ £ ,adVn'a Irra K ; Dico iftfiatofcolo ABC, al triangolo ED F,efn?rt ^cìtie bc à K.Pacciafi nella GA,dal p'tiftto G,ta GL,vguak* alla dh,& fiano congiunti i punti B L, LC Perche dunque Cerna*, i due triangoli ABC , LBC, hanno l’iftefla bafe AlUpri bc,faranno fràlorò'conie le altezze AG, GL. dtl Cioè come E F,à K. : mài due triangoli LBC,& DEFjChe hannò vn’iftefla altezza,fono come le YcìTcTo bafiiLaonde effcttdo f! triangolo a bc,*I trian- PROBLEMA YIII golo CO M PASSO PO umetto. 5 f> gola LBC>comcEF3d ic,,&;il yjiwg.plo lb al
- triangolo DEF , come bc, alIaÈF ; fura per
l’vgual proportionenell’analogia perturbata ; i«. del il triangolo ABC , al triangolo def , come lacl'1int0' BC, à K . Si coinè fi era detto . Mà fé le figure faranno moWIatere; fi faaran- noà rifolucrc in triangoli, & fetanti ne verranno in vna, quanti ne fono nell’altra, come nelle due abCDE >f GHKL,fia col modo antecedente la proportione del triangolo a B£, al triangolo f GL,quella di MN,ad OPiquelIa che ha bec, al triangolo glh ^ laftcfladi, ì I>r , & quella del triangolo eCd, al triangolo H K l, la proportione di Q^S, à rt ; farà la proportene di tuttala figura abcdje, alla figura FGHKLj lamedefima, che quella che hà tutta la MS,à tuttala ot . Se finalmente il numero de triangolid’vna foffe maggiore del numero di quelli dell'altra} fifubdiuidcranno imcno^finchc s’agguagliano H 2 ai più, /* co VSO DEL à i piìi 5 & operando come di fopra s'hauèrà l’intento, 9 PROBLEMA IX. DAto vn cerchio dcfcriucrc vna linea retta vguale alla fua circonferenza. Si diffenellafabrica delle Feconde, che per facilitare alcune operationi, fifacefTevn qualche fegnoinamenducipunti76. ± delle cento venti particelle di effe, per effere quefto numero al 120, nella medefima proportione del diametro del cerchio alla metà della fua circonferenza, ò fe le particelle furono feffanta, al termine delle 38, J7. Frà quefti due punti dunque che fi contrafegnorno co rna ftella*,fe fi adat- tarà il diametro del cerchio dato, & fi raddopperà la linea retta ddl’interuallo che è frà I punti eftremi 120, quefta farà vguale alla pro- pofta circonferenza, & è manifefto per la fomi- 4. del fi- glianza de i triangoli. Che hanno per lati, le fie. Feconde, & per bafi, le linee che congiungono ambo ipunti 120, & 76^.ouero 60. & 38^. Si confeguirà anco il medefimo, fe il diametro del cerchio fi adattaràfrà ambe i punti 7, & 7i& ftado in tale apertura; fi pigliel a l’interual- lo che è frà ambe i punti 2 2. Ouero fe fofTe bi- fogno per qualche compdità,adattarJofrà altri punti più dittanti dal centro,purche fiano mol- tiplici del 7, con pigliare fimilmente l’interual- < • - lo COMPASSO P0L1METR0. <n lo che è frà li punti 22, & moltiplicarlo altretà- te volte quante del 7,era molteplice quello ouc s’adattò il diametro . O pigliare l’interuallo che è fi à i numeri molteplici del 2 2,nel medefi- rno modo , ehe è tutto vna co fa medefima. Et fe bene la linea trouata non è veramente vguale alla circonferenza propofta, che quefto n óè alcuno fin hora che lo fappia fare,è nondimeno cofi profilma, che fenza errore fi può affermare che fia, confiftendo la differenza frà cofi angufti termini, che nó ci può effere fuario d’alcun momento; poiché ogni circonferenza di cerchio,è tripla del fuo diametro,& n’auuan- za di più vna particella minore d’vn fettimo % j* 1 o o • j. , 0 \ dmcns cioè di ,-£,& maggiore dicome ci hadimo-cirtm ftrato Archimede. PROBLEMA X. DAto vn cerchio defcriuere vn quadrato che le fia vguale. Adattafiil diametro del cerchio dato frà i punti fefrà la metà del diametro, & l'inter- ua!lo,che è frà Tvno, c l’altro eftremo delle Feconde, fi trouarà vna media proportionale, quefta farà il Iato del quadrato vguale al propo- fto cerchio , eflendo ftato dimoftrato ogni cerchio effere vguale al triangolo rettangolo, che hà vno dei lati,d’intorno all’angolo retto, vguale al fcmidiametro, & l'altro à tutta la firc> circoli