Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 111

Capitolo 18 - Tipi particolari di equazioni differenziali

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Capitolo 18 - Tipi particolari di equazioni differenziali
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§ 111. — Tipi particolari di equazioni differenziali.

) Sia data l'equazione lineare1 del primo ordine omogenera2

                                                  ,                    (1)

dove è una funzione continua della . Dividendo per (supposto per un momento diverso da zero) se ne deduce

, ossia .

È perciò , e quindi ( cost. arbitraria). [p. 370 modifica]Notando che, essendo una costante arbitraria, è una costante arbitraria positiva, e, passando dal valore di a quello di , se ne trae

                         ossia          ,

dove è una costante arbitraria che ha il segno di . E questa formola, come si verifica facilmente, dà proprio una soluzione di (1). Per quanto abbiamo detto essa d- anzi tutte le soluzioni di (1), perchè per dà la soluzione (finora esclusa) .

Sia data l'equazione lineare del primo ordine           (2) (, funzioni continue della ).

La soddisfa alla 82), ove si supponga , quando con si indichi una costante (questo §, ). Cerchiamo se è possibile determinare la come funzione non costante della in guisa che la soddisfi all'equazione più generale (2) (ciò che in sostanza equivale ad assumere come funzione incognita al posto della la .

Questo metodo, detto metodo della variazione delle costanti arbitrarie, ha spesso applicazioni nell'analisi, e sarà applicato anche da noi in altri problemi. Sostituendo in (2) al posto di otteniamo:

,

ossia:

               ,          cioè:          .

Integrando si ha così:

( cost. arbitraria)

e quindi:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle y=e^{\int P(x)dx}\left\{\in\, Q(x) e^{-\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}\, dx+C\right\}} .

Oss. 1a. Per questa formola i riduce a quella trovata in () per risolvere (1).

Oss.2a È naturalmente inutile scrivere al posto di ( cost. arbitraria) nella nostra formola. Con questo cambiamento esso diventa infatti:

,

[p. 371 modifica]che differisce dalla precedente in modo non essenziale solo nel fatto che la costante arbitraria vi è indicata non con , ma con .

) Il tipo più generale di un'equazione alle derivata ordinarie del secondo ordine è

,

dove è funzione delle .


Supponiamo che in tale equazione non figuri la , che cioè l'equazione sia del tipo

.

Ponendo

,

essa si trasforma nell'equazione

che è un'equazione differenziale del primo ordine. Se noi la sappiamo risolvere, conosceremo la (con una costante arbitraria) e ne dedurremo:

.

con una seconda costante arbitraria.

) Un altro tipo di equazione differenziale del second'ordine, che si può ridurre al primo, si ha quando nell'equazione data non compare la variabile indipendente ; cioè quando si abbia un'equazione del tipo:

.

Se questa equazione ha una soluzione non costante3, prendiamo questa come variabile indipendente e chiamiamola .

La derivata si indichi con - Allora sarà:

,

[p. 372 modifica]e la nostra equazione diventerà:

,

che è del primo ordine perchè vi compare solo la derivata prima della funzione incognita . Dedottane la come funzione della , con una costante arbitraria , si dovrà poi risolvere la che dà

cost.

come una nuova costante arbitraria.

Sia data, per esempio, l'equazione

.

Se , è ; questo solo caso eccettuato, si potrà porre ; cosicchè l'equazione data si ridurrà alla

e integrando:

cost.


e cioè                         ,      ( cos.)

da cui                         .

Separando le variabili

e integrando:

,

dove è una nuova costante arbitraria. Dunque anche nell'integrale generale di quest'equazione del ° ordine compaiono due [p. 373 modifica]costanti arbitrarie. In quest'ultima formola è inclusa anche la soluzione , che avevamo finora escluso; ciò che si riconsoce, ponendo .

Esempi.

1° Integrare l'equazione [ funzione derivabile].

Ris. Derivando entrambi i membri si ottiene:

ossia .

Sarà dunque oppure .

Nel primo caso ( costanti); e, sostituendo nella data equazione, si trova , ossia e quindi

               ( cost. arbitaria).     ()

Se invece , si ponga ; ricordando la data equazione si trova:


L'eliminazione della tra queste due equazioni darà una nuova soluzione della nostra equazione, se da esse si deduce ; perchè allora la 2a si riduce proprio all'equazione data. E infatti se ne deduce (se )

.


Se non eliminiamo la , le precedenti formole deriniscono la soluzione in forma parametrica; basta infatti far variare per dedurne le coppie di valori compatibili delle .

Queste due equazioni si possono considerare come le equazioni parametriche di una curva .

La retta tangente a in quel punto di , che corrisponde al valore , che corrisponde al valore della , ha per equazione . Cioè la curva è la curva, le cui tangenti hanno per equazione , cioè è la curva inviluppo delle rette .

Si noti che, se si volesse dalla data equazione dedurre come funzione delle , la sarebbe una funzione implicita delle , a cui proprio lungo non sono applicabili i teoremi del § 84, perchè lungo è nullo , che è appunto la derivata parziale del primo membro della nostra equazione rispetto ad . Perciò si dice la soluzione singolare. [p. 374 modifica]2° Integrare l'equazione ( funzioni derivabili).

Ris. Derivando si ottiene:

.

Posto , se ne deduce

,

escluso il caso , che abbiamo già trattato all'esempio 1°.

Questa equazione, in cui si considera come variabile indipendente ed come funzione incognita, è un'equazione differenziale lineare del primo ordine che già sappiamo risolvere. E si trova

.

L'equazione differenziale dà poi

.

Restano così espressi in funzione di un parametro ; e con un'eliminazione si potrebbe (volendo) dedurne la espressa in funzione di . Si verifichi che effetivamente .

3° Integrare

.

Ris. Posto ( costanti), l'equazione diventa: {{centrato| ove:

,


.


Se , si possono scegliere le in modo che .

L'equazione diventa:

,

[p. 375 modifica]che è omogenea di primo grado; e quindi le variabili si separano tosto assumento come nuova variabile al posto di , ecc.

Sia invece . Se l'equazione si risolve immediatamente. Se così non è, almeno una delle due espressioni o , p. es la prima, non è identicamente costante. Postala uguale a , la nostra equazione diventa:

                              ( cost.).

Posto al posto della o della i valori che si traggono dalle , la nostra equazione diventa del tipo:

oppure:

cost.)

che si integra subito, separando le variabili (dividendo per ).

Altri Esempi.

1° Integrare le equazioni:

;

. (Si ponga .

Integrare il sistema di equazioni (ove è la variabile indipendente):



( cost.).


Si potrà porre per la prima equazione ; e, sostituendo nella seconda, si trova: {{centrato|, donde , ( cost. arbitraria). E se ne trae: , dove è poi da distinguere il caso da quello .

Risolvere l'equazione ( cost.). [p. 376 modifica]Si può seguire il metodo dato in questo §, , ponendo . Più brevemente si procede ponendo , donde , . L'equazione diventa:

, ; ( cost.),

donde:

ed ,

che si inntegra tosto, assumendo (se ) come nuova variabile di integrazione. E si trova che le curve cercate sono rette (per ), o cerchi di raggio (per .

4° Risolvere l'equazione .

Si divida per e si assuma come nnova funzione incognita. Saremo ridotti al caso studiato in questo §, .

Note

  1. Lineare perchè di primo grado nella e derivata .
  2. Omogenea perchè mancano termini di grado zero nelle . Vi è invece un tale termine nell'equazione che trattiamo in .
  3. Le soluzioni ( cost.) si trovano immediatamente. Come si vede subito, sostituendo nell'equazione proprosta, esse sono le soluzioni eventuali dell'equazione (non differenziale) . Se poi non è costante, e quindi non è identicamente , in un qualche intorno, per la teoria delle funzioni implicite, si potrà considerare come funzione di , e quindi anche (che è funzione della ) come funzione della .