Pagina:Lezioni di analisi matematica.pdf/388

372

capitolo xviii — § 111

---

e la nostra equazione diventerà:

$f\left(z{\frac {dz}{d\xi }},z,\xi \right)=0$,

che è del primo ordine perchè vi compare solo la derivata prima della funzione incognita $z$. Dedottane la $z={\frac {dy}{dx}}$ come funzione $\varphi (y)$ della $\xi =y$, con una costante arbitraria $C$, si dovrà poi risolvere la ${\frac {dy}{dx}}=\varphi (y)$ che dà

$\int {\frac {dy}{\varphi (y)}}-x=$ cost.

come una nuova costante arbitraria.

Sia data, per esempio, l'equazione

$y+y''=0$.

Se $y={\text{cost.}}$, è $y=0$; questo solo caso eccettuato, si potrà porre $y=\xi ,y'=z$; cosicchè l'equazione data si ridurrà alla

$\xi d\xi +z\,dz=0$

e integrando:

${\frac {\xi ^{2}}{2}}+{\frac {z^{2}}{2}}=$ cost.

e cioè                         ${\frac {y^{2}}{2}}+{\frac {y'^{2}}{2}}={\frac {C^{2}}{2}}$,      ($C=$ cos.)

da cui                         ${\frac {dy}{dx}}={\sqrt {C^{2}-y^{2}}}$.

Separando le variabili

${\frac {dy}{\sqrt {C^{2}-y^{2}}}}=dx$

e integrando:

$\int {\frac {dy}{\sqrt {C^{2}-y^{2}}}}=x+d$

${\text{arcsen}}{\frac {y}{C}}=x+d,y=C{\text{sen}}\,(x+d)$,

dove $d$ è una nuova costante arbitraria. Dunque anche nell'integrale generale di quest'equazione del ° ordine compaiono due