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equazioni differenziali

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che differisce dalla precedente in modo non essenziale solo nel fatto che la costante arbitraria vi è indicata non con $C$, ma con $Ce^{k}$.

$\gamma$) Il tipo più generale di un'equazione alle derivata ordinarie del secondo ordine è

$f(x,y,y',y'')=0$,

dove $f$ è funzione delle $x,y,y',y''$.

Supponiamo che in tale equazione non figuri la $y$, che cioè l'equazione sia del tipo

$f(x,y',y'')=0$.

Ponendo

$y'=z$,

essa si trasforma nell'equazione

$f(x,z,z')=0$

che è un'equazione differenziale del primo ordine. Se noi la sappiamo risolvere, conosceremo la $z$ (con una costante arbitraria) e ne dedurremo:

$y=\int \,zdx+{\text{cost.}}$.

con una seconda costante arbitraria.

$\delta$) Un altro tipo di equazione differenziale del second'ordine, che si può ridurre al primo, si ha quando nell'equazione data non compare la variabile indipendente $x$; cioè quando si abbia un'equazione del tipo:

$f(y'',y',y)=0$.

Se questa equazione ha una soluzione $y$ non costante¹, prendiamo questa $y$ come variabile indipendente e chiamiamola $\xi$.

La derivata $y'={\frac {dy}{dx}}$ si indichi con $z$- Allora sarà:

$y''={\frac {dy'}{dx}}={\frac {d\xi }{dx}}{\frac {dy'}{d\xi }}={\frac {dy}{dx}}{\frac {dy'}{d\xi }}=z{\frac {dx}{d\xi }}$,

1. Le soluzioni $y=k$ ($k=$ cost.) si trovano immediatamente. Come si vede subito, sostituendo nell'equazione proprosta, esse sono le soluzioni eventuali dell'equazione (non differenziale) $f(0,0,k)=0$. Se poi $y$ non è costante, e quindi non è identicamente $y'=0$, in un qualche intorno, per la teoria delle funzioni implicite, si potrà considerare $x$ come funzione di $y$, e quindi anche $y'$ (che è funzione della $x$) come funzione della $y$.