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equazioni differenziali

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costanti arbitrarie. In quest'ultima formola è inclusa anche la soluzione $y=0$, che avevamo finora escluso; ciò che si riconsoce, ponendo $C=0$.

Esempi.

1° Integrare l'equazione $y=xy'+\varphi (y')$ [$\varphi$ funzione derivabile].

Ris. Derivando entrambi i membri si ottiene:

$y'=y'+xy''+\varphi '(y')y''$ ossia $y''[x+\varphi '(y')]=0$.

Sarà dunque $y''=0$ oppure $x=-\varphi '(y')$.

Nel primo caso $y=mx+n$ ($m,n$ costanti); e, sostituendo nella data equazione, si trova $mx+n=mx+\varphi (m)$, ossia $n=\varphi (m)$ e quindi

          $y=mx+\varphi (m)$     ($m$ cost. arbitaria).     ($\alpha$)

Se invece $x=-\varphi (y')$, si ponga $y'=t$; ricordando la data equazione si trova:

L'eliminazione della $t$ tra queste due equazioni darà una nuova soluzione della nostra equazione, se da esse si deduce $y'={\frac {dy}{dx}}=t$; perchè allora la 2^a si riduce proprio all'equazione data. E infatti se ne deduce (se $\varphi ''(t)\not =0$)

${\frac {dy}{dx}}={\frac {-\varphi '(t)-t\varphi ''(t)+\varphi '(t)}{-\varphi ''(t)}}=t$.

Se non eliminiamo la $t$, le precedenti formole deriniscono la soluzione in forma parametrica; basta infatti far variare $t$ per dedurne le coppie di valori compatibili delle $x,y$.

Queste due equazioni si possono considerare come le equazioni parametriche di una curva $\Gamma$.

La retta tangente a $\Gamma$ in quel punto di $\Gamma$, che corrisponde al valore $m$, che corrisponde al valore $m$ della $t$, ha per equazione $(\alpha )$. Cioè la curva $\Gamma$ è la curva, le cui tangenti hanno per equazione $(\alpha )$, cioè è la curva inviluppo delle rette $(\alpha )$.

Si noti che, se si volesse dalla data equazione dedurre $y'$ come funzione delle $x,y$, la $y'$ sarebbe una funzione implicita delle $x,y$, a cui proprio lungo $\Gamma$ non sono applicabili i teoremi del § 84, perchè lungo $\Gamma$ è nullo $\varphi '(y')+x$, che è appunto la derivata parziale del primo membro della nostra equazione rispetto ad $y'$. Perciò $\Gamma$ si dice la soluzione singolare.