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equazioni differenziali

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che è omogenea di primo grado; e quindi le variabili si separano tosto assumento ${\frac {\eta }{\xi }}=z$ come nuova variabile al posto di $\eta$, ecc.

Sia invece $ak-bh=0$. Se $a=b=h=k=0$ l'equazione si risolve immediatamente. Se così non è, almeno una delle due espressioni $ax+by+c$ o $hx+ky+d$, p. es la prima, non è identicamente costante. Postala uguale a $t$, la nostra equazione diventa:

                    $tdx+(pt+q)dy=0$          ($p,q=$ cost.).

Posto al posto della $x$ o della $y$ i valori che si traggono dalle $ax+by+c=t$, la nostra equazione diventa del tipo:

$(\alpha t+\beta )dy+(\gamma t+\delta )dt=0$

oppure:

$(\alpha t+\beta )dy+8\gamma t+\delta )dt=0$

$\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta =$ cost.)

che si integra subito, separando le variabili (dividendo per $\alpha t+\beta$).

Altri Esempi.

1° Integrare le equazioni:

$y''=P(x)y'+Q(x)$;

$y^{(n)}=P(x)y^{(n-1)}+Q(x)$. (Si ponga $z=y^{(n-1)}$.

2° Integrare il sistema di equazioni (ove $s$ è la variabile indipendente):

${x'}^{2}+{y'}_{s}^{2}=1$

${x''}_{s}^{2}+{y''}_{s}^{2}=k^{2}$

($k=$ cost.).

Si potrà porre per la prima equazione $x'={\text{cos}}z,y'={\text{sen}}z$; e, sostituendo nella seconda, si trova: {{centrato|${z'}^{2}=k^{2}$, donde $z'=\pm k$, $z=\pm ks+h$ ($h=$ cost. arbitraria). E se ne trae: $x=\int \,{\text{cos}}(\pm ks+h)ds,y=\int \,{\text{sen}}(\pm ks+h)ds$, dove è poi da distinguere il caso $k=0$ da quello $k\not =0$.

3° Risolvere l'equazione ${\frac {{y''}_{x}}{(1+{y'}_{x}^{2})^{\frac {3}{2}}}}=k$ ($k=$ cost.).