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equazioni differenziali

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Così, p. es., si trovino le soluzioni di

$x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$

Le soluzioni della ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}$, ossia della ${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}$ sono quelle tali che $\log \,y=\log \,x+{\text{cost.}}$, ossia tali che ${\frac {y}{x}}={\text{cost}}.$ Le funzioni $f$ cercate sono tutte e sole le funzioni di ${\frac {y}{x}}$, come è facile verificare.

L'Equazione di Eulero $x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}nf$ ($n=$ cost.)

Posto $\varphi =\log \,|f|-n\log |x|$, tale equazione diventa $x{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$. Perciò $\varphi (x,y)=\log |f(x,y)|-n\log |x|=\log \left|{\frac {f(x,y)}{x^{n}}}\right|$ è funzione del rapporto ${\frac {x}{y}}$. Altrettanto avverrà di $F=e^{\varphi }=\left|{\frac {f(x,y)}{x^{n}}}\right|$. Perciò $f(x,y)=x^{n}F\left({\frac {x}{y}}\right)$. In tal caso si dice che $f$ è funzione omogenea di grado n, perchè, moltiplicando x ed y per una stessa costante h, la $\mathrm {f(x,y)}$ resta moltiplicata per $\mathrm {h^{0}}$. Più in generale le soluzioni $f(x_{1},x_{2},.....x_{n})$ dell'equazione $\Sigma _{i}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x}}=nf$ sono tutte e sole le funzioni omogenee di grado $n$ delle $x$, cioè le funzioni del tipo $x_{i}^{n}\,\varphi \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{3}}{x_{1}}},.....,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)$. Infatti se consideriamo $f$ come funzioni delle variabili $\xi _{1}=x_{1}$; $\xi _{2}={\frac {x_{2}}{x_{1}}}x$; $\xi _{3}={\frac {x_{3}}{x_{1}}}$; .....; $\xi _{n}={\frac {x_{n}}{x_{1}}}$, la nostra equazione diventa ${\frac {\partial f}{\partial \xi _{1}}}={\frac {n}{\xi _{1}}}f$, donde ${\frac {\partial \,\log |f|}{\partial \xi _{1}}}={\frac {n}{\xi _{1}}}$; $\log \,|f|=n\,\log \,|\xi _{1}|+\varphi$; $f=\xi _{1}^{n}\varphi _{1}[\psi =\log |\varphi |]$ dove $psi$ (e quindi anche $\varphi$) sono costanti rispetto alla $\xi _{1}$, e ciop sono funzioni delle sole $\xi _{2},\xi _{3},.....\xi _{n}$.

§ 111. — Tipi particolari di equazioni differenziali.

$\alpha$) Sia data l'equazione lineare¹ del primo ordine omogenera²

                                                  $y'=P(x)y$,                    (1)

dove $P(x)$ è una funzione continua della $x$. Dividendo per $y$ (supposto per un momento diverso da zero) se ne deduce

${\frac {y'}{y}}=P(x)$, ossia ${\frac {d}{dx}}\,\log \,|y|=P(x)$.

È perciò $\log |y|=\int \,P(x)dx+C'$, e quindi $|y|=C^{C'+\int P(x)dx}$

($C'=$ cost. arbitraria).

1. Lineare perchè di primo grado nella $y$ e derivata $y'$.
2. Omogenea perchè mancano termini di grado zero nelle $y,y'$. Vi è invece un tale termine $Q(x)$ nell'equazione che trattiamo in $beta$.