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capitolo xviii — § 111

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Notando che, essendo $C'$ una costante arbitraria, $e^{C'}$ è una costante arbitraria positiva, e, passando dal valore di $|y|$ a quello di $y$, se ne trae

               $y=C\,e^{\left.\int P\,x\right)rx}$          ossia          $ye^{-\int P(x)dx}=C$,

dove $C$ è una costante arbitraria che ha il segno di $y$. E questa formola, come si verifica facilmente, dà proprio una soluzione di (1). Per quanto abbiamo detto essa d- anzi tutte le soluzioni di (1), perchè per $C=0$ dà la soluzione (finora esclusa) $y=0$.

$\beta$ Sia data l'equazione lineare del primo ordine $y'=P(x)+Q(x)$          (2) ($P,Q$, funzioni continue della $x$).

La $y=ze^{\int P(x)dx}$ soddisfa alla 82), ove si supponga $Q(x)=0$, quando con $z$ si indichi una costante (questo §, $\alpha$). Cerchiamo se è possibile determinare la $z$ come funzione non costante della $x$ in guisa che la $y=ze^{\int P(x)dx}$ soddisfi all'equazione più generale (2) (ciò che in sostanza equivale ad assumere come funzione incognita al posto della $y$ la $z=ye^{-\int P(x)dx}$.

Questo metodo, detto metodo della variazione delle costanti arbitrarie, ha spesso applicazioni nell'analisi, e sarà applicato anche da noi in altri problemi. Sostituendo in (2) $ze^{\int P(x)dx}$ al posto di $y$ otteniamo:

$z'e^{\int P(x)dx}+zP(x)e^{\int P(x)dx}=P(x)ze^{\int P(x)dx}+Q(x)$,

ossia:

               $z'e^{\int P(x)dx=Q(x)}$,          cioè:          $z'=Q(x)e^{-\int P(x)dx}$.

Integrando si ha così:

$z=\int \,Q(x)e^{-\int P(x)dx}+C$ ($C=$ cost. arbitraria)

e quindi:

Errore del parser (errore di sintassi): {\displaystyle y=e^{\int P(x)dx}\left\{\in\, Q(x) e^{-\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}\, dx+C\right\}} .

Oss. 1^a. Per $Q(x)=0$ questa formola i riduce a quella trovata in ($\alpha$) per risolvere (1).

Oss.2^a È naturalmente inutile scrivere $\int P(x)dx+k$ al posto di $\int P(x)dx$ ($k=$ cost. arbitraria) nella nostra formola. Con questo cambiamento esso diventa infatti:

$e^{\int P(x)dx+k}\left\{\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}\,e^{-k}dx+C\right\}=$

$=e^{\int P(x)dx}\left\{\int Q(x)e^{-\int P(x)dx}dx+Ce^{k}\right\}$,