Lezioni di analisi matematica/Capitolo 18/Paragrafo 110

by Guido Fubini

Capitolo 18 - Equazioni differenziali, la cui integrazione è ridotta a quella di un differenziale esatto

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Guido Fubini - Lezioni di analisi matematica (1920)

Capitolo 18 - Equazioni differenziali, la cui integrazione è ridotta a quella di un differenziale esatto

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§ 110. — Equazioni differenziali, la cui integrazione è ridotta a quella di un differenziale esatto.

$\alpha$) Sia $f$ una funzione delle due variabili $x,y$; trovare tutte le funzioni $y$ della $x$ che soddisfano a un'equazione del tipo

                                                  $f(x,y)={\text{cost.}}$                              (1)

equivale a trovare tutte le funzioni $y$ definite implicitamente dalla (1).

È chiaro che per tutte e solo le funzioni definite implicitamente dalla (1) si ha che, sostituendo nel primo membro della (1) in luogo di $y$ il suo valore e derivando la funzione di $x$ che ne risulta, si ottiene lo zero. In altre parole la¹

                                        ${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=0$                    (2)

vale per tutte e sole le funzioni $\mathrm {y}$ definite implicitamente dalla (1)

La (2) è un'equazione differenziale ordinaria del primo ordine: tutte le funzioni $y$ che la risolvono sono tutte e sole quelle che soddisfano alla 81).

Si abbia ora l'equazione differenziale del tipo:

                                        $M(x,y)+N(x,y){\frac {dy}{dx}}=0$,                    (3)

La quale, moltiplicata per $dx$, si può scrivere:

                                        $M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$.                    (4)

Se il primo membro di (4) è un differenziale esatto, se esiste cioè una $f(x,y)$ tale che:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=M(x,y)$ ; ${\frac {\partial f}{\partial y}}=N(x,y)$,

 per le considerazioni precedenti tutte e sole le funzioni $y$ della $x$ che risolvono la (3) o la (4) sono le funzioni rappresentate implicitamente dall'equazione

$f(x,y)=C$,

dove $C$ è una costante affatto arbitraria².

Esempio.

Si voglia, ad esempio, risolvere l'equazione differenziale ordinaria del primo ordine

                              $2y+x^{3}+(2x+y^{2})y'=0$;                    (5)

si vogliano cioè trovare tutte e sole le funzioni $y$ della $x$, che la soddisfano. Poichè $y'={\frac {dy}{dx}}$, la (5) si può scrivere moltiplicata per $dx$:

$(2y+x^{3})dx+(2x+y^{2})dy=0$.

Il primo membro è un differenziale esatto, poichè:

${\frac {\partial }{\partial y}}(2y+x^{3})=2={\frac {\partial }{\partial x}}(2x+y^{2})$.

Le funzioni $f$, per cui:

${\frac {\partial f}{\partial x}}=2y+x^{3}$, ${\frac {\partial f}{\partial y}}=2x+y^{2}$,

si ottengono integrando $2y+x^{3}$ rapporto a $x$ e aggiungendo una funzione di $y$ tale che la funzione che ne risulta abbia per derivata rapporto a $y$ la $2x+y^{2}$.

Sarà dunque:

$f=2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+Y$,

essendo $Y$ tale che:

$\left(2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+Y\right)'_{y}=2x+y^{2}$.

Ma:

$\left(2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+Y\right)'_{y}=2\,x+Y'$.

Dovrà dunque essere:

$2x+y^{2}=2x+Y'$,

ossia:

$Y'=y^{2}$,

cioè:

$Y={\frac {y^{3}}{3}}+{\text{cost.}}$

Sarà dunque:

$f=2\,x\,y+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {y^{3}}{3}}+{\text{cost.}}$

E le funzioni $y$ di $x$ che risolvono la (5) sono le funzioni definite implicitamente dall'equazione:

$2\,x\,y\,+{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {y^{3}}{3}}=C$.

dove $C$ è una costante arbitraria.

$\beta$) Se nella (3) la $M$ e la $N$ sono rispettivamente funzioni della sola $x$ e della sola $y$, il primo membro della (4) è certamente un differenziale esatto (§ 90, $\beta ).Lefunzioni<math>f$ che hanno per differenziale il primo membro della (4) sono espresse da

$\int M\,dx+\int \,N\,dy+{\text{cost}}$.

e le funzioni $y$ che soddisfano l'equazione differenziale proposta sono quelle definite implicitamente dall'equazione:

$\int \,M\,dx+\int \,N\,dy={\text{cost.}}$

Simili equazioni differenziali si dicono a variabili separate (cfr. § 90, $\beta$, pag. 299).

Così, ad esempio, si abbia da integrare l'equazione differenziale del primo ordine:

$-{\text{sen}}\,x\,dx+y\,dy=0$.

Le funzioni $y$ che soddisfano l'equazione differenziale sono date implicitamente dall'equazione:

${\text{cos}}x+{\frac {y^{2}}{2}}=C$

dove $C$ è costante arbitraria.

Risolvendo l'ultima equazione rispetto a $y$ si ha:

$y=\pm {\sqrt {2\,C-2\,{\text{cos}}\,x}}$.

Talvolta, pur non essenso il primo membro della (4) un differenziale esatto a variabili separate, si può con facili artifici ridurlo tale.

Così, ad esempio, si abbia da risolvere l'equazione differenziale:

${\sqrt {x\,y}}\,dx+{\sqrt[{3}]{x\,y}}\,dy=0$,

ossia:

${\sqrt {x}}\,{\sqrt {y}}\,dx+{\sqrt[{3}]{x}}\,{\sqrt[{3}]{y}}\,dy=0$.

Dividendo ambo i membri dell'equazione per ${\sqrt {y}}\,{\sqrt[{3}]{x}}$³ si ha:

                                        ${\frac {\sqrt {x}}{\sqrt[{3}]{x}}}\,dx+{\frac {\sqrt {y}}{\sqrt {y}}}\,dy=0$.                         (6)

Colla divisione operata abbiamo ricondotto l'equazione differenziale proposta al tipo precedentemente esaminato, onde, integrando la (6), si ha che le dun<ioni $y$ che la risolvono sono date implicitamente dall'equazione:

$\int \,{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt[{3}]{x}}}\,dx+\int {\frac {\sqrt[{3}]{y}}{\sqrt {y}}}\,dy=C$ ($C={\text{cost,}}$)

ossia dalla:

$\left.{\frac {6}{7}}\,x^{\frac {7}{6}}+{\frac {6}{5}}y\right|^{6}=C$.

da cui:

$y=\left({\frac {5}{6}}C-{\frac {5}{7}}\,{\sqrt[{6}]{7}}\right)^{\frac {6}{5}}$.

Le funzioni $y$ rappresentate dalla formola precedente insieme con la soluzione $y=0$ sono tutte e sole le funzioni che risolvono l'equazione differenziale che ci eravamo proposti di studiare.

In generale si può dire che, se si ha un'equazione differenziale del tipo:

                                        $XYdx+\xi \nu dy=0$,                    (7)

dove $X,\xi ,Y,\nu$ sono funzioni le prime di $x$ e le seconde di $y$, si può facilmente rendere il primo membro della (7) un differenziale esatto a variabili separate, dividendo ambo i membri della (7) per $\xi Y$.

Esempio.

Consideriamo la pila di un ponte; ne sia $S_{0}$ la sezione superiore; sia $x$ la distanza di un punto della pila da $S_{0}$, e sia $S(x)$ la sezione della pila posta alla distanza $x$ da $S_{0}$. Si richiede talvolta nella tecnica che l'incremento $S(x+h)-S8x)$ della sezione sia proporzionale al volume

$\int _{x}^{x+h}S(x)dx$

di quella parte di pila, che è racchiusa tra le sezioni poste alle distanze $x,x+h$ da $S_{0}$⁴. Sarà perciò:

${\frac {S(x+h)-S(x)}{h}}=k{\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}S(x)dx$

dove $k$ è una costante dipendente dal tipo di costruzione adottato.

Passando al limite per $h=0$ si trova:

$S'(x)=k\,S(x)$,

cioè:

${\frac {d\,S}{S}}=k\,dx$

donde:

$\log \,S=k\,x+{\text{cost.}}$

Poichè $S=S_{0}$ per $x=0$, sarà:

$\log \,S=k\,x+\log \,S_{0}$

$S=S_{0}e^{kx}$.

$\gamma$) Altro tipo di equazione differenziale ordinaria del primo ordine, che si può ridurre al tipo precedente, è quello din cui la $M(x,y)$ e a $N(x,y)$ che figurano nella (4) siano funzioni omogenee dello stesso grado $n$.

Ricordo che una funzione $x,y$ si dice funzione omogenea di grado zmath>n</math> se è uguale al prodotto di $x^{n}$ per una funzione di ${\frac {y}{x}}$.

Così, ad esempio: $x^{2}+y^{2}+xy$ è una funzione omogenea di 2 grado, perchè è uguale a

$x^{2}\left(1+\left({\frac {y}{x}}\right)^{2}+{\frac {y}{x}}\right)$.

È funzione omogena di grado ${\frac {1}{2}}$ la

${\sqrt {x+y}}$

poichè:

${\sqrt {x+y=}}{\sqrt {x\left(1+{\frac {y}{x}}\right)}}=x^{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)^{\frac {1}{2}}$

Se nella (4):

$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$,

la $M$ e $N$ sono funzioni omogenee dello stesso grado $n$, è facile indicare un metodo generale di integrazione. Infatti introduciamo la nuova variabile $z$ in luogo di $y$, ponendo:

                                                  ${\frac {y}{x}}=z$                    (8)

Dividendo la (4) per $x^{n}$, i coefficienti di $dx$ e $dy$ risultano funzioni del solo rapporto ${\frac {y}{x}}$; cioè si ha un'equazione del tipo:

                                        $\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)dx+\psi \left({\frac {y}{x}}\right)dy=0$.                    (9)

Intanto da:

${\frac {y}{x}}=z$ ovvero $y=zx$,

differenziando si ottiene:

                                        $dy=x\,dz+zdx$                              (10). Spstituendo in (9), si ottiene

$\varphi (z)dx+\psi (z)(xdz+zdx)=0$,

donde, raccogliendo a fattori comuni $dx$ e $dz$, si ha:

$[\varphi (z)+z\psi (z)]\,dx+x\psi (z)dz=0$

che, separando le variabili, diventa:

                                   ${\frac {dx}{x}}+{\frac {\psi (z)dz}{\varphi (z)+z\psi (z)}}=0$,                    (11)

che è a variabili separate, e noi sappiamo quindi integrare.

Sia, p. es., data l'equazione:

$dx\left\{1-{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right\}+{\frac {x^{2}}{x^{2}+y^{2}}}dy=0$.

Posto ${\frac {y}{x}}=z$, essa diventa:

$\left\{1-frac{z}{1+z^{2}}\right\}dz+{\frac {1}{1+z^{2}}}(xdz+zdx)=0$

ossia:

${\frac {dx}{x}}+{\frac {dz}{1+z^{2}}}=0$.

Integrando si ottiene $\log |x|+{\text{arctg}}z=C(C={\text{cost.}})$. Donde $z={\frac {y}{x}}={\text{tg}}[C-\log |x|]$ e quindi $y=x{\text{tg}}[C-\log |x|]$.

$\delta$) Noi abbiamo visto che la

                                        $Mdx+Ndy=0$                    (12)

è risolubile mediante quadrature, se il primo membro è un differenziale esatto, e in particolare se le variabili sono separate (o si possono con qualche artificio separare).

Se il primo membro di (12) non è un differenziale esatto, ci si può chiedere se è possibile trovare una funzione $\rho (x,y)$ delle $x,y$, che, moltiplicata per esso, lo renda un differenziale esatto. Una tale funzione $\rho$ si dice essere un moltiplicatore di $Mdx+Ndy$.

È chiaro che, se in qualche modo si può giungere a trovare un tale moltiplicatore, allora la risoluzione, o, come si suol dire, l'integrazione della (12) è ricondotta a calcolare degli integrali indefiniti, cioè è ridotta alle quadrature. Affinchè $\rho$ sia un moltiplicatore, ossia affinchè $\rho \,Mdx+\rho \,Ndy$ sia un differenziale esatto, deve essere:

${\frac {\partial }{\partial y}}(\rho \,M)={\frac {\partial }{\partial x}}(\rho \,N)$, ossia:

$\rho \left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)+m{\frac {d\rho }{dy}}-N{\frac {d\rho }{dx}}=0$.

Questa è un'equazione alle derivate partiali per la $\rho$; e il problema di risolvere le equazioni a derivate partiali è assai più complicato del problema di risolvere le equazioni a derivate ordinarie.

Il metodo di cercare un moltiplicatore riesce perciò utile solo in casi particolari.

1° Esista, p. es., un moltiplicatore $\rho$ funzione della sola $x$. Essendo in tal caso ${\frac {\partial \rho }{\partial y}}=0$, la nostra equazione diventa

${\frac {d\log |\rho |}{dx}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}={\frac {1}{N}}\left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)$.

E, affinchè si possa risolvere quest'equazione con una funzione $\rho$ della sola $x$, anche il secondo membro ${\frac {1}{N}}\left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)$ deve essere funzione della sola $x$.

Se così avviene, il problema è dunque ridotto alle quadrature.

2° Così pure, se ${\frac {1}{M}}\left({\frac {\partial M}{\partial y}}-{\frac {\partial N}{\partial x}}\right)=1$ è costante, non dipende da $y$; esiste un moltiplicatore $\rho$ funzione della sola $x$ definito dalla ${\frac {d\log |\rho |}{dx}}=1$.

Si può dunque porre $\rho =e^{x}$; e l'equazione diventa:

$e^{x}(x+y)dx+e^{x}dy=0$.

Posto ${\frac {\partial z}{\partial x}}=e^{x}(x+y),{\frac {\partial z}{\partial y}}=e^{x}$, s itrova $z=ye^{x}+\varphi (x)$, dove $\varphi$ è una funzione di $x$, tale che $[ye^{x}+\varphi (x)]'_{x}?e^{x}(x+y)$, ossia $\varphi '(x)=xe^{x},\varphi (x)=xe^{x}-e^{x}+{\text{cost}}$. Le funzioni $y$ che soddisfano alla nostra equazione differenziale sono dunque quelle date dalla $xe^{x}+ye^{x}-e^{x}=(x+y-1)e^{x}={\text{cost}}$.

Esempio.

La qualità di calore $Q$ data ad una massa di gas ne fa variare o la pressione $p$ o il volume $v$, o entrambe le $p,v$. Se noi, p. es., teniamo$v$ costante, varierà la pressione $p$; il rapporto ${\frac {dQ}{dt}}$, ove $dQ$ è la quantità di calore necessaria per far aumentare la temperatura $t$ di $dt$, + una costante $c$; il cosidetto calore specifico a volume costante. Sarà dunque $dQ=ctd$; l'incremento $dt$ di temperatura è dato da ${\frac {\partial t}{\partial p}}dp$; cosicchè infine:

$dQ=c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp$.

Così pure, se con $C$ indichiamo il calore specifico a pressione costante, sarà:

$dQ=C{\frac {\partial t}{\partial v}}dv$

l'incremento di calore che si deve dare, affinchè il volume del gas (tenuto a pressione costante) aumenti di $dv$.

Cosicchè complessivamente

$dQ=c{\frac {partialt}{\partial p}}dp+c{\frac {\partial t}{\partial v}}dv$

è la quantità di calore necessaria per aumentare $p,v$ rispettivamente di $dp,dv$.

Ora noi ci chiediamo: Può $Q$ essere una funzione di $p,v$: ossia può una massa di gas, ritornando alle stesse condizioni (di temperatura e di pressione) possedere in ogni caso la stessa quantità di calore) Ciò che sembra la conseguenza più semplice dell'antica ipotesi dell'indistruttibilità del calore.

Se ci fosse, l'espressione sopra trovata per $dQ$ sarebbe un differenziale esatto. Di avrebbe cioè:

${\frac {\partial }{\partial v}}\left(c{\frac {\partial t}{\partial p}}\right)={\frac {\partial }{\partial p}}\left(C{\frac {\partial t}{\partial v}}\right)$ ossia $(C-c){\frac {\partial ^{2}t}{\partial p\partial v}}=0$

ciò che non è, perchè $C\not =c$, e $t={\frac {1}{R}}pv$, dove $R$ è una costante.

Se $c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp+C{\frac {dt}{dv}}$ non è esatto, noi possiamo cercare di renderlo esatto moltiplicandolo per un moltiplicatore $\rho$. Dovrà essere:

${\frac {\partial }{\partial v}}\left(c\,\rho \,{\frac {\partial t}{\partial p}}\right)={\frac {\partial }{\partial p}}\left(C\,\rho {\frac {\partial t}{\partial v}}\right)$

ossia $\rho (c-C){\frac {\partial ^{2}t}{\partial p\,\partial v}}+c{\frac {\partial \rho \,\partial t}{\partial v\,\partial p}}-C{\frac {\partial \rho }{\partial p}}{\frac {\partial t}{|partialv}}=0$

ossia          $c\left\{1+v{\frac {\partial \log \rho }{\partial v}}\right\}=C\left\{1+p{\frac {\partial \log \rho }{\partial p}}\right\}$.

La soluzione più semplice si ottiene, supponendo

$v{\frac {\partial \log \rho }{\partial v}}+1=0$;

$p{\frac {\partial \log \rho }{\partial p}}+1=0$;

ossia supponendo $\rho$ inversamente proporzionale a $p$ e a $v$, ponendo, p. es., $\rho ={\frac {1}{t}}$. Si ha così che ${\frac {dQ}{t}}$ è un differenziale esatto; la funzione, di cui esso è differenziale, dicesi entropia. E ne è ben nota l'importanza termodianmica.

Dicesi abiabatica ogni trasformazione, che non richiede nè assorbimento, nè dispersione di calorico; tali trasformazioni sono quindi definite dalla

$0=d\,Q=c{\frac {\partial t}{\partial p}}dp+C{\frac {\partial t}{\partial v}}dv$ ossia dalla $c\,dvp+C\,pdv=0$.

Separando le variabili si trova $c={\frac {dp}{p}}+C_{v}^{dv}=0$, cioè

$c\,\log \,p+C\,\log \,v={\text{cost.}}$

                              $pv^{\frac {C}{c}}={\text{cost.}}$   ,   $p={\text{cost.}}\,v^{-{\frac {C}{c}}}$,

che ci dà in termini finiti l'equazione di una adiabatica.

Un'applicazione all'equazione $\mathrm {X(x,y){\frac {\partial f}{\partial x}}+T(x,y){\frac {\partial f}{\partial y}}=0}$.

Così, p. es., si trovino le soluzioni di

$x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}=0$

Le soluzioni della ${\frac {dy}{dx}}={\frac {y}{x}}$, ossia della ${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}$ sono quelle tali che $\log \,y=\log \,x+{\text{cost.}}$, ossia tali che ${\frac {y}{x}}={\text{cost}}.$ Le funzioni $f$ cercate sono tutte e sole le funzioni di ${\frac {y}{x}}$, come è facile verificare.

L'Equazione di Eulero $x{\frac {\partial f}{\partial x}}+y{\frac {\partial f}{\partial y}}nf$ ($n=$ cost.)

Posto $\varphi =\log \,|f|-n\log |x|$, tale equazione diventa $x{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}+y{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}=0$. Perciò $\varphi (x,y)=\log |f(x,y)|-n\log |x|=\log \left|{\frac {f(x,y)}{x^{n}}}\right|$ è funzione del rapporto ${\frac {x}{y}}$. Altrettanto avverrà di $F=e^{\varphi }=\left|{\frac {f(x,y)}{x^{n}}}\right|$. Perciò $f(x,y)=x^{n}F\left({\frac {x}{y}}\right)$. In tal caso si dice che $f$ è funzione omogenea di grado n, perchè, moltiplicando x ed y per una stessa costante h, la $\mathrm {f(x,y)}$ resta moltiplicata per $\mathrm {h^{0}}$. Più in generale le soluzioni $f(x_{1},x_{2},.....x_{n})$ dell'equazione $\Sigma _{i}x_{i}{\frac {\partial f}{\partial x}}=nf$ sono tutte e sole le funzioni omogenee di grado $n$ delle $x$, cioè le funzioni del tipo $x_{i}^{n}\,\varphi \left({\frac {x_{2}}{x_{1}}},{\frac {x_{3}}{x_{1}}},.....,{\frac {x_{n}}{x_{1}}}\right)$. Infatti se consideriamo $f$ come funzioni delle variabili $\xi _{1}=x_{1}$; $\xi _{2}={\frac {x_{2}}{x_{1}}}x$; $\xi _{3}={\frac {x_{3}}{x_{1}}}$; .....; $\xi _{n}={\frac {x_{n}}{x_{1}}}$, la nostra equazione diventa ${\frac {\partial f}{\partial \xi _{1}}}={\frac {n}{\xi _{1}}}f$, donde ${\frac {\partial \,\log |f|}{\partial \xi _{1}}}={\frac {n}{\xi _{1}}}$; $\log \,|f|=n\,\log \,|\xi _{1}|+\varphi$; $f=\xi _{1}^{n}\varphi _{1}[\psi =\log |\varphi |]$ dove $psi$ (e quindi anche $\varphi$) sono costanti rispetto alla $\xi _{1}$, e ciop sono funzioni delle sole $\xi _{2},\xi _{3},.....\xi _{n}$.

Note

1. Si suppongono qui, e nei seguenti §§, finite e continue tutte le funzioni, e loro derivate, che si presentano nel calcolo
2. Più precisamente la $c$ deve soddisfare a questa unica condizione, che la $f(x,y)=C$ sia risolubile rispetto alla $y$. Così, p. es., se per $x=a,y=b$, le $f_{x},f_{y}$ sono finite e continue, ed $f'_{x}\not =0$, si può porre $C=f(a,b)$. (Cfr. § 84, $\beta$).
3. Questa divisione è lecita (se $x$ è generico) supposto $y\not =0$. Bisognerà poi esaminare a parte se la $y=0$ (come avviene appunto nel caso nostro) una soluzione della nostra equazione.
4. Èciò, perchè generalmente l'area di una tale sezione si fa proporzionale al carico complessivo (del ponte e della stessa pila), che gravita su tale sezione. Sulla $S_{0}$ gravita, p. es., soltanto parte del ponte.