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capitolo xviii — § 111-112

Si può seguire il metodo dato in questo §, $\delta$, ponendo $y'=z$. Più brevemente si procede ponendo $y'_{x}={\text{tg}}\,z$, donde $y''={\frac {z'}{{\text{cos}}^{2}\,z}}$, $1+{y'}^{2}={\frac {1}{{\text{cos}}^{2}\,z}}$. L'equazione diventa:

$z'{\text{cos}}\,z=k$, $({\text{sen}}\,z)'=k$; ${\text{sen}}\,z'hx+h$ ($h=$ cost.),

donde:

$y'={\text{tg}}\,z={\frac {kx+h}{\sqrt {1-(kx+h)^{2}}}}$ ed $y=\int {\frac {(kx+h)dx}{\sqrt {1-(kx+h)^{2}}}}$,

che si inntegra tosto, assumendo $1-(kx+h)^{2}$ (se $k\not =0$) come nuova variabile di integrazione. E si trova che le curve $y=y(x)$ cercate sono rette (per $k=0$), o cerchi di raggio ${\frac {1}{k}}$ (per $k\not =0$.

4° Risolvere l'equazione $y')P(x)y+Q(x)y^{m}$.

Si divida per $y?m$ e si assuma $z={\frac {1}{y^{m-1}}}$ come nnova funzione incognita. Saremo ridotti al caso studiato in questo §, $\beta$.

§ 112. — Teorema di Cauchy e integrazione per serie.

$\alpha$) Vogliamo ora fermarci un momento a studiare più da vicino il significato delle costanti arbitrarie che figurano nella soluzione di un'equazione differenziale.

Se consideriamo, p. es., l'equazione differenziale più semplice:

${\frac {dy}{dx}}=f(x)$

del primo ordine, la funzione:

$y=\int \,f(x)dx+{\text{cost.}}$

che la soddisfa, contiene una costante arbitraria; ed è noto che, se fissiamo il valore $b$ che questa funzione <math<y</math> deve avere per un certo valore $a$ della variabile, allora la costante, e in conseguenza la $y$, restano completamente determinate. Si ha appunto:

$y=\int _{a}^{x}f(x)dx+b$.

In altre parole: nella risolzione di questa equazione compare una costante arbitraria ed esiste una ed una sola funzione che la soddisfi e che per $x=a$ assume il valore di $b$.