La geometria non-euclidea/Capitolo V/La geometria sopra una superficie
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LA GEOMETRIA SOPRA UNA SUPERFICIE.
§ 67. Per facilitare lo scopo conviene muovere dalle considerazioni seguenti.
Data una superficie, proponiamoci di vedere fino a che punto si possa fondare sopra di essa una geometria analoga a quella del piano.
Per due punti A, B della superficie passa generalmente una linea ben determinata che le appartiene, la quale segna sulla superficie la minima distanza fra i due punti. Una tal linea è la geodetica congiungente i due punti dati. Se si tratta, per es., di una sfera, la geodetica, che congiunge due punti [non estremi di un diametro], è un arco del cerchio massimo ch'essi determinano.
Ora, volendo paragonare la geometria sopra una superficie con la geometria sul piano, appare naturale di mettere a riscontro le geodetiche di quella, misuranti le distanze sopra la superficie, con le rette di questo ed anche di considerare come [geodeticamente] eguali, sopra una superficie, due figure tracciate su di essa che possano farsi corrispondere punto per punto, in modo che le distanze geodetiche fra le coppie di punti corrispondenti siano uguali.
A questo concetto di uguaglianza si può pervenire in un modo intuitivo ammettendo che la superficie sia realizzata con un foglio flessibile ed inestendibile e che con un movimento della superficie, in cui essa non rimanga rigida, ma si fletta come è detto innanzi, le figure superficiali da noi chiamate uguali possano sovrapporsi l'una all'altra.
Prendiamo, come esempio, un pezzo di superficie cilindrica, che per semplice flessione senza estensione, duplicazione e rottura possa applicarsi sopra una regione piana. È chiaro che in questo caso dovranno chiamarsi uguali sulla superficie due figure che si distendano sopra figure piane uguali; ben inteso che due figure siffatte non sono generalmente uguali nello spazio.
Ritornando ad una superficie qualsiasi, il sistema di convenzioni innanzi accennato da origine ad una geometria sopra la superficie, che intendiamo sempre di considerare per regioni convenientemente limitate [regioni normali]. Due superficie applicabili l'una sull'altra con una flessione senza estensione avranno la medesima geometria; così, per es., sopra una qualsiasi superficie cilindrica ed in genere sopra una qualsiasi superficie sviluppabile, si avrà una geometria simile a quella d'una superficie piana.
Un esempio di geometria sopra una superficie, essenzialmente diversa da quella del piano, ci è data dalla geometria della sfera, perchè è impossibile applicare una porzione di sfera sopra il piano. Tuttavia fra la geometria piana e quella sferica abbiamo però una notevole analogia: questa analogia trova il suo fondamento nel fatto che la sfera può muoversi liberamente su se stessa, precisamente come il piano; sicchè per le figure uguali sulla sfera valgono delle proposizioni in tutto analoghe ai postulati della congruenza sul piano.
Cerchiamo di generalizzare questo esempio. Affinchè una superficie convenientemente limitata possa muoversi, con flessione senza estensione, su se stessa come la superficie piana, occorre che un certo numero [K], invariante rispetto alle predette flessioni, abbia un valore costante in tutti i punti della superficie. Questo numero è stato introdotto da Gauss col nome di curvatura1.
Si possono costruire effettivamente delle superficie a curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili
K = o , K > o , K < o.
Per K = o si hanno le superficie sviluppabili [applicabili sul piano]. Per K > o si hanno le superficie applicabili sopra una superficie sferica di raggio radice di (1/k) e la sfera può riguardarsi come modello di esse.
Per la K < o si hanno le superficie applicabili sulla pseudosfera, 
la quale può assumersi come modello per le superficie di curvatura costante negativa.
La pseudosfera è una superficie di rotazione: l'equazione della curva meridiana [trattrice2], riferita all'asse di rotazione z e ad una retta x perpendicolare a z e convenientemente scelta è:
[vedi formula 124.png]
dove k è legato alla curvatura K dalla relazione:
1
K = –
k2
Superficie di curvatura costante negativa 3
Fig. 49.
Sulla pseudosfera generata dalla (1) può adagiarsi qualunque porzione di superficie di curvatura costante – 1/k2.
§ 68. Fra la geometria sopra una superficie di curvatura costante e quella d'una porzione di piano, prese l'una e l'altra con le opportune limitazioni, intercede una analogia, che possiamo mettere in evidenza traducendo le prime definizioni e proprietà dell'una in quelle dell'altra, com'è sommariamente indicato dalla contrapposizione di frasi che si osserva nel seguente quadro.
a) Superficie. a) Regione di piano.
b) Punto. b) Punto.
c) Geodetica.
c) Retta.
d) Arco di geodetica. d) Segmento rettilineo.
e) Proprietà lineari della geodetica. e) Postulati relativi all'ordinamento dei punti sulla retta.
f) Due punti determinano una geodetica. f) Due punti determinano una retta.
g) Proprietà fondamentali dell'uguaglianza di archi geodetici e di angoli.
g) Postulati della congruenza segmentaria ed angolare.
h) Se due triangoli geodetici hanno uguali due lati e l'angolo compreso, anche i rimanenti lati ed angoli sono uguali.
k) Se due triangoli rettilinei hanno uguali due lati e l'angolo compreso, anche i rimanenti lati ed angoli sono uguali.
Segue che si possono ritenere comuni alla geometria delle superficie in discorso tutte quelle proprietà pertinenti a regioni limitate di piano, che nell'assetto euclideo sono indipendenti dal postulato delle parallele e nella cui dimostrazione non si fa uso del piano completo [per es. dell'infinità della retta].
Procediamo ora a confrontare, con le corrispondenti della superficie, quelle proposizioni relative alla regione piana, che sono in connessione con l'ipotesi euclidea. Si ha, per es., che sul piano la somma degli angoli di un triangolo è uguale a due retti. La proprietà corrispondente non è generalmente vera sulla superficie.
Infatti Gauss dimostrò che sopra una superficie a curvatura K, costante oppure variabile da punto a punto della superficie, l'integrale doppio
[vedi formula 126_a.png]
esteso alla superficie di un triangolo geodetico ABC, è uguale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti4. Cioè:
[vedi formula 126_b.png]
Applichiamo questa formula alle superficie di curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili.
1° caso: K = o.
Allora avremo
[vedi formula 126_c.png]
Sulle superficie a curvatura nulla la somma degli angoli d'un triangolo geodetico è uguale a due angoli retti. Questo risultato del resto ci era noto.
2° caso: K = 1/k2 > o.
Allora avremo
[vedi formula 126_d.png]
Ma l'integrale: [vedi formula 127_a.png] esteso al triangolo ABC, da l'area Delta di quel triangolo, talchè:
delta/k = A + B + C - pigreco.
Da questa relazione ricaviamo:
A + B + C> pigreco.
delta = k2 (A + B + C – pigreco).
Cioè:
a) Sulle superficie a curvatura costante positiva la somma degli angoli di un triangolo geodetico è maggiore di due angoli retti.
b) L'area di un triangolo geodetico è proporzionale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti.
3° caso: K = – 1/k2
Allora avremo: [vedi formula 127_b.png]
dove, anche qui, con delta abbiamo indicato l'area del triangolo ABC. Segue allora:
delta/k2 = pigreco - (A + B + C),
dalla quale si ricavano le due relazioni seguenti:
A + B + C < pigreco.
delta = k2 (pigreco – A– B – C).
Cioè
a) Sulle superficie a curvatura costante negativa la somma dei tre angoli di un triangolo geodetico è minore di due angoli r etti.
b) L' area d'un triangolo geodetico è proporzionale alla deficienza della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti.
Riassumiamo i risultati nella seguente tabella:
Superficie a curvatura costante.
Valore della curvatura | Modello della superficie | Carattere specifico
|--------------------------|---------------------
K = o | piano | A + B + C = pigreco
|--------------------------|---------------------
K = 1/k2 | sfera | A + B + C > pigreco
|--------------------------|---------------------
K = – 1/k2 | pseudosfera | A + B + C < pigreco
La geometria delle superficie di curvatura nulla e di curvatura costante positiva ci è nota, perchè corrisponde alla geometria piana euclidea ed alla geometria sferica.
Lo studio della geometria delle superficie a curvatura costante negativa fu iniziato da E. MINDING [1806-1885] con la ricerca delle forme di rotazione su cui esse possono applicarsi(135). La seguente osservazione di MINDING, sviluppata distesamente da D. CODAZZI [1824-1873], permette poi di assegnarne la trigonometria. Se nelle formule trigonometriche della sfera si tengono fissi gli angoli e si moltiplicano i lati per i = radice di (-1), si ottengono le relazioni a cui soddisfano gli elementi dei triangoli geodetici delle superficie di curvatura costante negativa5. Queste relazioni [trigonometria pseudosferica] evidentemente coincidono con quelle di Taurinus, cioè con le formule della geometria di Lobacefski-Bolyai.
§ 69. Dai precedenti §§ risulta che le proprietà relative alla somma degli angoli d'un triangolo, nella geometria delle superficie di curvatura costante, corrispondono rispettivamente:
per K = 0,
a quelle valide nel piano in forza
dell'ip. ang. retto;
per K > 0,
a quelle che sussisterebbero nel piano in forza dell'ip. ang. ottuso; per K < 0, a quelle valide nel piano, in forza dell'ip. angolo acuto.
Il primo di questi risultati è evidente a priori, perchè si tratta di superficie sviluppabili.
L'analogia fra la geometria sulle superficie di curvatura costante negativa, ad es., e la geometria di Lobacefski- Bolyai si potrebbe rendere ancor più manifesta ponendo a riscontro le relazioni fra gli elementi dei triangoli geodetici tracciati su quelle superficie con le formule della trigonometria non-euclidea. Un tale riscontro fu fatto da E. BELTRAMI nel suo «Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea6.».
Risulta così che la geometria sopra una superficie a curvatura costante positiva o negativa si può considerare come una interpretazione concreta della geometria non-euclidea che si ottiene in una regione limitata di piano adottando l'ip. ang. ottuso o quella dell'ang. acuto.
La possibilità di interpretare la geometria delle varietà a due dimensioni mediante quella delle superficie ordinarie era nota a B. RIEMANN [1826-1866] fino dal 1854, anno in cui egli compose la celebre dissertazione: «Ueber die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen7.», che sta a fondamento dell'indirizzo metrico differenziale.
L'interpretazione di BELTRAMI si presenta come caso particolare di quella di RIEMANN. La quale, per le proprietà delle superficie di curvatura costante, ci mostra chiaramente come il seguito delle deduzioni ricavato dalle tre ipotesi sulla somma degli angoli di un triangolo debba condurre a dei sistemi geometrici logicamente coerenti.
Questa conclusione, per quanto riguarda l'ip. ang. ottuso, sembra contraddire i teoremi di Saccheri, Lambert, Legendre, che escludono fin dal principio la possibilità d'una geometria fondata su detta ipotesi. La contraddizione si elimina però facilmente riflettendo che nella dimostrazione di quei teoremi si utilizzarono non solo le proprietà fondamentali pertinenti ad una regione limitata di piano, ma anche proprietà del piano completo, ad. es. l'infinità della retta.
- ↑ Rammentando che la curvatura d'una linea piana in un punto è l'inverso del raggio del cerchio osculatore in quel punto, ecco come può definirsi la curvatura in un punto M d'una superficie. Condotta per M la normale n alla superficie si consideri il fascio di piani per n e il relativo fascio di curve ch'esso sega sulla superficie. Fra le curve [piane] di tale fascio ne esistono due ortogonali fra loro, le cui curvature [sopra definite] godono delle proprietà di massimo o minimo. Il prodotto di tali curvature da la curvatura della superficie nel punto M [Gauss]. Alla curvatura di Gauss compete poi uno spiccatissimo carattere: essa si mantiene invariata per ogni flessione senza estensione della superficie; talchè se due superficie sono applicabili, nel senso indicato nel testo, debbono, nei punti corrispondenti, avere la stessa curvatura [Gauss]. Questo risultato, invertito dal MINDING nel caso delle perficie a curvatura costante, rende manifesto che le superficie liberamente mobili sopra se stesse sono caratterizzate dalla costanza della curvatura.
- ↑ La trattrice è quella curva il cui segmento di tangente compreso fra il punto di contatto e l'asintoto ha una lunghezza costante.
- ↑ La superficie, di cui la Fig. 49 è una riproduzione fotografica, fu costruita da BELTRAMI. Ora fa parte della collezione di modelli appartenente all'ISTITUTO MATEMATICO di Pavia.
- ↑ Cfr., ad es., le citate «Lezioni sulla Geometria Differenziale» di L. BIANCHI, Cap. VI.
- ↑ «Wie sich entschneiden lässt, ob zwei gegebene krumme Flächen auf einander abwickelbar sind oder nicht; nebst Bemerkungen über die Flächen von unveränderlichem Krümmungsmaasse.»; Crelle, t.. XIX, p. 370-87 [1839].
- ↑ MINDING: «Beiträge zur Theorie der kürzesten Linien auf krummen Flächen.»; Crelle, t. XX, p. 323-27 [1840]. — D. CODAZZI: «Intorno alle superficie le quali hanno costante il prodotto de' due raggi di curvatura.»; Ann. di Scien. Mat. e Fis. t.VIII, p. 346-55 [1857].
- ↑ «Opere di Riemann», 1a ed. [1876], p. 254-96; 2a ed. [1892], p. 272-87. Fu letta da RIEMANN nel 1854, per la sua abilitazione presso la Facoltà filosofica di Gottinga, davanti ad un pubblico composto non di soli matematici. Perciò non contiene sviluppi analitici ed i concetti ivi esposti hanno veste prevalentemente intuitiva. Qualche schiarimento analitico si trova nelle note della Memoria inviata da RIEMANN in risposta ad una questione messa a concorso dall'Istituto di Parigi [Op. Riemann, 1a ed. p. 384-91]. Il fondamento filosofico della «Dissertazione» è lo studio delle proprietà delle cose dal loro modo di comportarsi nell'infinitesimo. Cfr. il discorso di KLEIN: «Riemann e la sua importanza nello sviluppo della matematica moderna.», tradotto da E. PASCAL negli Annali di Mat., (2), t. XXIII [p. 222]. La «Dissertazione» fu pubblicata soltanto nel 1867 [Gött. Abh., XIII], dopo la morte dell'A., per cura di R. DEDEKIND, poi tradotta in francese da J. Hoüel [Annali di Mat, (2), t. III, 1870; Oeuvres Math. de Riemann, 1876], in inglese da W. CLIFFORD [Nature, t. VIII, 1873] e da G. B. HALSTED [Tokyo sugaku butsurigaku kwai kiji, t. VII, 1895], in polacco da DICKSTEIN [Comm. Acad. Litt. Cracoviensis, t. IX, 1877], in russo da D. SINSTOFF [Notizie della Società fisico-matematica della R. Università di Kasan, (2), t. III, Appendice, 1893].