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Si possono costruire effettivamente delle superficie a curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili
K = o , K > o , K < o.
Per K = o si hanno le superficie sviluppabili [applicabili sul piano]. Per K > o si hanno le superficie applicabili sopra una superficie sferica di raggio radice di (1/k) e la sfera può riguardarsi come modello di esse.
Per la K < o si hanno le superficie applicabili sulla pseudosfera, 
la quale può assumersi come modello per le superficie di curvatura costante negativa.
La pseudosfera è una superficie di rotazione: l'equazione
Condotta per M la normale n alla superficie si consideri il fascio di piani per n e il relativo fascio di curve ch'esso sega sulla superficie. Fra le curve [piane] di tale fascio ne esistono due ortogonali fra loro, le cui curvature [sopra definite] godono delle proprietà di massimo o minimo. Il prodotto di tali curvature da la curvatura della superficie nel punto M [Gauss]. Alla curvatura di Gauss compete poi uno spiccatissimo carattere: essa si mantiene invariata per ogni flessione senza estensione della superficie; talchè se due superficie sono applicabili, nel senso indicato nel testo, debbono, nei punti corrispondenti, avere la stessa curvatura [Gauss]. Questo risultato, invertito dal MINDING nel caso delle su-
