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è uguale a due retti. La proprietà corrispondente non è generalmente vera sulla superficie.
Infatti Gauss dimostrò che sopra una superficie a curvatura K, costante oppure variabile da punto a punto della superficie, l'integrale doppio
[vedi formula 126_a.png]
esteso alla superficie di un triangolo geodetico ABC, è uguale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti1. Cioè:
[vedi formula 126_b.png]
Applichiamo questa formula alle superficie di curvatura costante, distinguendo i tre casi possibili.
1° caso: K = o.
Allora avremo
[vedi formula 126_c.png]
Sulle superficie a curvatura nulla la somma degli angoli d'un triangolo geodetico è uguale a due angoli retti. Questo risultato del resto ci era noto.
2° caso: K = 1/k2 > o.
Allora avremo
[vedi formula 126_d.png]
- ↑ Cfr., ad es., le citate «Lezioni sulla Geometria Differenziale» di L. BIANCHI, Cap. VI.
