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Ma l'integrale: [vedi formula 127_a.png] esteso al triangolo ABC, da l'area Delta di quel triangolo, talchè:
delta/k = A + B + C - pigreco.
Da questa relazione ricaviamo:
A + B + C> pigreco.
delta = k2 (A + B + C – pigreco).
Cioè:
a) Sulle superficie a curvatura costante positiva la somma degli angoli di un triangolo geodetico è maggiore di due angoli retti.
b) L'area di un triangolo geodetico è proporzionale all'eccesso della somma dei suoi tre angoli su due angoli retti.
3° caso: K = – 1/k2
Allora avremo: [vedi formula 127_b.png]
dove, anche qui, con delta abbiamo indicato l'area del triangolo ABC. Segue allora:
delta/k2 = pigreco - (A + B + C),
dalla quale si ricavano le due relazioni seguenti:
A + B + C < pigreco.
delta = k2 (pigreco – A– B – C).
Cioè
a) Sulle superficie a curvatura costante negativa la somma dei tre angoli di un triangolo geodetico è minore di due angoli r
