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Indirizzo Metrico-Differenziale.
LA GEOMETRIA SOPRA UNA SUPERFICIE.
§ 67. Per facilitare lo scopo conviene muovere dalle considerazioni seguenti.
Data una superficie, proponiamoci di vedere fino a che punto si possa fondare sopra di essa una geometria analoga a quella del piano.
Per due punti A, B della superficie passa generalmente una linea ben determinata che le appartiene, la quale segna sulla superficie la minima distanza fra i due punti. Una tal linea è la geodetica congiungente i due punti dati. Se si tratta, per es., di una sfera, la geodetica, che congiunge due punti [non estremi di un diametro], è un arco del cerchio massimo ch'essi determinano.
Ora, volendo paragonare la geometria sopra una superficie con la geometria sul piano, appare naturale di mettere a riscontro le geodetiche di quella, misuranti le distanze sopra la superficie, con le rette di questo ed anche di considerare come [geodeticamente] eguali, sopra una superficie, due figure tracciate su di essa che possano farsi corrispondere punto per punto, in modo che le distanze geodetiche fra le coppie di punti corrispondenti siano uguali.
A questo concetto di uguaglianza si può pervenire in un modo intuitivo ammettendo che la superficie sia realizzata con un foglio flessibile ed inestendibile e che con un movimento della superficie, in cui essa non rimanga rigida, ma si fletta come è detto innanzi, le figure superficiali da noi chiamate uguali possano sovrapporsi l'una all'altra.
Prendiamo, come esempio, un pezzo di superficie cilindrica, che per semplice flessione senza estensione, duplicazione
